Несколько вопросов по топологии

[Bulinator]

Ответ:
Нельзя. Контрпример $A=C=S^1$, $B=\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$.

[Bulinator]

(Оффтоп)

Эх.... Без paha я тут веду монолог! :(((((

[Bulinator]

Господа, я тут понял, что не понимаю теорему Уитни. Что значит

paha в сообщении #381482 писал(а):

все-таки для нормальной жизни в евклидовом пространстве топологическому многообразию (как и гладкому) размерности нужно измерение (теорема Уитни)

paha в сообщении #385762 писал(а):

под "нормальной жизнью" я имел ввиду устойчивость к шевелениям:)

В топологии, насколько я понимаю, метрика нас не интересует. Т.е. задать многообразие в том смысле в котором я это интуитивно понимаю, значит задать какую-то форму. Например поверхность в 2-мерном пространстве. Если она гомотопически эквивалентна плоскости(нет дырок и ручек), то, с точки зрения топологии, это плоскость. Но ведь реально поверхность может иметь какой-то рельеф ну или на мат. языке метрику $g_{ij}$. Под "шевелениями" я понимаю изменение метрики $g_{ij}$. Но тогда если поверхность(2-мерное многообразие ) вкладывается, например, в $\mathbb{R}^3$, тогда, изменяя $g_{ij}$ мы либо получим поверхность, которая вкладывается туда же, либо это новая поверхность пересечется сама с собой. Во втором же случае в топологии, насколько я понимаю, мы увеличиваем размерность пространства, чтобы пересекалась проекция поверхности а не сама поверхность.
Но тогда вопрос: будет ли метрика, индуцированная метрикой большого евклидова пространства(в которое вложена наша поверхность) равна метрике индуцированной $\mathbb{R}^3$?
Вопрос правильный или меня занесло...?

[Munin]

Bulinator в сообщении #414890 писал(а):

Под "шевелениями" я понимаю изменение метрики $g_{ij}$.

А paha в процитированной фразе, как я понимаю, совсем другое. Изменение вложения без изменения метрики.

Bulinator в сообщении #414890 писал(а):

либо это новая поверхность пересечется сама с собой.

Это обычно мало кого волнует, кажется.

Bulinator в сообщении #414890 писал(а):

Но тогда вопрос: будет ли метрика, индуцированная метрикой большого евклидова пространства(в которое вложена наша поверхность) равна метрике индуцированной $\mathbb{R}^3$?

Кажется, это банально и всегда "да". Метрика евклидова подпространства евклидова пространства совпадает с метрикой, индуцируемой на этом подпространстве, из метрики этого пространства.

[Bulinator]

Munin в сообщении #414943 писал(а):

Это обычно мало кого волнует, кажется.

Как так то?? Тогда, почему $\mathbb{R}P^2$ не вкладывается в $\mathbb{R}^3$?
Смысл теоремы Уитни разве не в том, чтобы вложение было без самопересечений? В противном случае любое многообразие можно в точку вложить.

[Munin]

Bulinator в сообщении #414957 писал(а):

Munin в сообщении #414943 писал(а):

Это обычно мало кого волнует, кажется.

Как так то?? Тогда, почему $\mathbb{R}P^2$ не вкладывается в $\mathbb{R}^3$?

Ну-ка, и как бы вы её вложили?

Bulinator в сообщении #414957 писал(а):

Смысл теоремы Уитни разве не в том, чтобы вложение было без самопересечений? В противном случае любое многообразие можно в точку вложить.

И как бы вы сохранили в таком случае метрику?

[Bulinator]

Munin в сообщении #414962 писал(а):

Ну-ка, и как бы вы её вложили?

Никак, конечно... Если оно не вкладывается.
Что такое вложение $X$ в $Y$? Это такое непрерывное взаимно-однозначное отображение $f:X\to Y$. Притом оно не обязано быть сюръективным. Требование взаимной-однозначности, однако, существенно. В противном случае мы могли бы определить, например $f:X\to {0}$ и получить вложение любого $X$ в одну точку.

Munin в сообщении #414962 писал(а):

И как бы вы сохранили в таком случае метрику?

В том то и вопрос.
При вложении, метрика сохраняется или нет? Вернее так:
пусть $X$-многообразие на котором задана метрика $g_{ij}$.
Существуют ли , достаточно большое $n$ и непрерывное $f:X\to \mathbb{R}^n$ такие, что что индуцированная метрикой $\mathbb{R}^n$ метрика подмногообразия $f(X)\subset\mathbb{R}^n$ совпадала с заданной метрикой $g_{ij}$?

[svv]

Тогда скорее не теорема Уитни, а
http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Нэша_о_регулярных_вложениях

[Munin]

Bulinator в сообщении #414997 писал(а):

При вложении, метрика сохраняется или нет?

Как я понимаю, на это существуют разные ответы, в зависимости от того, насколько гладко вы хотите всё сохранить. Кроме того, бывают "хорошие" самопересечения, как у линий в "восьмёрке", и ими пренебречь гораздо легче, чем "плохими", когда вся линия сминается в одну точку.

[type2b]

Не знаю, полезно ли это для ответа на Ваш вопрос, но вот пример.
На обычном торе имеется плоская метрика, которая приходит из $\mathbb{R}^2$ при отождествлении $S^1\times S^1\approx \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$. Очевидно, тор с этой метрикой нельзя вложить в $\mathbb{R}^3$ так, чтобы эта метрика совпала с индуцированной.

[Bulinator]

svv в сообщении #415051 писал(а):

Тогда скорее не теорема Уитни, а
http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Нэша_о_регулярных_вложениях

Вот это оно и есть.

(Оффтоп)

А Хокинг про эту теорему не слышал? Я имею ввиду кротовые норы.
Эти понятия ведь связаны.

[Kallikanzarid]

Munin в сообщении #414962 писал(а):

Ну-ка, и как бы вы её вложили?

http://en.wikipedia.org/wiki/Roman_surface

[Munin]

Красота! Только адресовать это скорее Bulinator-у :-)