Задачки по группам (Винберг)

[caxap]

1.3. Доказать, что если в множестве $G$ с ассоциативной операцией существует такой элемент $e$ (правая единица), что $ae=a$ для любого $a\in G$, и для любого $a\in G$ существует такой элемент $a^{-1}$ (правый обратный элемент), что $aa^{-1}=e$, то $G$ -- группа.

$ee^{-1}=e$, поэтому $e^{-1}=e$. А доказать, что $\forall a\in G$ выполняется $ea=a$ и $a^{-1}a=e$ не получается. Дайте, пожалуйста, подсказку.

Пробовал умножать обе части данных равенств на что-нибудь, брать ${}^{-1}$ от обеих частей... Не помогло. Получилось только $ea^{-1}=a^{-1}$, но не знаю, чем это полезно...

[Padawan]

caxap в сообщении #414042 писал(а):

$ee^{-1}=e$, поэтому $e^{-1}=e$.

Почему?

[caxap]

По условию, $(\forall a\in G)\ aa^{-1}=e$. В частности, это верно для $e$: $ee^{-1}=e$. То есть $e^{-1}$ является правой едини... ой . Она бы была правой единицей, если бы для всех элементов $G$ это выполнялось, а я показал только для одного.

[caxap]

Вот с этой задачей тоже никак не разберусь:

3.1. Доказать, что порядок любого элемента группы $\mathrm S_n$ [группа подстановок] не превосходит $e^{n/e}\approx 1{,}44^n$.

Наверное, следует использовать разложение подстановки на независимые циклы (в этом случае порядок подстановки равен НОК длин всех циклов, на которые она раскладывается). Поскольку $\mathrm{lcm}\,\{a,b\}=\dfrac{ab}{\mathrm{gcd}\,\{a,b\}}$, то надо искать такое разложение $\sigma=\tau_1\cdots \tau_m$, чтобы длины циклов были взаимно просты (в этом случае порядок $\sigma$ будет равен $\tau_1\cdots \tau_m$). Тут я завис. В каком направлении дальше думать?

[Null]

НОК чисел можно оценить их произведением. Тут этого достаточно.

[caxap]

Null в сообщении #414823 писал(а):

НОК чисел можно оценить их произведением.

Ну это я понял (см. выше). Но к оценке $e^{n/e}$ прийти не получается.

[Null]

$n+3<3*n$, при $n+3\ge5$
$4=2*2$
$2*2*2<3*3$

[caxap]

Null, я опять вас не понял...

Но у меня что-то получилось: Если подстановка разбивается на $k$ циклов равной длины, то получаем оценку $(n/k)^k$. Если искать максимум по $k$, то получаем $k=n/e$ и оценку $e^{n/e}$.

Но как доказать, что именно при циклах равной длины получается максимум? В силу симметрии?..

[Null]

Я предлагаю разбить длинные циклы. А потом 3 двойки заменить на 2 тройки.

[RIP]

Неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим.

[caxap]

caxap в сообщении #414840 писал(а):

Но как доказать, что именно при циклах равной длины получается максимум?

Вопрос снят. Разобрался, это обычный условный экстремум.

RIP
Не совсем понял

[id]

$e e^{-1} = e \Rightarrow e e^{-1} e = e \Rightarrow e^{-1} e e^{-1} e = e^{-1} e$. Умножаем справа на правый обратный к $e^{-1} e$, получаем $e^{-1} e = e$.
Дальше, наверно, похожие "трюки".

[RIP]

caxap в сообщении #414938 писал(а):

RIP
Не совсем понял

Я имел в виду, что если длины циклов $l_1,\ldots,l_m$, то порядок $\le l_1\ldots l_m\le \left(\frac{l_1+\ldots+l_m}m\right)^m=\left(\frac nm\right)^m<\mathrm e^{n/\mathrm e}$.

[caxap]

RIP
Ааа, ясно. Спасибо!

[caxap]

3.2. Доказать, что $\arctg \frac 34$ несоизмерим с $\pi$.

Задача в параграфе про циклические группы, наверное с этим надо как-то связать. Если взять число $c=\exp\left(i \arctg\frac 34\right)$, то для того, чтобы $\arctg\frac 34$ был соизмерим с $\pi$, нужно, чтобы порядок $c$ был конечен, то есть $\exists n \in\mathbb N: c^n=1$. Исходя из этого, я пытался к чему-нибудь прийти, что бы показывало, что такого $n$ не существует. Но каким бы путём я ни шёл, всё время возвращаюсь к началу (то есть к условиям типа $n\arctg \frac 34=2\pi k$, $k\in\mathbb Z$, что равносильно условию задачи).

Может я вообще не туда думаю. Дайте, пожалуйста, подсказку...

-- 25 фев 2011, 00:12 --

(Могу свести вопрос к соизмеримости $\arccos \frac45$ или $\arcsin\frac 35$ c $\pi$. Но, похоже, в этом полезного ничего нет.)