Сферическая система координат

[evgeniy]

В сфязи с новыми идеями о теме сферическая система координат, я вновь поднимаю эту тему, которую пытался обсуждать в разделе дискусионные проблемы в разделе "Физика". Дело в том, что как я понимаю сферическая система координат имеет большой недостаток, так как не адитивна по углу $\theta$. ПОясню это. сферическая функция состоит из двух частей. $Y_{nm}(\theta,\phi)=P_n^m(\theta)exp(im\phi)$. При этом углы $\phi$ при вычислении произведения складываются, т.е. $exp(i\phi_1)exp(i\phi_2)=exp[i(\phi_1+\phi_2)]$, а угол $\theta $ не складывается $P_n^m(\theta_1)P_n^m(\theta_2)\ne P_n^m(\theta_1+\theta_2)$. А по самой природе углы должны складываться. Кроме того производная от этой функции, не является этой же функцией с постоянным коэффициентом, что создает большие сложности при численном счете. Дифференцируя мнимую экспоненту получаем простую формулу (экспоненту с коэффициентом). Эти два недостатка делают по моей точке зрения сферическимие функции не удобными, по крайней мере в вычислениях. Возникает идея, построить такие функции, которые были бы аддитивны по углом, т.е. решение имело вид $exp(in\phi_1+im\phi_2)$. И мне удалось построить такие углы. Но об этом в следующем сообщении, так как сообщения вынуждены быть короткими.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #414387 писал(а):

А по самой природе углы должны складываться

Вы бы обосновалио как-то это заявление. Так уж и должны?

evgeniy в сообщении #414387 писал(а):

Возникает идея, построить такие функции, которые были бы аддитивны по углом, т.е. решение имело вид $exp(in\phi_1+im\phi_2)$. И мне удалось построить такие углы. Но об этом в следующем сообщении, так как сообщения вынуждены быть короткими.

Вы не забудьте, при этом, что традиционные сферические функции ортогональны друг другу на сфере. Посему, когда введете Ваши новые функции и на них наглядитесь и нарадуетесь, докажите их ортогональность.

[evgeniy]

Из курса средней школы известно, что угол получается, если взять окружность и измерить величину дуги, и разделить на радиус. Так как длина дуги складывается, то углы складываются. ПРичем угол $\theta $
измеряется только на отрезке $[0,\pi]$, так что складывать эти углы проблематично, так как они определяются конусом и не являются дугой сферы, а множество дуг.
Ортогональность полученных углов следует из вида решения $exp(in\phi_1+im\phi_2)$. Но построение этих углов довольно сложная процедура.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #414430 писал(а):

следует из вида решения $exp(in\phi_1+im\phi_2)$. Но построение этих углов довольно сложная процедура.

О том, что 'следует', говорить пока рано. Увидим функции, проверим, ''следует'' или нет.

[evgeniy]

Для построения ортогональных углов с простым метрическим соотношением $ds^2=dR^2+R^2(d\phi_1^2+d\phi_2^2)$ введем углы по формуле $\psi_l=arg(x_3+ix_l)$. ДЛя этих углов справедливо соотоношение в случае если тело является сферой.
$x_1=Rsin\psi_1/\sqrt{1+cos^2\psi_1 tan^2\psi_2}=R\alpha_1$
$x_2=Rsin\psi_2/\sqrt{1+cos^2\psi_2 tan^2\psi_1}}=R\alpha_2$
$x_3=Rcos\psi_1/\sqrt{1+cos^2\psi_1 tan^2\psi_2}=Rcos\psi_2/\sqrt{1+cos^2\psi_2 tan^2\psi_1}}=R\alpha_3$
третья формула имеет два тождественных вида, равные один другому. Формула построена таким образом, что $\sum_{n=1}^3 x_n^2=R^2$.
Подсчитаем метрический тензор этого преобразования, углы у него ортогональны радиусу. Это не трудно доказать дифференцируя $\sum_{n=1}^3 \alpha_n^2=1$.
при этом Лапласиан можно разюить на две части, имеющие вид (это оправдается вычислением каждой части)
$\frac{1}{R^2}\frac{\partial }{\partial R}R^2\frac{\partial P}{\partial R}-\frac{\delta^2}{R^2}P=0$
$\sum_{k,l=1}^{2}\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial \psi_k}\sqrt{g}g^{kl}\frac{\partial \Phi}{\partial \psi_l}+\delta^2\Phi=0$
Будем преобразовывать уравнение
$\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial \psi_1}\sqrt{g}[g^{11}\frac{\partial \Phi}{\partial \psi_1}+g^{12}\frac{\partial \Phi}{\partial \psi_2}]+n_1^2 \Phi=0$

-- Сб фев 19, 2011 12:45:18 --

Будем преобразовывать уравнение
$\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial \psi_1}\sqrt{g}[g^{11}\frac{\partial \Phi}{\partial \psi_1}+g^{12}\frac{\partial \Phi}{\partial \psi_2}]+n_1^2 \Phi=0$
Распишем первую часть этой формулы
$\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial h[\zeta(\psi_1,\psi_2)]}{\partial \psi_1}=\gamma \frac{\partial h[\zeta(\psi_1,\psi_2)] }{\partial \zeta}$/
так как справедливо
$\frac{\partial h[\zeta(\psi_1,\psi_2)]}{\partial \psi_1}=\gamma \frac{\partial h[\zeta(\psi_1,\psi_2)] }{\partial \zeta}\frac{\partial \zeta}{\partial \psi_1}$
получим
$\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial \zeta}{\partial \psi_1}=\gamma$
Интегрируем это уравнение, получаем значение величины
$\zeta$
Далее решаем вторую часть формулы
$\sqrt{g}g^{11}\frac{\partial k[\phi_1(\psi_1,\psi_2)]}{\partial \psi_1}+g^{12}\frac{\partial k[\phi_1(\psi_1,\psi_2)]}{\partial \psi_2}=\gamma\frac{\partial k[\phi(\psi_1,\psi_2)]}{\partial \phi_1}$
Получаем уравнение в частных производных первого порядка
$\sqrt{g}g^{11}\frac{\partial \phi_1}{\partial \psi_1}+g^{12}\frac{\partial \phi_1}{\partial \psi_2}=\gamma$
Решаем это уравнение в частных производных, задавая $\phi_1(\psi_1,\psi_2)=-\zeta{\psi_1,\psi_2)+\gamma\theta(\psi_1,\psi_2)$
Приэтом величина $\theta(\psi_1,\psi_2)$ ищем в виде
$\theta(\psi_1,\psi_2)=\sum_{p,q=-L}^{L}[a_{pq}cos(p\psi_1+q\psi_2)+b_{pq}sin(p\psi_1+q\psi_2)$

[shwedka]

.

evgeniy в сообщении #414570 писал(а):

$x_3=Rcos\psi_1/\sqrt{1+cos^2\psi_1 tan^2\psi_2}=Rcos\psi_2/\sqrt{1+cos^2\psi_2 tan^2\psi_1}}=R\alpha_3$
третья формула имеет два тождественных вида, равные один другому.

Очевидно, что это не так. Например, возьмите один из косинусов положительный, а другой отрицательный.

evgeniy в сообщении #414570 писал(а):

при этом Лапласиан можно разюить на две части

Неверно. Не Лапласиан, а уравнение Лапласа.

evgeniy в сообщении #414570 писал(а):

Подсчитаем метрический тензор этого преобразования,

Не подсчитано.

evgeniy в сообщении #414570 писал(а):

Будем преобразовывать уравнение
$\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial \psi_1}\sqrt{g}[g^{11}\frac{\partial \Phi}{\partial \psi_1}+g^{12}\frac{\partial \Phi}{\partial \psi_2}]+n_1^2 \Phi=0$

А откуда это уравнение взялось?
Раньше его не было.
А дальше появляется много новых букв, без какого-либо объяснения.

[evgeniy]

Найдя величины $\zeta,\phi_1$ член Лапласиана запишется в виде уравнения
$\gamma\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \zeta \partial \phi_1}+n^2\Phi=0$
т.е. имеем решение в виде
$\Phi=exp[in\gamma(\zeta+\phi_1)]$/
Заменяя величину в экспоненте $\gamma(\zeta+\phi_1)=\varphi_1$ и выбирая величину $\gamma$ для того чтобы $\varphi_1$ имела период $2\pi$, получим следующий вид оператора Лапласа
$\frac{1}{R^2}[\frac{\partial }{\partial R}R^2\frac{\partial U}{\partial R}+\frac{\partial^2 U}{\partial \varphi_1^2} +\frac{\partial^2 U}{\partial \varphi_2^2}]=0 $
т.е. ортогональные углы построены.
КАков же их физический смысл. Почему я выставил эту идею на обсуждение. Я надеюсь получить физический смысл построенных углов, или какие-то новые импульсы. Тут у меня большие сомнения. если это углы тора, сфера превращается в цилинр и замыкается, образуя тор, тогда эти углы имеют смысл углов тора. Углы тора ортогональны и имеют период два пи. Но дело в том, что формула для координат в случае тора другая. Возможно тело оставить сферой, тогда построенная сетка просто двойная, ведь при изменении углов $[0,\pi]$, сетка замкнется, и при дальнейшем обобщении этих углов одной точке на сфере соответствуют два угла, приходящие с разных напрвлений. Каков же истинный смысл этих углов для меня пока загадка.

-- Сб фев 19, 2011 13:50:32 --

Я же написал, что эти формулы тождественны и сводится к одной
$x_3=1/\sqrt{1+tan^2\psi_1+tan^2\psi_2}$
углы $\psi_1,\psi_2$ построены таким образом, что косинус этих этих углов меняет знак одновременно при значении равном $\pi/2$ . Они преобразованы к такому виду, чтобы правильно учитывать знаки декартовой системы координат.
Выражение
$\frac{1}{g}\frac{\partial }{\partial \psi_1}\sqrt{g}[g^{11}\frac{\partial \Phi}{\partial \psi_2}+g^{11}\frac{\partial \Phi}{\partial \psi_2}]+n_1^2 \Phi=0$
одного из членов уравнения Лапласа, который можно привести к более простому виду.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #414589 писал(а):

что косинус этих этих углов меняет знак одновременно при значении равном $\pi/2$ .

Прекрасно, но может же быть, ччто один из углов больше, а другой меньше $\pi/2$

evgeniy в сообщении #414589 писал(а):

Выражение
$\frac{1}{g}\frac{\partial }{\partial \psi_1}\sqrt{g}[g^{11}\frac{\partial \Phi}{\partial \psi_2}+g^{11}\frac{\partial \Phi}{\partial \psi_2}]+n_1^2 \Phi=0$
одного из членов уравнения Лапласа, который можно привести к более простому виду.

замечательно. Но не видно, как решение для ЭТОГО члена и решение для второго уравнения связаны с полным решением.

И по-прежнему много неопределенных букв.

[12d3]

evgeniy
Для прояснения ситуации, можете написать, каким углам соответствуют точки $(1,2,3)$ и $(1,2,-3)$?

[evgeniy]

Не могу сказать. Решение уравнения Лапласа для сферы имеет вид
$U=\sum_{n,m}a_{nm}exp(in\varphi_1+im\varphi_2)(a/R)^{\sqrt{n^2+m^2+1/4}}$
где a радиус сферы, R радиус до точки наблюдения. Причем имеется сложная зависимость, полученная из приведенного алгоритма
$\varphi_l=\varphi_l(\psi_1,\psi_2),l=1,2$
Я получил выражение для этих углов из сложной зависимости, причем физический смысл этих углов мне не до конца ясен. Как меняются углы $\psi_l,l=1,2$, это понятно, но как меняется угол $\varphi_l,l=1,2$ и какому углу в пространстве он соответствует не понятно.
Причем эту зависимость можно просчитать для сферы, и она будет одинакова для любого тела. НЕобходимо только проводить манипуляции с радиусом для произвольного тела.
Угол $\psi_1=arg(x_3+ix_1)$, т.е соответствует вращению плоскости вокруг оси $ox_2$ и равен углу между плоскостью проходящей через точку $(x_1,x_2,x_3)$ и ось $0x_2$ и плоскостью $x_3=0$

[shwedka]

evgeniy в сообщении #414589 писал(а):

Далее решаем вторую часть формулы
$\sqrt{g}g^{11}\frac{\partial k[\phi_1(\psi_1,\psi_2)]}{\partial \psi_1}+g^{12}\frac{\partial k[\phi_1(\psi_1,\psi_2)]}{\partial \psi_2}=\gamma\frac{\partial k[\phi(\psi_1,\psi_2)]}{\partial \phi_1}$

непонятно, откуда эта вторая часть взялась. Это вторая часть какой формулы?
Как Вы из решений этих двух частей конструируете новые сферические функции?

[evgeniy]

Это внутреняя часть члена уравнения Лапласа. Один член оператора Лапласа равен
$\frac{1}{g}\frac{\partial }{\partial \psi_1}\sqrt{g}[g^{11}\frac{\partial k}{\partial \psi_1}+g^{12}\frac{\partial k}{\partial \psi_2}]$
приравниваю внутренею часть этой формулы
$\sqrt{g}[g^{11}\frac{\partial k}{\partial \psi_1}+g^{12}\frac{\partial k}{\partial \psi_2}]$
новому выражению
$\gamma\frac{\partial k}{\partial \phi_1}$
откуда получаю дифференциальное уравнение относительно $\phi_1$
$\sqrt{g}[g^{11}\frac{\partial \phi_1}{\partial \psi_1}+g^{12}\frac{\partial \phi_1}{\partial \psi_2}]=\gamma$
пользуясь тем, что
$ \frac{\partial k(\phi_1)}{\partial \psi_l}=\frac{\partial k(\phi_1)}{\partial \phi_1}\frac{\partial \phi_1}{\partial \psi_l}$

[shwedka]

Это внутреняя часть члена уравнения Лапласа. Один член оператора Лапласа равен
$\frac{1}{g}\frac{\partial }{\partial \psi_1}\sqrt{g}[g^{11}\frac{\partial k}{\partial \psi_1}+g^{12}\frac{\partial k}{\partial \psi_2}]$

нет. По-прежнему непонятно, поскольку не определены многие буквы.
И не видно, как решение для ЭТОГО члена и решение для второго уравнения связаны с полным решением.

[Time]

evgeniy в сообщении #414387 писал(а):

Возникает идея, построить такие функции, которые были бы аддитивны по углом..

Судя по контексту, имеется ввиду трехмерное евклидово пространство и углы в нем. Думаю, такая задача не имеет решения. Можно привести два аргумента против. Во-первых, группа конформных преобразований, что сохраняет углы в таком пространстве всего десятипараметрическая и сохранить ортогональность трех семейств координатных линий декартовой системы координат можно только в рамках преобразований данной группы. Она слишком бедна, что бы возникли варианты для интересных новых нелинейных систем координат, в частности, с теми аддитивными свойствами по параметрам, которые Вам хотелось бы увидеть. Второй аргумент заключается в отсутствии связей между точками трехмерного евклидова пространства и некой коммутативно-ассоциативной трехкомпонентной алгебры гиперкомплексных чисел, наличие которой автоматически решало бы Вашу задачу c экспонентами.
И все же, все не так печально как кажется на первый взгляд, но для этого, как обычно, нужно от чего то привычного отказаться. Так, если Вы откажитесь от евклидовости трехмерного пространства и рассмотрите некоторые трехмерные линейные финслеровы пространства, имеющие связь с коммутативно-ассоциативными трехкомпонентными гиперкомплексными числами, то ставящаяся Вами задача относительно легко и естественно решается. В таких пространствах, кстати, группа конформных преобразований бесконечнопараметрическая, примерно такая же разнообразная как на евклидовой и на псевдоевклидовой плоскостях, вернее, даже несколько более интересная, что позволяет рассматривать много вариантов криволинейных ортогональных координат, правда, ортогональность тут оказывается несколько хитрее устроена, чем в евклиде или в псевдоевклиде.

[evgeniy]

Обозначения общепринятые $g$ это матрица ковариантного метрического тензора, матрица $g^{lk}$ это контрвариантный метрический тензор. Записано уравнение Лапласа в случае ковариантного метрического тензора $g_{lk}$
Решаются уравнение относительно функции $\phi_1$. Функция $k$, это вспомогательная функция, которая сокращается с помощью равенства
$\frac{\partial k}{\partial \psi_1}=\frac{\partial k}{\partial \phi_1}\frac{\partial \phi_1}{\partial \psi_1}$.
В результате получаем уравнение относительно $\phi_1$,
$g[g^{11}\frac{\partial \phi_1}{\partial \psi_1} +g^{12}\frac{\partial \phi_1}{\partial \psi_2}]=\gamma$
которое и надо решать.
А так пост написан правильно, нужно только разобраться.