Об измерении, циркуле и линейке

[juna]

Квадратуру треугольника можно вообще без единичного отрезка исполнить. А найти единичную меру можно для любого конечного количества наперед заданных отрезков, да так что она их нацело измеряла. А о рациональном соотношении радиусов мы может говорить лишь когда задана мера, которую мы и выбираем по своему усмотрению так.

[незваный гость]

Это как?!? У Вас есть два отрезка, длинной $a$ и $b$. Укажите, пожалуйста, как Вы собиретесь строить $e$. (Если это алгорифм Евклида, приведите его здесь.)

[juna]

Берем три отрезка $a,b,c$.
Берем из них $a,b$, находим их общую меру по алгоритму Евклида, который я описал выше. Пусть это $e_1$. Теперь берем $e_1, c$, находим их общую меру по тому же алгоритму, пусть это будет $e_2$. Ясно, что поскольку $e_2$ измеряет $e_1$, и значит измеряет $a,b,c$.

[незваный гость]

На алгорифм Евклида Вы выше сослались, а не описали. Давайте с него и начнем, с его описания. Если конкретно, меня интересует, почему он остановится (за конечное число операций. Не скажу «за конечное время» — побьют ).

[juna]

Пока что нет времени, освобожусь ближе к вечеру. Но алгоритм Евклида общеизвестен и можно посмотреть непосредстенно у него. http://ilib.mccme.ru/djvu/geometry/nachala.htm

[незваный гость]

Известен. Но здесь не применим. Поскольку Вы настаиваете на применимости, пожалуйста, изложите. Еще раз, меня конкретно интересует, почему он остановится.

[juna]

Да ошибся, несоизмеримые отрезки существуют. Об этом знали уже греки, а я зыбыл. Алгоритм Евклида можно использовать только на соизмеримых отрезках. Пойду учить матчасть.

[AndAll]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Квадратуру треугольника можно вообще без единичного отрезка исполнить. А найти единичную меру можно для любого конечного количества наперед заданных отрезков, да так что она их нацело измеряла. А о рациональном соотношении радиусов мы может говорить лишь когда задана мера, которую мы и выбираем по своему усмотрению так.

Найти единичную меру для любого конечного количества наперед заданных отрезков можно не всегда. Например, даже для любых двух из отрезков $1,\sqrt 2 ,\pi ,e$ нельзя найти единичную меру. И алгоритм Евклида здесь не сработает - ни Вы, не все Ваши потомки работу закончить не смогут никогда.
Невозможность извлечение квадратного корня из отрезка связана не с мерой, а с размерностью, иначе, при возведение отрезка в квадрат (степень), мы получали бы не квадрат (фигуру), а отрезок.
В задачах на построение в качестве единичного отрезка можно взять любой отрезок, но, обычно выбирают, для удобства доказательства или если это необходимо, или радиус окружности, или сторону квадрата, или еще какой-нибудь отрезок из построенных. Хотя многие задачи могут начинаться так: «Возьмем отрезок единичной длины (окружность единичного радиуса)….
Линейка применяется только для проведения прямых, циркуль – для построения окружностей и перенесения уже построенных расстояний.

Цитата:

Позволю себе предположить, что древние греки, от которых пришли эти задачи, также не делали различий между геометрическим и арифметическим и трактовали числа именно как отрезки.

Было бы интересно увидеть решето Эратосфена, где числа представляются отрезками.
Если бы древние не делали различий между геометрическим и арифметическим, то называли бы эту науку одним словом, однако мы знаем, что оба эти названия имеют древнее происхождение. Думаю, что кроме раздела земли нужно было еще считать рабов, скот, монеты и пр.

Наверное, все же, "великое объединение" арифметики и геометрии было сделано Декартом несколько позже.

Цитата:

...Просто конструктивно построение всегда начинаем с каких-то отрезков, которые измеряются нацело. Отрезки длиной , Вам просто так с потолка не свалятся (можно найти меру измеряющую их оба нацело).Можно, конечно, говорить, что нам выдали три отрезка - мучайтесь. Но тогда как минимум два из них можно померить нацело (правда оставшийся можно вообще не померить).

Во-первых, может быть, Вы неправильно понимаете слово «нацело»?
Во-вторых, в задачах на построение ничего не меряется. Числа могут применяться только как безразмерные величины – половина отрезка, две площади, тройной угол – при этом отрезок, площадь или угол уже заданы или найдены.