Математика в быту

[Niclax]

Профессор математики встречает бывшего студента и после недолгого разговора спрашивает:
— Мне интересно, пригодилось ли тебе что-нибудь из моих лекций?
Если пригодилось — расскажи, я хоть буду знать, что не зря работал.
Студент отвечает:
— Еще как пригодилось! Однажды в туалете у меня часы соскользнули с руки и упали в унитаз. Ну, я не растерялся, вспомнил, чему Вы нас учили на лекциях, согнул кусок проволоки в виде интеграла и достал часы.

Некоторые считают, что математика не имеет применения в реальной жизни, "в хозяйстве" так сказать. Нередко возникают вопросы, мол, зачем всю эту математику изучать, если в работе она потом не пригодится. Это вообщем-то справедливо, ведь многие профессии и правда не требуют никаких знаний математики. Но могут ли принести эти знания пользу в обычной, бытовой жизни? Может ли математика быть незаменимым помощником в любом деле? Я считаю, что да, и в этой теме хотелось бы собрать как можно больше конкретных примеров использования математики в быту. Конечно, имеется ввиду не просто счет, а что-нибудь более нетривиальное. Особенно приятны были бы примеры применения мат. анализа и прочей вузовской математики.
Ну и начну с примера из своей жизни. Не важно каким образом, но встала задача узнать длину куска линолеума, замотанного в рулон, не разматывая его. Я решил её следующим образом:

Представим рулон в виде системы концентрических окружностей.
Пусть $d$ - толщина линолеума(можно измерить), $n$ - число слоев в рулоне(можно посчитать).
Тогда $2\pi k d$ - длина $k$-го слоя. Просуммируем длины всех слоев:

$2\pi d(1+2+...+n)=2\pi d\frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)\pi d$

Итого получаем: $l\approx n(n+1)\pi d$

Способ самый простой. Может кто-то предложить другой, дающий ответ с более высокой степенью точности?
Например, если в качестве модели выбрать не окружности, а какую-нибудь спираль Архимеда и посчитать длину как интеграл?

[Maslov]

А ещё можно просто поделить площадь поперечного сечения на толщину слоя:

$l = \pi (R^2 - r^2) / d$

($R$ - наружный радиус рулона, $r$ - внутренний радиус рулона).

[rotozeev]

Я про это думал, когда еще были аудиокассеты. И там я наоборот знал длину ленты, внутренний и внешний радиусы и интересно было прикинуть толщину пленки.
Делал точно так же. Только $n>>1$, поэтому $n^2>>n$ и можно заменить $n(n+1)\approx n^2$.

Ну и по поводу точности: тут возникает вопрос, что считать радиусом i-того слоя? Он ведь не нулевой толщины, поэтому ответ может быть пропорционален как $n(n+1)$ так и $n(n-1)$, в зависимости от того, считаем ли мы что радиус очередного слоя лежит по его внутренней стороне или наружной.

Моя формула такая:
$L=2\pi ( nR_1 + \dfrac{(R_2-R_1)(n-1)}{2}) \approx \pi n (R_2 + R_1)$
$n$ - число витков, $R_2, R_1$ - внешний и внутренний радиус рулона.

[Niclax]

Maslov
rotozeev
Полностью согласен. Но все-таки это приблизительные формулы. Можно заметить, что верхняя и нижняя стороны свернутого до упора линолеума образуют спирали Архимеда, поэтому длину более точно можно посчитать по формуле:

$l=\int\limits_{0}^{2\pi n}\frac{d}{2\pi}\sqrt{1+\phi^2}\, d\phi= \frac{d}{4\pi} \left[ 2\pi n \sqrt{1 + 4\pi^2 n^2} + \ln \left( 2\pi n + \sqrt{1 + 4\pi^2 n^2}\right)]$

При ненулевом внутреннем радиусе рулона эту формулу можно модифицировать.

[Day]

А можно пойти "физическим" путем. Отрезать тоненькую полосочку, взвесить ее, взвесить и рулон
$L = M len / m$ L - длина рулона, len - длина полосочки, M - вес рулона, m - вес полосочки
Конечно, жалко линолиум кромсать

[gris]

Можно сжечь линолеум и по количеству выделившегося тепла оценить массу. По таблицам плотности определить объём, а по нему площадь и, наконец, длину.

[Niclax]

gris в сообщении #402314 писал(а):

Можно сжечь линолеум и по количеству выделившегося тепла оценить массу. По таблицам плотности определить объём, а по нему площадь и, наконец, длину.

Жестоко!

[arseniiv]

А я недавно подтвердил частоту тока в осветительной сети. Вращал флэшку с серебристой поверхностью с частотой $4 \,\text{Гц}$ и смотрел, на какие углы секторы освещённости отражения света лампы разбивают полный угол. Посчитал с прикинутым значением угла, получилась частота почти как есть. Можно, наоборот, измерять углы. Или частоту вращения. Ну, про измерение частоты стробоскопом все и так знают.

[Sonic86]

Я для автобусов подсчитал в среднем, что если до нужного места идти пешком не более 20 мин, то в среднем быстрее дойти пешком, иначе - быстрее на автобусе.
Будку еще делал по чертежу.
Иногда пытался решать задачу коммивояжера - в какой последовательности ходить по магазинам, чтобы быстрее (иногда нужно учитывать очень разные факторы даже)
Вообще, достаточно лишь ориентированного в математическую сторону мозга - далее сам будешь находить задачи где-попало

[Day]

Стоим с товарищем, поджидаем автобус. Я от нечего делать стал вычислять математическое ожидание времяни ожидания. Прикидываю как лучшее, нормально иль по пуассону. На что товарищ, вполне озверев, говорит - ты тут жди математически свой пуассоновый автобус, а я возьму такси!

[Хорхе]

Day в сообщении #402472 писал(а):

нормально иль по пуассону.

Нормальная модель плоха - она означает, что следующий автобус может быть через отрицательное время, значит, уже ушел. А пуассоновская предполагает, что время дискретно.

[Joker_vD]

Хорхе
Нет, ну почему же? Если имелась в виду величина "время между двумя автобусами", то она очень даже может быть распределена нормально, причем дисперсия зависит от времени суток :)

[rotozeev]

Вообще то, в нормальном городе, время между автобусами распределено не нормально и не по Пуассону, а по расписанию.

[Joker_vD]

Это в теории. На практике же именно что по нормальному закону, так как на время между автобусами влияет куча независимых случайных факторов, и тогда по центральной предельной теореме...

[rotozeev]

Joker_vD в сообщении #402506 писал(а):

Это в теории. На практике же именно что по нормальному закону, так как на время между автобусами влияет куча независимых случайных факторов, и тогда по центральной предельной теореме...

Хорошо. Мат ожидание определяется расписанием, а дисперсия - случайными факторами и разгильдяйством.