Вопрос о целочисленной последовательности

[arseniiv]

Известно, что при $n \to \infty$ $F_{n + 1} / F_n \to \phi$. Последовательность Фибоначчи целочисленная, а $\phi$ — алгебраическое.

А есть ли такая целочисленная последовательность $(a_n)$, для которой $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \pi$ или, например, $e$?

[Dan B-Yallay]

Наверняка есть. Другое дело - можно ли ее задать рекуррентно как у Фибоначчи...

[Null]

$a_{n+1}=[a_n \pi]$ - целая часть.

[arseniiv]

Спасибо вам обоим! Забыл важные условия. Последовательность должна мочь задаваться рекуррентной формулой, не содержащей $\pi$ (или $e$, смотря какую рассматриваем). Теперь боюсь, можно показать, что таких последовательностей нет?

[Gortaur]

Сколько память должна быть у формулы? Сколько уровней?

[arseniiv]

Не знаю. Интересно, существуют ли такие последовательности вообще.

[Gortaur]

Ваш вопрос сложно сформулировать :) дело в том, что "не содержит $\pi$" это как-то некорректно...
поуже что-то надо, вроде

$$ a_{n+k} =P(a_{n+k-1},...,a_{n}) $$

где $P$ - полином там с целыми коэффициентами например.

[Null]

Да укажите класс последовательностей.

Как доказать что целочисленные последовательности заданные линейными рекуррентными соотношениями не подходят?

Если $a_n=\left[\frac{n^n}{n!}\right]$ , то $a_{n+1}/a_{n}\to e$

[arseniiv]

А, ещё рекуррентное соотношение не должно содержать номеров членов.

[Gortaur]

О, я понял правила игры - мы предлагаем последовательности, а ТС их отметает по новому придуманному признаку. Когда остановимся?

[arseniiv]

Пока временно остановимся, надо ТС поспать.

[Sonic86]

В классе линейных рекуррентных последовательностей (к ним относятся числа Фибоначчи) такой последовательности нету, там вообще $\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{a_{n+k}}{a_n}$ будет алгебраическим числом для любого постоянного $k$.

[Null]

Sonic86 в сообщении #393173 писал(а):

В классе линейных рекуррентных последовательностей (к ним относятся числа Фибоначчи) такой последовательности нету, там вообще $\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{a_{n+k}}{a_n}$ будет алгебраическим числом для любого постоянного $k$.

Предсказуемо. А как доказать?

[ИСН]

Ну это просто, у них там общая формула есть.

[Null]

Если просто докажите. Проблема в том что могут быть одинаковые по модулю характеристические числа.