2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение28.12.2010, 18:44 
Известно, что при $n \to \infty$ $F_{n + 1} / F_n \to \phi$. Последовательность Фибоначчи целочисленная, а $\phi$ — алгебраическое.

А есть ли такая целочисленная последовательность $(a_n)$, для которой $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \pi$ или, например, $e$?

 
 
 
 Re: Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение28.12.2010, 18:55 
Аватара пользователя
Наверняка есть. Другое дело - можно ли ее задать рекуррентно как у Фибоначчи...

 
 
 
 Re: Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение28.12.2010, 19:00 
$a_{n+1}=[a_n \pi]$ - целая часть.

 
 
 
 Re: Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение28.12.2010, 19:06 
Спасибо вам обоим! Забыл важные условия. Последовательность должна мочь задаваться рекуррентной формулой, не содержащей $\pi$ (или $e$, смотря какую рассматриваем). Теперь боюсь, можно показать, что таких последовательностей нет? :?

 
 
 
 Re: Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение28.12.2010, 19:11 
Сколько память должна быть у формулы? Сколько уровней?

 
 
 
 Re: Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение28.12.2010, 19:21 
Не знаю. Интересно, существуют ли такие последовательности вообще.

 
 
 
 Re: Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение28.12.2010, 19:32 
Ваш вопрос сложно сформулировать :) дело в том, что "не содержит $\pi$" это как-то некорректно...
поуже что-то надо, вроде
$$
a_{n+k}  =P(a_{n+k-1},...,a_{n})
$$
где $P$ - полином там с целыми коэффициентами например.

 
 
 
 Re: Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение28.12.2010, 19:49 
Да укажите класс последовательностей.

Как доказать что целочисленные последовательности заданные линейными рекуррентными соотношениями не подходят?

Если $a_n=\left[\frac{n^n}{n!}\right]$ , то $a_{n+1}/a_{n}\to e$

 
 
 
 Re: Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение28.12.2010, 23:22 
А, ещё рекуррентное соотношение не должно содержать номеров членов.

 
 
 
 Re: Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение28.12.2010, 23:38 
О, я понял правила игры - мы предлагаем последовательности, а ТС их отметает по новому придуманному признаку. Когда остановимся? :D

 
 
 
 Re: Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение29.12.2010, 00:16 
Пока временно остановимся, надо ТС поспать. :-)

 
 
 
 Re: Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение29.12.2010, 07:15 
В классе линейных рекуррентных последовательностей (к ним относятся числа Фибоначчи) такой последовательности нету, там вообще $\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{a_{n+k}}{a_n}$ будет алгебраическим числом для любого постоянного $k$.

 
 
 
 Re: Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение29.12.2010, 10:26 
Sonic86 в сообщении #393173 писал(а):
В классе линейных рекуррентных последовательностей (к ним относятся числа Фибоначчи) такой последовательности нету, там вообще $\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{a_{n+k}}{a_n}$ будет алгебраическим числом для любого постоянного $k$.


Предсказуемо. А как доказать?

 
 
 
 Re: Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение29.12.2010, 10:29 
Аватара пользователя
Ну это просто, у них там общая формула есть.

 
 
 
 Re: Вопрос о целочисленной последовательности
Сообщение29.12.2010, 11:08 
Если просто докажите. Проблема в том что могут быть одинаковые по модулю характеристические числа.

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group