Какие три функции координат образуют векторное поле?

[Ales]

Чтобы определить дивергенцию не нужна метрика, достаточно объема.

[paha]

вот стартуем от интегрального определения дивергенции:

$$ div A (p)=\lim_{V\to \{p\}}\frac{\int_{\partial V}(A,dS)}{Vol(V)} $$

(пределе область $V$ стягивается в точку $p$), где
$(A,dS)=A_xdy\wedge dz+A_ydz\wedge dx+A_z dx\wedge dy=A\lrcorner dx\wedge dy\wedge dz$

Обобщение этой формулы на произвольные многообразия с формой объема $Vol$ (тут Вы правильно написали в последнем сообщении) таково:

$$ div A (p)=\lim_{V\to \{p\}}\frac{\int_{\partial V}A\lrcorner Vol}{Vol(V)}, $$

поэтому $div A \cdot Vol=d(A\lrcorner Vol)$, откуда в римановом случае следует та формула, которую я привел (по формуле Фосса-Вейля, символ $\Gamma^i_{ij}$ выражается через форму объема) а не та, которую защищали Вы.

Однако, операция дивергенции обобщается и на произвольные тензора (и формы! не забываем, что градиент это 1-форма), где одной формой объема уже не отделаться:)))

[Munin]

paha в сообщении #388763 писал(а):

Переведу в координаты:

$$ \nabla X (\partial_i)=\nabla_{\partial_i}(X^j\partial_j)=\frac{\partial X^j}{\partial x^i}\partial_j+X^j\Gamma_{ij}^k\partial_k=\Bigl( \frac{\partial X^k}{\partial x^i}+\Gamma_{ij}^kX^j\Bigr)\partial_k $$

след матрицы этого линейного преобразования

$$ {\rm Tr}\nabla X=\frac{\partial X^i}{\partial x^i}+\Gamma_{ij}^iX^j $$

Чё-то не так, в первой формуле один свободный индекс ($k$ сверху и снизу, так что он немой), а потом вы берёте от неё след.

-- 18.12.2010 17:03:53 --

paha в сообщении #388792 писал(а):

...поэтому $div A \cdot Vol=d(A\lrcorner Vol)$, откуда в римановом случае следует та формула, которую я привел.

Так, теперь берём эту формулу
$div\,A=\dfrac{d(A\lrcorner Vol)}{Vol}$
и изменяем функцию $Vol$ в $k$ раз, что тогда происходит с числителем? Моих знаний недостаточно, объясните, пожалуйста.

[paha]

Munin в сообщении #388795 писал(а):

Чё-то не так, в первой формуле один свободный индекс ($k$ сверху и снизу, так что он немой), а потом вы берёте от неё след.

$\nabla X(\partial_i)=a_i^k\partial_k$
след матрицы преобразования -- то, что нужно:)

Munin в сообщении #388795 писал(а):

Так, теперь берём эту формулу
$div\,A=\dfrac{d(A\lrcorner Vol)}{Vol}$
и изменяем функцию $Vol$ в $k$ раз, что тогда происходит с числителем? Моих знаний недостаточно, объясните, пожалуйста.

$Vol$ -- не функция, а $n$-форма

-- Сб дек 18, 2010 17:14:52 --

но Вы правы в том, что при гомотетиях формы объема дивергенция не меняется

[Vallav]

paha в сообщении #388792 писал(а):

вот стартуем от интегрального определения дивергенции:

$$ div A (p)=\lim_{V\to \{p\}}\frac{\int_{\partial V}(A,dS)}{Vol(V)} $$

(пределе область $V$ стягивается в точку $p$), где
$(A,dS)=A_xdy\wedge dz+A_ydz\wedge dx+A_z dx\wedge dy=A\lrcorner dx\wedge dy\wedge dz$

Подобное же определение градиента не приведете?
И затем покажите, что максимум производной по направлению от скалярного поля по приращению длины зависит от системы координат.

[paha]

Vallav в сообщении #388806 писал(а):

И затем покажите, что максимум производной по направлению от скалярного поля по приращению длины зависит от системы координат.

не говорите мне что делать -- сделайте сами)))

[Ales]

paha в сообщении #388792 писал(а):

не забываем, что градиент это 1-форма

Почему же? Многие считают, что градиент это вектор.

[paha]

Vallav в сообщении #388806 писал(а):

по направлению от скалярного поля по приращению длины

к тому же я не понимаю -- по направлению или по приращению длины (длины чего?) вычислять производную от скалярного поля

-- Сб дек 18, 2010 17:26:55 --

Ales в сообщении #388811 писал(а):

Почему же? Многие считают, что градиент это вектор.

я к тому фразу про 1-форму написал, что в пространстве, где задана только форма объема и нет метрического тензора, вектора и ковектора различать уже жизненно необходимо

-- Сб дек 18, 2010 17:35:47 --

Vallav в сообщении #388806 писал(а):

Подобное же определение градиента не приведете?

вот бескоординатное определение градиента:

градиент скалярного поля $f:M\to\mathbb{R}$ в данной точке $p\in M$ это линейный функционал ${\rm grad}\, f:T_pM\to \mathbb{R}$, определенный формулой

$$ {\rm grad}\, f(X)(p)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(\gamma(t)), $$

где $\gamma:(-a;a)\to M$ -- кривая, для которой $\gamma(0)=p$, а $(d\gamma)_0\frac{d}{dt}=X\in T_pM$.

В случае $M=\mathbb{R}^n$ определение выглядит проще:

$$ {\rm grad}\, f(X)(p)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(p+tA) $$

[Vallav]

paha в сообщении #388812 писал(а):

Vallav в сообщении #388806 писал(а):

по направлению от скалярного поля по приращению длины

к тому же я не понимаю -- по направлению или по приращению длины (длины чего?) вычислять производную от скалярного поля

Длина - это расстояние по прямой между точками.
Делите разность значений поля в этих точках на расстояние между точками и устремляете вторую точку к первой по прямой, их соединяющей.
Это будет производная по направлению.
Максимум этой производной в зависимости от направления будет модуль
градиента.
Именно такая штука используется для вывода координатного представления
градиента. [/quote]
Как для вывода координатного представления дивергенции используется
отношение потока через поверхность к объему внутри нее.
То, что в декартовых координатах формула для градиента совпадает с тем,
что Вы пишите - это не значит, что и во всех остальных системах координат
тоже будет совпадать.
Вы посмотрите азы - градиент в сферических координатах.

[paha]

Vallav в сообщении #388832 писал(а):

То, что в декартовых координатах формула для градиента совпадает с тем,
что Вы пишите - это не значит, что и во всех остальных системах координат
тоже будет совпадать.

у меня в формулах -- ни одной координаты:)))
разумеется, во всех системах координат моя формула дает правильные выражения для градиента

Vallav в сообщении #388832 писал(а):

Длина - это расстояние по прямой между точками.
Делите разность значений поля в этих точках на расстояние между точками и устремляете вторую точку к первой по прямой, их соединяющей.
Это будет производная по направлению.
Максимум этой производной в зависимости от направления будет модуль
градиента.

я так и не понял, к чему Вы это пишите

[Vallav]

paha в сообщении #388835 писал(а):

я так и не понял, к чему Вы это пишите

Вы еще одно забыли прокомментировать:
"Вы посмотрите азы - градиент в сферических координатах."
По Вашим формулам получается координатное представление
градиента в сферических координатах?

[paha]

Vallav в сообщении #388848 писал(а):

По Вашим формулам получается координатное представление
градиента в сферических координатах?

разумеется
но чтобы это увидеть надо уметь дифференцировать

[Ales]

paha в сообщении #388851 писал(а):

Vallav в сообщении #388848 писал(а):

По Вашим формулам получается координатное представление
градиента в сферических координатах?

разумеется
но чтобы это увидеть надо уметь дифференцировать

Для Vallav градиент - вектор, который преобразуется из Вашего ко-вектора поднятием индексов с помощью метрики.

-- Сб дек 18, 2010 19:01:36 --

А Вы называете градиентом ко-вектор (инвариантный дифференциал).

[paha]

Ales в сообщении #388857 писал(а):

Для Vallav градиент - вектор, который преобразуется из Вашего ко-вектора поднятием индексов с помощью метрики.

я в курсе (объяснили бы Вы это ему, что без подъема индексов -- без метрики - не обойтись)

[Munin]

paha в сообщении #388800 писал(а):

$Vol$ -- не функция, а $n$-форма

Меня сбило, что вы рядом писали $Vol(V)$ для области $V.$