2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 8  След.
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение16.12.2010, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66374
shwedka в сообщении #387897 писал(а):
К сожалению, такая подмена весьма распространена, но это не делает ее н капли обоснованной.

Разумеется, там, где она "распространена", там же для неё вводятся и основания, явно оговорённое расширение значений $\sigma$ ($\varsigma$ никто не использует) с кривой на всё пространство. Вот только их Александр Козачок никогда не присовокупляет. "Интегрировать" после этого можно в смысле нахождения интеграла дифференциального уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение16.12.2010, 01:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3534
Швеция

(Оффтоп)

Munin в сообщении #387922 писал(а):
($\varsigma$ никто не использует)

Ну уж очень буква необычная. Начитавшись Козачка, я уже ее употребила в статье. Особенно изящно выглядит, когда рядом с $\zeta$



Александр Козачок в сообщении #377805 писал(а):
Основная причина - публичный отказ единственного оппонента продолжать дискуссию.

Только сейчас заметила.
Ну, знаете, это

(Оффтоп)

....ство
гнусный подлог. Это Вы отказываетесь отвечать на многократно поставленный вопрос, лежащий в основе. А без этого ответа -- нечего обсуждать!

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение16.12.2010, 02:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
мне кажется, под "функциями координат" Лойцянский понимает не отображения $\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$, а именно функции координат, т.е. отображение $\{\mbox{множество координат}\}\to\mathbb{R}^3$

Разумеется, тогда не любая "функция координат" есть вектор. Например, градиент скалярной функции -- не вектор.

Мы-то тут по-простому функции координат понимаем.

-- Чт дек 16, 2010 02:23:15 --

ах... shwedka
меня опередила:^)
но ничего, другими словами о том же -- нелишне

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение16.12.2010, 07:29 


04/04/06
324
Киев, Украина
Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

shwedka в сообщении #387836 писал(а):
Итак, Вы убежали из математического форума в физический, не ответив на мои вопросы.
Не волнуйтесь, я вернусь. Это лишь передышка для осмысления Вашего ультиматума.

shwedka в сообщении #387836 писал(а):
…у Лойцянского, если прочитать не только эту строчку, но и текст вокруг, написано совершенно правильно и точно.
Это весьма важное признание профессионального математика!

Цитата:
Вы щедры на громогласные заявления, разрушающие основы наук, но четкого определения или формулировки от Вас НИКОГДА не добьешься. И я устала Вам объяснять, что все Ваши 'доказательства' ничего не доказывают, поскольку нет точных формулировок. Повторяю: Вы ничего не доказали.
Итак, давайте без лишних эмоций по небольшим частям разберемся по принципу «ДА» или «НЕТ», против чего Вы возражаете. Имеется в виду только прямоугольная система координат.
1.
Александр Козачок в сообщении #387371 писал(а):
Векторные уравнения, записанные в покомпонентной форме ничем (кроме символов) не отличаются от системы обычных уравнений с неизвестными, не являющимися компонентами вектора. Поэтому, чтобы иметь право оставить форму записи уравнений неизменной при изменении ориентации системы координат, мы должны наложить какие-то ограничения на содержащиеся в уравнениях величины.
Согласны?

2.
Прокомментируйте, пожалуйста, это утверждение
paha в сообщении #387959 писал(а):
Разумеется, тогда не любая "функция координат" есть вектор. Например, градиент скалярной функции -- не вектор.
А затем пойдем дальше.

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение16.12.2010, 08:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3534
Швеция
Александр Козачок в сообщении #387970 писал(а):
shwedka в сообщении #387836 писал(а):
…у Лойцянского, если прочитать не только эту строчку, но и текст вокруг, написано совершенно правильно и точно.
Это весьма важное признание профессионального математика!

Ах, опять Вы смогли прочитать лишь одну строчку, не заметив или не поняв все остальное.

-- Чт дек 16, 2010 07:19:22 --

Александр Козачок в сообщении #387970 писал(а):
1.
Александр Козачок в сообщении #387371 писал(а):
Векторные уравнения, записанные в покомпонентной форме ничем (кроме символов) не отличаются от системы обычных уравнений с неизвестными, не являющимися компонентами вектора. Поэтому, чтобы иметь право оставить форму записи уравнений неизменной при изменении ориентации системы координат, мы должны наложить какие-то ограничения на содержащиеся в уравнениях величины.

Вы опять перепутали.
В фиксированной системе координат
никаких ограничений нет

Требование инвариантности или ковариантности уравнений при замене переменных накладывает ограничения на то, как функции, входящие в уравнение, меняются при замене переменных. А это зависит от конкретного вида уравнения.

Так что, опять,
Если мы рассматриваем уравнения в фиксированной системе координат, то никаких скрытых ограничений нет.
Александр Козачок в сообщении #387970 писал(а):
Прокомментируйте, пожалуйста, это утверждение
paha в сообщении #387959 писал(а):
Разумеется, тогда (то есть, в отношении этого определения) не любая "функция координат" есть вектор. Например, градиент скалярной функции -- не вектор.

Правильно, он преобразуется по другому закону.
Но если не интересоваться другими системами координат, а одну из них зафиксировать, то любая вектор-функция нужной размерности с нулевым ротором может служить представлением градиента в этой системе

Я ответила. Теперь Ваша очередь. Что такое векторное поле в Вашем понимании?

Тлько не надо Вашей обычной песни типа 'прежде, чем ответить, я бы хотел еще выяснить...' или 'на самом деле не этот вопрос важен, а...'-- и так без конца.
Наберитесь сил один раз в жизни ответьте прямо на поставленный вопрос. Вы же эту кашу заварили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение16.12.2010, 11:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
shwedka в сообщении #387975 писал(а):
Но если не интересоваться другими системами координат, а одну из них зафиксировать, то любая вектор-функция нужной размерности с нулевым ротором может служить представлением градиента в этой системе

(Оффтоп)

в некоторой односвязной области :mrgreen:




Вообще такое определение тензоров -- олдскульная привычка физиков. Мне помнится, и в Ландау-Лифшице примерно та же идеология. Это объясняется спецификой физических уравнений -- их ковариантностью.


Я, кстати, присоединяюсь к просьбе
shwedka в сообщении #387975 писал(а):
Что такое векторное поле в Вашем понимании?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение16.12.2010, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66374
paha в сообщении #387994 писал(а):
Вообще такое определение тензоров -- олдскульная привычка физиков. Мне помнится, и в Ландау-Лифшице примерно та же идеология. Это объясняется спецификой физических уравнений -- их ковариантностью.

Не понял. Нельзя ли поподробнее - о какой черте определения тензоров тут речь, в чём идеология?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение16.12.2010, 17:18 
Заблокирован


07/08/09

988
shwedka в сообщении #387975 писал(а):
Александр Козачок в сообщении #387970 писал(а):
Прокомментируйте, пожалуйста, это утверждение
paha в сообщении #387959 писал(а):
Разумеется, тогда (то есть, в отношении этого определения) не любая "функция координат" есть вектор. Например, градиент скалярной функции -- не вектор.

Правильно, он преобразуется по другому закону.


Странно. Впервые слышу, что любое потенциальное векторное поле -
не векторное поле.
Вроде при размерности меньше или равной 3 градиент скалярной функции -
вектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение16.12.2010, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66374
Нет, ковектор. Векторы совпадают с ковекторами только в пространствах со скалярным произведением. Например, в пространстве $(x,y,z,t)$ их можно не различать (можно свободно переходить от ковариантных к контравариантным компонентам и обратно), а вот в каком-нибудь пространстве $(P,V)$ - уже нельзя. От размерности это не зависит: всё то же самое имеет место и в размерности 1, и в сколь угодно большой размерности $n.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение16.12.2010, 18:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3534
Швеция
Munin в сообщении #388099 писал(а):
Векторы совпадают с ковекторами только в пространствах со скалярным произведением.

Ну, не совсем совпадают, а канонически отождествляются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение16.12.2010, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66374
Вот в различиях между разными "совпадают" никогда не разбирался. Знаю наизусть только одно заклинание: "совпадают с точностью до изоморфизма", но тут оно, кажется, не подходит. Просветите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение16.12.2010, 20:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Munin в сообщении #388043 писал(а):
Не понял. Нельзя ли поподробнее - о какой черте определения тензоров тут речь, в чём идеология?

ну, для меня $(p,q)$-тензор на многообразии $M^n$ -- это сечение какого-то расслоения с базой $M$, например, $TM^{\otimes p}\otimes T^*M^{\otimes q}\to M$.

В рамках описанной идеологии тензор на многообразии -- это набор функций $\phantom{|}^{\varphi}T_{i_1\ldots i_p}^{j_1\ldots j_{q}}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ для каждой карты $(U,\varphi)$ многообразия $M$, который ведет себя соответствующим образом при переходе от одной карты к другой

Конечно, это один и тот же объект, но идеология разная

Munin в сообщении #388116 писал(а):
"совпадают с точностью до изоморфизма", но тут оно, кажется, не подходит. Просветите?


Ессть канонический изоморфизм $c:V\to V^{**}$ между (конечномерным) линейным пространством и его вторым сопряженным, действующий по формуле $c(v)[l]=l[v]$.
Пространства (конечномерные) $V$ и $V^*$ изоморфны, но определить изоморфизм канонически (т.е. инвариантно, независимо от базисов) -- нельзя без введения дополнительных структур.
Вот как это делается в случае наличия скалярного произведения.
Скалярное произведение -- это элемент $g\in V^*\otimes V^*\simeq Hom(V\otimes V,\mathbb{R})$. Определим $c_g:V\to V^*$ формулой $c_g(v)[u]=g(v,u)$. В силу невырожденности скалярного произведения это -- изоморфизм (поднятия-опускания индексов). Вместо скалярного произведения для построения изоморфизма можно взять любую невырожденную билинейную форму... например -- симплектическую (если она есть).

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение17.12.2010, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66374
paha в сообщении #388141 писал(а):
Конечно, это один и тот же объект, но идеология разная

Я всё ещё не улавливаю, в чём же разница идеологии, если объект один и тот же. Предпочитают ли физики говорить о компонентах? Да, потому что для них важны численные значения. Знают ли они о бескомпонентном описании? Да, многие знают. А идеология тут в чём?

paha в сообщении #388141 писал(а):
Вот как это делается в случае наличия скалярного произведения.

То есть, как я понял, здесь можно сказать "(канонический) изоморфизм по заданному скалярному произведению", так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение17.12.2010, 01:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Munin в сообщении #388246 писал(а):
"(канонический) изоморфизм по заданному скалярному произведению", так?

все-таки не "по", а "с помощью", или "посредством" -

Munin в сообщении #388246 писал(а):
А идеология тут в чём?

в координатном и бескоординатном представлении... одному богу молимся, но по-разному :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение17.12.2010, 09:21 
Заблокирован


07/08/09

988
Munin в сообщении #388099 писал(а):
Нет, ковектор. Векторы совпадают с ковекторами только в пространствах со скалярным произведением. Например, в пространстве $(x,y,z,t)$ их можно не различать (можно свободно переходить от ковариантных к контравариантным компонентам и обратно), а вот в каком-нибудь пространстве $(P,V)$ - уже нельзя. От размерности это не зависит: всё то же самое имеет место и в размерности 1, и в сколь угодно большой размерности $n.$


В случае трехмерного пространства ( я полагаю, исходный вопрос был именно
про него ) скалярное произведение наличиствует?
Градиент скалярной функции - векторное поле?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 110 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 8  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group