Какие три функции координат образуют векторное поле?

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

paha в сообщении #388512 писал(а):

Градиент очень важен во всякого рода инженерии и входит в стандартный курс матана в любом ВТУЗе, но соответствующего алгебраического формализма (форма, двойственное пространство) в стандартном курсе нет.

Это замечание свидетельствует, что наша дискуссия представляет интерес не только для теоретиков. Ее результаты важны для расчетных отделов исследовательских лабораторий и конструкторских бюро, когда при расчетах полей напряжений или скоростей течения приходится задавать форму решения. Не исключено, что за ходом этой дискуссии будут следить многие сотрудники таких отделов, а также студенты и аспиранты технических вузов. Поэтому имеет смысл все свои комментарии и математические выкладки излагать в предельно прозрачной форме, доступной для этой категории читателей.

paha в сообщении #388512 писал(а):

…практические вычисления проводятся в прямоугольных (декартовых) координатах и изменения координат осуществляются ортогональными преобразованиями, а для них $AA^T=E$ и поэтому $l'^T=Al^T$, т.е. ковектора преобразуются как вектора.

Vallav в сообщении #388507 писал(а):

То, что есть пространства, в которых ковектор отличается от вектора -
есть, ну и что? Мы то здесь обсуждаем вполне конкретное пространство.
В котором ковектор совпадает с вектором.

Под конкретным пространством, я полагаю, подразумевается прямоугольная декартова система координат. А теперь посмотрим, что же у нас получается. Мы берем три производные произвольной скалярной функции и объявляем их компонентами ковектора. Но поскольку в данной системе координат законы преобразования вектора и ковектора
одинаковы, то ковектор по сути есть вектор. , как утверждает Vallav. Такой же вывод вытекает и отсюда

shwedka в сообщении #388354 писал(а):

если заданы три функции, то они могут быть и координатами вектора, и координатами ковектора
по нашему выбору

В таком случае, как все это состыковать с утверждениями

Munin в сообщении #388420 писал(а):

в трёхмерном пространстве градиент скалярной функции - не вектор, а ковектор.

paha в сообщении #388418 писал(а):

градиент не является вектором ни в каком векторном пространстве, если его размерность больше 1...

К тому же

shwedka в сообщении #388354 писал(а):

Различие между векторами и ковекторами проявляется при переходе к другой системе. Они преобразуются по разным законам.

Так все-таки, в прямоугольной системе координат они преобразуются по одинаковым, как утверждает paha, или по разным законам, как утверждает shwedka?

С уважением, Александр Козачок

[Munin]

Александр Козачок в сообщении #388610 писал(а):

Под конкретным пространством, я полагаю, подразумевается прямоугольная декартова система координат.

Александр Козачок в сообщении #388610 писал(а):

в данной системе координат законы преобразования вектора и ковектора

Поскольку вы не понимаете разницы между пространством и системой координат, и не знакомы с тем, что законы преобразования относятся не к одной, а к двум системам координат, могу только подивиться, что остальные ваши собеседники ещё не считают диалог с вами полностью бессмысленным.

Предлагаю тему в "Пургаторий" (её alter ego в математическом разделе - тоже).

[shwedka]

Александр Козачок в сообщении #388610 писал(а):

Так все-таки, в прямоугольной системе координат они преобразуются по одинаковым, как утверждает paha, или по разным законам, как утверждает shwedka?

Вы очень невнимательно читаете.
Написали бессмыслицу.

Цитата:

Так все-таки, в прямоугольной системе координат они преобразуются

Преобразованире происходит не в системе. Безграмотно это!
Преобразование происходит при переходе от одной системы к другой!!
Если переход производится ортогональным преобразованием координат, то преобразуются одинаково.
Если неортогональным преобразованием, то по-разному.

Здесь ВСЕ точно и правильно описано.

paha в сообщении #388512 писал(а):

Дело в том, что преобразование компонент векторов (столбцев) $v'=Av$ и ковекторов (строк) $l'=lB$ должны быть связаны соотношением $AB=E$ (единичная матрица). Поэтому для преобразования ковектора-столбца имеет место формула $l'^T=(A^{-1})^Tl^T$.



Однако, по счастливому стечению обстоятельств, мы умеем измерять длины и углы, а практические вычисления проводятся в прямоугольных (декартовых) координатах и изменения координат осуществляются ортогональными преобразованиями, а для них $AA^T=E$ и поэтому $l'^T=Al^T$, т.е. ковектора преобразуются как вектора.

Соблаговолите разобраться.

Но Вы, как всегда, пользуетесь этим отвлекающим маневром,
чтобы в очередной раз уклониться от ответа на заданной вопрос.
Он был задан уже давно, и полного ответа Вы не дали.
Правила напомнить?

ВАШЕ (то есть принимаемое Вами за правильное) определение векторного поля. Да так, чтобы понятие 'вектор' тоже было определено.

-- Пт дек 17, 2010 23:20:14 --

Munin в сообщении #388615 писал(а):

Предлагаю тему в "Пургаторий" (её alter ego в математическом разделе - тоже).

Согласна. Амнистия может быть дана, лишь если автор ближайшим сообщением даст полный ответ. В противном случае- в пургаторий.
При отсутствии определения векторного поля -- пурга с первого поста.

А зачем он все это затеял? У него уже давняя и бредовая идея о занулении дивергенции ускорения. И потому он хочет исключить ''на аксиоматическом уровне'' все контрпримеры.

[Vallav]

Кажется я понял в чем дело.
Всего навсего путаница - есть градиент скалярной функции, который вектор
и есть координатное представление градиента в декартовой системе координат, что конечно не вектор в произвольной системе координат
( в ней формула для координатного представления градиента другая ).
Можете начинать доказывать, что дивергенция векторного поля не скаляр.
Воспользовавшись координатным представлением дивергенции в декартовой
системе координат.

[paha]

Vallav в сообщении #388666 писал(а):

Воспользовавшись координатным представлением дивергенции в декартовой
системе координат.

дивергенция истинного векторного поля всегда скаляр, в какой бы системе координат мы ее не вычисляли

можете перечитать (или прочитать, если до сих пор не читали) $\S$83 "Теории поля" Ландау и Лифшица -- там говорится о том же, только авторитетней

[Vallav]

paha в сообщении #388668 писал(а):

Vallav в сообщении #388666 писал(а):

Воспользовавшись координатным представлением дивергенции в декартовой
системе координат.

дивергенция истинного векторного поля всегда скаляр, в какой бы системе координат мы ее не вычисляли

можете перечитать (или прочитать, если до сих пор не читали) $\S$83 "Теории поля" Ландау и Лифшица -- там говорится о том же, только авторитетней

Ну да. А градиент скалярного поля всегда векторное поле.
А вот формулы для координатного представления как дивергенции так и
градиента в разных системах координат могут быть разные.
Вы слыхали про такое - бескоординатное представление градиента и
дивергенции?

[paha]

Vallav в сообщении #388672 писал(а):

А вот формулы для координатного представления как дивергенции так и
градиента в разных системах координат могут быть разные.

Вы будто бы не слышите

Vallav в сообщении #388672 писал(а):

А градиент скалярного поля всегда векторное поле.

нет

Vallav в сообщении #388672 писал(а):

А вот формулы для координатного представления как дивергенции так и
градиента в разных системах координат могут быть разные.

не "могут быть", а должны быть

Vallav в сообщении #388672 писал(а):

Вы слыхали про такое - бескоординатное представление градиента и
дивергенции?

Если Вам от этого станет легче.
Градиент скалярного поля $f$ -- это 1-форма $df$
дивергенция векторного поля -- это след линейного оператора $\nabla X:TM\to TM$,
действующего согласно $\nabla X(Y)=\nabla_YX$ ($\nabla_Y$ -- ковариантная производная)

[Ales]

paha в сообщении #388668 писал(а):

дивергенция истинного векторного поля всегда скаляр, в какой бы системе координат мы ее не вычисляли

Кажется, когда физик говорит "дивергенция - скаляр", он имеет в виду инвариантность операции относительно замены координат.

Операция дивергенции инвариантна тогда и только тогда, когда замена координат сохраняет объем.

-- Сб дек 18, 2010 12:54:26 --

paha в сообщении #388687 писал(а):

Градиент скалярного поля $f$ -- это 1-форма $df$

Градиент - вектор. Надо еще индекс поднять. Без метрики никак не обойтись.

[Munin]

paha
Скажите, а как с дивергенцией векторного поля соотносится ${}\mathbin{*}d\mathbin{*}\omega,$ то есть нельзя ли её через это как-то записать?

-- 18.12.2010 13:08:44 --

Ales в сообщении #388706 писал(а):

Градиент - вектор. Надо еще индекс поднять. Без метрики никак не обойтись.

Градиент вводится и в пространствах без метрики, где индекс поднять никак нельзя, и он остаётся снизу. Поэтому в общем случае градиент - ковектор. Но если есть метрика, индекс поднять можно, о чём здесь было уже неоднократно сказано.

-- 18.12.2010 13:20:33 --

Ales в сообщении #388706 писал(а):

Операция дивергенции инвариантна тогда и только тогда, когда замена координат сохраняет объем.

Нет, вообще всегда (от истинного вектора). В индексных обозначениях: $\dfrac{\partial}{\partial x^i}v^i$ - не имеет ни одного индекса. Просто в физике чаще встречается дивергенция от плотности потока, а это векторная плотность, а не вектор, и дивергенция от него тоже плотность. Вот такая операция записывается как $j^i{}_{;i}=\dfrac{1}{\sqrt{g}}\dfrac{\partial}{\partial x^i}\left(\sqrt{g}\,j^i\right).$

[Ales]

Munin в сообщении #388711 писал(а):

Градиент вводится и в пространствах без метрики, где индекс поднять никак нельзя, и он остаётся снизу. Поэтому в общем случае градиент - ковектор. Но если есть метрика, индекс поднять можно, о чём здесь было уже неоднократно сказано.

Не согласен. Называть градиентом дифференциал не хорошо.

[paha]

Ales в сообщении #388706 писал(а):

Кажется, когда физик говорит "дивергенция - скаляр", он имеет в виду инвариантность операции относительно замены координат.

Операция дивергенции инвариантна тогда и только тогда, когда замена координат сохраняет объем.

Вы прочитайте все, что сверху было написано:)))
метрический тензор (и объем) спрятаны в ковариантной производной

Ales в сообщении #388706 писал(а):

Градиент - вектор

Вы прочитайте все, что сверху было написано:))) Мы все подробно обсудили

-- Сб дек 18, 2010 13:28:55 --

Ales в сообщении #388706 писал(а):

Операция дивергенции инвариантна тогда и только тогда, когда замена координат сохраняет объем.

то определение дивергенции, которое я процитировал, инвариантно, т.е. не зависит от выбора системы координат, понимаете?

[Ales]

Munin в сообщении #388711 писал(а):

Нет, вообще всегда (от истинного вектора).

Я имел в виду инвариантность формулы для нахождения дивергенции векторного поля: $\dfrac{\partial}{\partial x^i}v^i$.
Эта формула одинакова во всех координатах, которые сохраняют объем.
Поток это 2-форма, дивергенция потока - это дифференциал потока, она всегда инвариантна.

-- Сб дек 18, 2010 13:51:44 --

paha в сообщении #388723 писал(а):

то определение дивергенции, которое я процитировал, инвариантно, т.е. не зависит от выбора системы координат, понимаете?

Я так понимаю:
Есть евклидово пространство, в нем векторное поле и его дивергенция, вычисляемая по определенным формулам.
При переходе к другим координатам эта дивергенция будет вычисляться по другим формулам (появляются символы Кристоффеля).
Инвариантен результат, а не формулы для его нахождения.

[paha]

Munin в сообщении #388711 писал(а):

как с дивергенцией векторного поля соотносится ${}\mathbin{*}d\mathbin{*}\omega,$ то есть нельзя ли её через это как-то записать?

похоже, это дивергенция 1-формы (с точностью до числового множителя)

[Munin]

Прошу пардону, про дивергенцию я написал глупость. Разумеется, $\dfrac{D}{\partial x^i}v^i\equiv\dfrac{1}{\sqrt{g}}\dfrac{\partial}{\partial x^i}\left(\sqrt{g}\,v^i\right).$

[paha]

Ales в сообщении #388731 писал(а):

Я так понимаю:
Есть евклидово пространство

в том-то и дело, что евклидова пространства нет, а есть риманово пространство (нет никакой замены координат, которая диагонализировала бы метрический тензор)

Ales в сообщении #388731 писал(а):

Я имел в виду инвариантность формулы для нахождения дивергенции векторного поля: $\dfrac{\partial}{\partial x^i}v^i$.
Эта формула одинакова во всех координатах, которые сохраняют объем.

Координаты не могут сохранять объем, вот замена координат сохраняет объем, если якобиан единичный
Так что смысл у Вашей формулы $\dfrac{\partial}{\partial x^i}v^i=\dfrac{\partial}{\partial (x')^i}(v')^i$ такой: это равенство имеет место для любых систем координат, переход между которыми не изменяет форму объема. И если в евклидовом пространстве имеется выделенная система координат, в которой и можно определить дивергенцию Вашим равенством, то в римановом пространстве это не так, там надо поступать, как я сказал выше (собственно, как делали Риман, Эйнштейн и Ландау). Переведу в координаты:

$$ \nabla X (\partial_i)=\nabla_{\partial_i}(X^j\partial_j)=\frac{\partial X^j}{\partial x^i}\partial_j+X^j\Gamma_{ij}^k\partial_k=\Bigl( \frac{\partial X^k}{\partial x^i}+\Gamma_{ij}^kX^j\Bigr)\partial_k $$

след матрицы этого линейного преобразования

$$ {\rm Tr}\nabla X=\frac{\partial X^i}{\partial x^i}+\Gamma_{ij}^iX^j $$