2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 16:47 


20/12/09
1527
Чтобы определить дивергенцию не нужна метрика, достаточно объема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
вот стартуем от интегрального определения дивергенции:
$$
div A (p)=\lim_{V\to \{p\}}\frac{\int_{\partial V}(A,dS)}{Vol(V)}
$$
(пределе область $V$ стягивается в точку $p$), где
$(A,dS)=A_xdy\wedge dz+A_ydz\wedge dx+A_z dx\wedge dy=A\lrcorner dx\wedge dy\wedge dz$

Обобщение этой формулы на произвольные многообразия с формой объема $Vol$ (тут Вы правильно написали в последнем сообщении) таково:
$$
div A (p)=\lim_{V\to \{p\}}\frac{\int_{\partial V}A\lrcorner Vol}{Vol(V)},
$$
поэтому $div A \cdot Vol=d(A\lrcorner Vol)$, откуда в римановом случае следует та формула, которую я привел (по формуле Фосса-Вейля, символ $\Gamma^i_{ij}$ выражается через форму объема) а не та, которую защищали Вы.

Однако, операция дивергенции обобщается и на произвольные тензора (и формы! не забываем, что градиент это 1-форма), где одной формой объема уже не отделаться:)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
paha в сообщении #388763 писал(а):
Переведу в координаты:
$$
\nabla X (\partial_i)=\nabla_{\partial_i}(X^j\partial_j)=\frac{\partial X^j}{\partial x^i}\partial_j+X^j\Gamma_{ij}^k\partial_k=\Bigl(
\frac{\partial X^k}{\partial x^i}+\Gamma_{ij}^kX^j\Bigr)\partial_k
$$
след матрицы этого линейного преобразования
$$
{\rm Tr}\nabla X=\frac{\partial X^i}{\partial x^i}+\Gamma_{ij}^iX^j
$$

Чё-то не так, в первой формуле один свободный индекс ($k$ сверху и снизу, так что он немой), а потом вы берёте от неё след.

-- 18.12.2010 17:03:53 --

paha в сообщении #388792 писал(а):
...поэтому $div A \cdot Vol=d(A\lrcorner Vol)$, откуда в римановом случае следует та формула, которую я привел.

Так, теперь берём эту формулу
$div\,A=\dfrac{d(A\lrcorner Vol)}{Vol}$
и изменяем функцию $Vol$ в $k$ раз, что тогда происходит с числителем? Моих знаний недостаточно, объясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Munin в сообщении #388795 писал(а):
Чё-то не так, в первой формуле один свободный индекс ($k$ сверху и снизу, так что он немой), а потом вы берёте от неё след.

$\nabla X(\partial_i)=a_i^k\partial_k$
след матрицы преобразования -- то, что нужно:)

Munin в сообщении #388795 писал(а):
Так, теперь берём эту формулу
$div\,A=\dfrac{d(A\lrcorner Vol)}{Vol}$
и изменяем функцию $Vol$ в $k$ раз, что тогда происходит с числителем? Моих знаний недостаточно, объясните, пожалуйста.

$Vol$ -- не функция, а $n$-форма

-- Сб дек 18, 2010 17:14:52 --

но Вы правы в том, что при гомотетиях формы объема дивергенция не меняется

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 17:16 
Заблокирован


07/08/09

988
paha в сообщении #388792 писал(а):
вот стартуем от интегрального определения дивергенции:
$$
div A (p)=\lim_{V\to \{p\}}\frac{\int_{\partial V}(A,dS)}{Vol(V)}
$$
(пределе область $V$ стягивается в точку $p$), где
$(A,dS)=A_xdy\wedge dz+A_ydz\wedge dx+A_z dx\wedge dy=A\lrcorner dx\wedge dy\wedge dz$

Подобное же определение градиента не приведете?
И затем покажите, что максимум производной по направлению от скалярного поля по приращению длины зависит от системы координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Vallav в сообщении #388806 писал(а):
И затем покажите, что максимум производной по направлению от скалярного поля по приращению длины зависит от системы координат.

не говорите мне что делать -- сделайте сами)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 17:24 


20/12/09
1527
paha в сообщении #388792 писал(а):
не забываем, что градиент это 1-форма

Почему же? Многие считают, что градиент это вектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 17:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Vallav в сообщении #388806 писал(а):
по направлению от скалярного поля по приращению длины

к тому же я не понимаю -- по направлению или по приращению длины (длины чего?) вычислять производную от скалярного поля

-- Сб дек 18, 2010 17:26:55 --

Ales в сообщении #388811 писал(а):
Почему же? Многие считают, что градиент это вектор.

я к тому фразу про 1-форму написал, что в пространстве, где задана только форма объема и нет метрического тензора, вектора и ковектора различать уже жизненно необходимо

-- Сб дек 18, 2010 17:35:47 --

Vallav в сообщении #388806 писал(а):
Подобное же определение градиента не приведете?

вот бескоординатное определение градиента:

градиент скалярного поля $f:M\to\mathbb{R}$ в данной точке $p\in M$ это линейный функционал ${\rm grad}\, f:T_pM\to \mathbb{R}$, определенный формулой
$$
{\rm grad}\, f(X)(p)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(\gamma(t)),
$$
где $\gamma:(-a;a)\to M$ -- кривая, для которой $\gamma(0)=p$, а $(d\gamma)_0\frac{d}{dt}=X\in T_pM$.

В случае $M=\mathbb{R}^n$ определение выглядит проще:
$$
{\rm grad}\, f(X)(p)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(p+tA)
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 18:07 
Заблокирован


07/08/09

988
paha в сообщении #388812 писал(а):
Vallav в сообщении #388806 писал(а):
по направлению от скалярного поля по приращению длины

к тому же я не понимаю -- по направлению или по приращению длины (длины чего?) вычислять производную от скалярного поля

Длина - это расстояние по прямой между точками.
Делите разность значений поля в этих точках на расстояние между точками и устремляете вторую точку к первой по прямой, их соединяющей.
Это будет производная по направлению.
Максимум этой производной в зависимости от направления будет модуль
градиента.
Именно такая штука используется для вывода координатного представления
градиента. [/quote]
Как для вывода координатного представления дивергенции используется
отношение потока через поверхность к объему внутри нее.
То, что в декартовых координатах формула для градиента совпадает с тем,
что Вы пишите - это не значит, что и во всех остальных системах координат
тоже будет совпадать.
Вы посмотрите азы - градиент в сферических координатах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Vallav в сообщении #388832 писал(а):
То, что в декартовых координатах формула для градиента совпадает с тем,
что Вы пишите - это не значит, что и во всех остальных системах координат
тоже будет совпадать.

у меня в формулах -- ни одной координаты:)))
разумеется, во всех системах координат моя формула дает правильные выражения для градиента
Vallav в сообщении #388832 писал(а):
Длина - это расстояние по прямой между точками.
Делите разность значений поля в этих точках на расстояние между точками и устремляете вторую точку к первой по прямой, их соединяющей.
Это будет производная по направлению.
Максимум этой производной в зависимости от направления будет модуль
градиента.

я так и не понял, к чему Вы это пишите

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 18:45 
Заблокирован


07/08/09

988
paha в сообщении #388835 писал(а):
я так и не понял, к чему Вы это пишите


Вы еще одно забыли прокомментировать:
"Вы посмотрите азы - градиент в сферических координатах."
По Вашим формулам получается координатное представление
градиента в сферических координатах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Vallav в сообщении #388848 писал(а):
По Вашим формулам получается координатное представление
градиента в сферических координатах?

разумеется
но чтобы это увидеть надо уметь дифференцировать

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 18:59 


20/12/09
1527
paha в сообщении #388851 писал(а):
Vallav в сообщении #388848 писал(а):
По Вашим формулам получается координатное представление
градиента в сферических координатах?

разумеется
но чтобы это увидеть надо уметь дифференцировать

Для Vallav градиент - вектор, который преобразуется из Вашего ко-вектора поднятием индексов с помощью метрики.

-- Сб дек 18, 2010 19:01:36 --

А Вы называете градиентом ко-вектор (инвариантный дифференциал).

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Ales в сообщении #388857 писал(а):
Для Vallav градиент - вектор, который преобразуется из Вашего ко-вектора поднятием индексов с помощью метрики.

я в курсе (объяснили бы Вы это ему, что без подъема индексов -- без метрики - не обойтись)

 Профиль  
                  
 
 Re: Какие три функции координат образуют векторное поле?
Сообщение18.12.2010, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
paha в сообщении #388800 писал(а):
$Vol$ -- не функция, а $n$-форма

Меня сбило, что вы рядом писали $Vol(V)$ для области $V.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 110 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group