В ОТО сил гравитации нет
Ну, на частицу, движущуюся с заданной 4-скоростью, в заданной системе координат, действует вполне конкретная 4-сила

то это всё таки не совсем ОТО. Я так думаю. То есть, в измерениях находят изменения относительного расстояния со временем, если назвать это ускорением, то это ещё ОТО, но если это назвать приливными силами гравитации, то это наверное уже не ОТО. Я не настаиваю, это только моё мнение.
Представьте себе, что на частицу действуют ещё какие-то негравитационные силы. То есть, она несвободна. Чтобы найти её движение, придётся полноценно писать 2 закон Ньютона. И в нём у вас будет член

в списке внешних сил. А вот ускорение уже геодезической определяться не будет: частица сойдёт с геодезической.
Когда училась в школе мне попалась (немного читала) книга ”Основы современной физики” . И мне очень запомнилась (засела в голове) одна мысль высказанная там (примерно так, неточно конечно): “при обучении наукам мы рассматриваем физические явления с помощью таких физических величин, как масса, энергия, сила, импульс, заряд и т.д. и т.п., но не одна их этих величин не измеряется в экспериментах непосредственно. Нужно понимать, что всё, что в конечном счёте мы измеряем это длины пространственных и промежутки временных интервалов. “
Эта мысль хорошая и правильная, но в данном случае не к месту. Надо понимать продолжение этой мысли: когда мы берём пробное заряженное тело, то из величин длин и времён собираем наблюдаемые величины электрического и магнитного полей, когда мы берём пробную частицу заданной массы, то из величин длин и времён собираем величины сил, действующих на частицу, любой природы, и так далее. Это не отказ от величин вообще, а понимание, как они операционально вводятся. Кстати, отсюда же вытекает, что все наблюдаемые физвеличины должны быть лоренцевыми тензорами.