Несколько вопросов по топологии

[Padawan]

Вроде тогда действительно $n_1(\mathbb R^2\setminus 0)=2$. А для $n_2$ дайте определение еще раз, пожалуйста.

[Bulinator]

Padawan в сообщении #383535 писал(а):

А для $n_2$ дайте определение еще раз, пожалуйста.

Берем контур и натягиваем на него поверхность. $n_2$ суть количество классов гомотопно эквивалентных поверхностей натянутых на контур.

[Padawan]

Да, там опечатка была. Исправил.
А какой именно контур берём? Контур простой, без самопересечений? Поверхность натягиваем простую, без самопересечений?

Да и про точки непонятно тоже. Какие именно две точки берём? Ведь для разных пар может разное количество классов получится.

[Bulinator]

Padawan в сообщении #383540 писал(а):

Ведь для разных пар может разное количество классов получится.

Padawan
Вы меня пугаете. Всмысле разное? Можете привести пример?

Padawan в сообщении #383540 писал(а):

Контур простой, без самопересечений? Поверхность натягиваем простую, без самопересечений?

Разумеется.

[Padawan]

Возьмем две окружности, склеенные в одной точке, т.е. восьмерку. Первая пара точек: точка склейки и какая-нибудь еще. Вторая пара точек: одна точка на одной окружности, другая на другой, обе отличны от точки склейки. В первом случаем $n_1=2$, во втором $n_1=4$.

[Bulinator]

Padawan в сообщении #383550 писал(а):

Возьмем две окружности, склеенные в одной точке, т.е. восьмерку. Первая пара точек: точка склейки и какая-нибудь еще. Вторая пара точек: одна точка на одной окружности, другая на другой, обе отличны от точки склейки. В первом случаем $n_1=2$, во втором $n_1=4$.

Ну, насчет букетов надо подумать.

А если речь идет только о многообразиях, такое определение верно?

[Padawan]

Да, для связных многообразий $n_1$ не зависит от выбора точек.

[Bulinator]

Кстати, в примере точка посередине является особой. Согласно книжке (Болтянский, Ефремович, "Наглядная топология", Библиотечка "Квант", выпуск 21) у нее даже название имеется- разбивающая точка. Ввиду ее особенности, ее брать нельзя.

[Padawan]

Можно взять первую пару -- обе точки на одной окружности, вторую пару -- одна на одной, другая на другой. То же самое получится. В первом случае $n_1=2$, во втором $n_1=4$.

[Bulinator]

Ан, нет...
По ней можно ходить сколько угодно раз!

[paha]

Bulinator в сообщении #383325 писал(а):

Кол-во этих классов назовем ... не знаю как $n_1(X)$.

их почти всегда бесконечно много и они образуют группу... Если Вы под $n_i(X)$ имели ввиду минимальное количество образующих этой группы, то из равенства таких чисел для топологических пространств до гомотопической эквивалентности (даже слабой) еще ооочень далеко

-- Вс дек 05, 2010 01:02:53 --

paha в сообщении #383326 писал(а):

Bulinator в сообщении #383325 писал(а):
Можно сказать, что гомотопическая эквивалентность, это равенство вот этих $n_i(X)=n_i(Y)$?

это называется "слабая гомотопическая эквивалентность" -- смотрите учебники... теорема Уитни о слабой гомотопической эквивалентности

я, разумеется имел ввиду
1) гомотопические группы $\pi_i(X,x_0)$
2) под слабой гомотопической эквивалентностью я подразумевал такое непрерывное отображение $f:X\to Y$, которое индуцирует изоморфизм во всех гомотопических группах... т.е. просто равенства $\pi_i(X,x_0)\simeq\pi_i(Y,y_0)$ недостаточно

[Bulinator]

На пространстве $X$ возьмем две неособые точки $x_1$ и $x_2$ и рассмотрим все кривые, соединяющие эти точки и непересекающиеся сами с собой.
Пусть кол-во классов таких гомотопных кривых $n_1^{x_1,x_2}(X)$. (По разбивающим точкам, очевидно, можно ходить сколько угодно раз)

Вопрос 1: Может быть так, что для каких-то других точек $x_1^\prime,x_2^\prime$
$n_1^{x_1,x_2}(X)\neq n_1^{x_1^\prime,x_2^\prime}(X)$?
Далее, пусть существует отображение $f:X\mapsto Y$ такое, что если для кривых $s_1$ и $s_2$ выполняется $s_1\nsim s_2$ то и $f\circ s_1\nsim f \circ s_2$ и если $s_1\sim s_2$ то и $f\circ s_1\sim f \circ s_2$.

Пусть еще существует отображение $g:Y\mapsto X$ удовлетворяющее тем же условиям.
Вопрос 2: Означает ли это, что кривые $g\circ f\circ s$ будут иметь то же кол-во классов?

Вопрос 3: Если от $f$ и $g$ потребуем, чтобы $g\circ f $ и $f\circ g $ сохраняли кол-во классов гомотопных k-мерных поверхностей с границей $\gamma$($\gamma$- две точки при $k=1$, контур при $k=2$ и.т.д.) будет ли это означать, что $g\circ f\sim id_X$?
Поверхности и $\gamma$ сами с собой непересекаются.

[Munin]

Bulinator в сообщении #383861 писал(а):

На пространстве $X$ возьмем две неособые точки $x_1$ и $x_2$ и рассмотрим все кривые, соединяющие эти точки и непересекающиеся сами с собой.
Пусть кол-во классов таких гомотопных кривых $n_1^{x_1,x_2}(X)$. (По разбивающим точкам, очевидно, можно ходить сколько угодно раз)

Возьмём $R^3$ и выбросим из него прямую. Тогда такое количество классов равно $\lVert\mathbb{N}\rVert=\aleph_0,$ потому что кривые могут наматываться на прямую без самопересечений сколько угодно раз. Вы это хотели выразить, или всё же получить что-то типа 1?

А то ваше определение таким образом не может различить случаи выброшенной прямой и выброшенных двух прямых. Для справки: одномерные числа Бетти в этих случаях 1 и 2, а мощности групп одномерных гомологий обе $\aleph_0.$

[Bulinator]

Munin в сообщении #383887 писал(а):

Вы это хотели выразить, или всё же получить что-то типа 1

Да, хотел получить 2.

-- Вс дек 05, 2010 19:28:27 --

Как формально записать выражение "нельзя наматывать кривые вокруг чего-либо"?

[paha]

Bulinator в сообщении #383861 писал(а):

На пространстве $X$ возьмем две неособые точки $x_1$ и $x_2$ и рассмотрим все кривые, соединяющие эти точки и непересекающиеся сами с собой.
Пусть кол-во классов таких гомотопных кривых $n_1^{x_1,x_2}(X)$. (По разбивающим точкам, очевидно, можно ходить сколько угодно раз)

тогда у гомотопически эквивалентных пространств (например, $\mathbb{R}^2\setminus\{O\}$ и $S^1$) , будут разные эти числа $n_1^{x_1,x_2}(X)$...(((