Несколько вопросов по топологии

[paha]

Bulinator
а не проще задачу тут сформулировать?

[Bulinator]

paha в сообщении #383331 писал(а):

Bulinator
а не проще задачу тут сформулировать?

Нет, ибо задачу я сам хочу сформулировать. А для этого надо знать что такое когомология.

[paha]

Bulinator в сообщении #383332 писал(а):

А для этого надо знать что такое когомология

это просто некоторые "классы")))

[Bulinator]

paha в сообщении #383342 писал(а):

это просто некоторые "классы")))

Кстати, можно ли сказать, что представлением группы 1-когомологий $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$на $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ является
$\omega^{(1)}_\alpha\equiv\alpha d\log{r}$, $\alpha\in \mathbb{R}$?

[Bulinator]

Правка: не на $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ а на $T*\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$

[Bulinator]

Черт, мне понравились эти числа $n_i(X)$.

1. Когда они отличны от единицы, это значит, что не все кривые/(гипер)поверхности гомотопны. Это, в принципе то, что я называл гадостью.
2. Индекс $i$ характеризует степень гадости. Т.е. какие именно поверхности не гомотопны. С таким определением становится очевидно, что, например, $\mathbb{R}^n\setminus\{0\} \sim S^{n-1}$

Уверен, что сие не есть мое открытие. Эти числа как-то называются?

Bulinator в сообщении #383329 писал(а):

это называется "слабая гомотопическая эквивалентность"

"Слабая" это значит, что это более общий случай чем определение в википедии? Значит, должен существовать пример, когда 2 пространства гомотопически эквивалентны слабо но не эквивалентны всмысле определения из вики. Можете его привести?
Кстати, что еще нужно потребовать, чтобы эквивалентность из слабой переросла в обычную?

[Munin]

Bulinator
Вы не про числа Бетти говорите? Я про них вам писал.

Правда, насколько я понимаю, чисел Бетти всё-таки недостаточно для задания групп гомологии и когомологии, поэтому в более продвинутой топологии и перешли непосредственно к этим группам. Если я неправ (например, в случае псевдомногообразий числа Бетти исчерпывающи), прошу меня поправить.

[Bulinator]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #383381 писал(а):

Вы не про числа Бетти говорите?

Точно, писали. Только это было давно и неправда. Всмысле, когда Вы мне о них писали, я не понимал что это такое и, видимо, пропустил. Сейчас прочел еще раз.

[Munin]

(Оффтоп)

О. Я рад.

[Padawan]

Bulinator в сообщении #383325 писал(а):

Господа, еще одна попытка:

Будем рассматривать только связные пространства. Если пространство не связно, то все изложенное ниже повторяется отдельно для каждой компоненты связности.

Возмьем на пространстве $X$ две точки. И будем рассматривать классы гомотопных кривых соединяющих эти точки. Кол-во этих классов назовем ... не знаю как $n_1(X)$.
Далее, берем контур, натягиваем на него поверхность и рассматриваем кол-во классов гомотопно эквивалентных поверхностей $n_2(X)$. И.т.д...
Можно сказать, что гомотопическая эквивалентность, это равенство вот этих $n_i(X)=n_i(Y)$?

-- Сб дек 04, 2010 02:20:34 --

Притом, наверное если $n_i(X)=1$ а $n_i(Y)$ не существует, то равенство можно считать выполненным.

Ерунда какая-то. А если $n_i(X)=\infty$? И скорее всего $n_i(X)$ либо равно $1$, либо $\infty$.

-- Сб дек 04, 2010 21:03:48 --

Может Вы гомотопические группы имеете ввиду?

[Bulinator]

Padawan в сообщении #383526 писал(а):

Ерунда какая-то. А если $n_i(X)=\infty$? И скорее всего $n_i(X)$ либо равно $1$, либо $\infty$.

Padawan
не надо ругаться. Посмотрите любимое $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$.
$n_1(\mathbb{R}^2\setminus\{0\})=2,\quad n_2(\mathbb{R}^2\setminus\{0\})=1$

[Padawan]

А что мешает несколько оборотов вокруг нуля намотать?

[Bulinator]

Padawan в сообщении #383528 писал(а):

А что мешает несколько оборотов вокруг нуля намотать?

Медленно и 2 раза. Что намотать??

-- Сб дек 04, 2010 21:12:57 --

А понял. Будем рассматривать кривые, которые непересекаются сами с собой. Это должно как-то называться.

[Padawan]

Хорошо. Объясните, почему $n_1(\mathbb R^2\setminus 0)=2$?

[Bulinator]

пойдет?