Несколько вопросов по топологии

[paha]

Munin в сообщении #381259 писал(а):

Я правильно понимаю, что (главные?) расслоения сродни накрытиям, а группы голономии - группам монодромии?

В известном смысле.

Любое накрытие является расслоением с дискретным слоем. Группа монодромии задана канонически (по причине единственности поднятия кривой) как подгруппа в группе автоморфизмов слоя. В случае же расслоений поднятие кривой определяется некоторой дополнительной структурой -- связностью. И группа голономий у каждой связности своя.

[Munin]

Так, это уже интересно. А в каком смысле у расслоения может быть несколько разных связностей? Разве связность не является просто неотъемлемой характеристикой расслоения как геометрического объекта, как, например, у риманова многообразия - величина кривизны в каждой точке? Или разные связности - в данном случае разные координатизации, а для бескоординатного понятия слово "связность" не используется?

-- 28.11.2010 14:25:25 --

Да, и возвращаясь к прежним вопросам, а существуют ли конструкции, "поднимающие" $k$-мерные подмногообразия, аналогично тому, как связность поднимает кривую, и получается расслоение?

[paha]

Munin в сообщении #381384 писал(а):

Разве связность не является просто неотъемлемой характеристикой расслоения как геометрического объекта, как, например, у риманова многообразия - величина кривизны в каждой точке?

Нет, не является. Связностей может быть дофига -- это дополнительная структура. Вот если на многообразии имеется риманова структура, то легко доказать существование и единственность связности на касательном расслоении, согласованной с метрикой -- она называется связностью Леви-Чивиты.

Munin в сообщении #381384 писал(а):

существуют ли конструкции, "поднимающие" $k$-мерные подмногообразия

можно "поднять" даже любую гомотопию http://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_lifting_property

[Munin]

paha в сообщении #381391 писал(а):

Нет, не является. Связностей может быть дофига -- это дополнительная структура.

А не расскажете поподробнее, почему это место не сделано аналогично с римановой структурой? Кажется, в этом месте у меня была давняя течь непонимания :-)

[paha]

Munin в сообщении #381395 писал(а):

А не расскажете поподробнее, почему это место не сделано аналогично с римановой структурой?

ну... как тут понимать аналогию?
На любом гладком многообразии и римановых структур сколько душе угодно -- для каждой в касательном расслоении будет своя связность Леви-Чивиты...

Более того, на топологическом многообразии (например на семимерной сфере, или на $\mathbb{R}^4$) есть недиффеоморфные гладкие структуры

[Munin]

paha в сообщении #381397 писал(а):

На любом гладком многообразии и римановых структур сколько душе угодно

(смайлик с отвисшей челюстью)

Тогда, а что такое гладкость многообразия? В смысле, я думал, если с риманова многообразия содрать метрику, останется только голая топология, и о гладкости говорить уже не придётся.

[paha]

Munin в сообщении #381404 писал(а):

Тогда, а что такое гладкость многообразия?

это набор согласованных карт:)

Munin в сообщении #381404 писал(а):

если с риманова многообразия содрать метрику, останется только голая топология, и о гладкости говорить уже не придётся

риманова структура -- это некоторая 2-форма на многообразии, но формы определяются только при наличии гладкости -- должны же быть локальные координаты

-- Вс ноя 28, 2010 16:19:56 --

согласованные локальные координаты -- это и есть гладкость

[Padawan]

paha в сообщении #381397 писал(а):

Более того, на топологическом многообразии (например на семимерной сфере, или на $\mathbb{R}^4$) есть недиффеоморфные гладкие структуры

Вот это мне непонятно, как такое может быть. Как-то в голове не укладывается. А на $\mathbb{R}^1$ или $\mathbb{R}^2$ такое может быть?

[paha]

Padawan в сообщении #381408 писал(а):

Вот это мне непонятно, как такое может быть. Как-то в голове не укладывается. А на $\mathbb{R}^1$ или $\mathbb{R}^2$ такое может быть?

на всех $\mathbb{R}^n$ гладкая структура единственна, кроме $n=4$

[Munin]

paha в сообщении #381407 писал(а):

это набор согласованных карт:)

Тройка, семёрка, туз? А без $R^n$ нельзя никак?

paha в сообщении #381407 писал(а):

риманова структура -- это некоторая 2-форма на многообразии, но формы определяются только при наличии гладкости -- должны же быть локальные координаты

Я так понимал, что можно сначала наложить просто метрику, а потом уже, копаясь в ней, обнаружить, что она дифференциальная и всё такое.

[paha]

Munin в сообщении #381410 писал(а):

Я так понимал, что можно сначала наложить просто метрику, а потом уже, копаясь в ней, обнаружить, что она дифференциальная и всё такое.

редкая птица долетит до середины Днеп метрика допускает гладкую структуру, в которая она -- риманова: это достаточно тонкий вопрос... изучается а теории пространств Адександрова ограниченной кривизны (последние лет 40)

Обычно многообразия возникают на практике уже снабженные гладкой структурой

[Munin]

paha в сообщении #381413 писал(а):

редкая метрика допускает гладкую структуру

Да, но если взять заранее известную, то почему бы и нет.

Ладно, итого получается, что бывает гладкое многообразие с римановой структурой, и оно тогда риманово многообразие. А бывает расслоение со связностью, и оно тогда - ...?

[paha]

Munin в сообщении #381415 писал(а):

расслоение со связностью

расслоение со связностью... специального термина не придумали

-- Вс ноя 28, 2010 17:12:19 --

вон, Виттен интегрирует функционал Черна-Саймонса по пространству всех связностей... и нормально)

-- Вс ноя 28, 2010 17:15:50 --

а Постников в своем четвертом томе пишет так: "Сейчас откры-
лась новая дверь, соединяющая физику с геометрией,—
потенциалы калибровочных полей теории элементарных
частиц оказались не чем иным, как связностями в тех или
иных главных расслоениях!"

[bayak]

paha в сообщении #381425 писал(а):

а Постников в своем четвертом томе пишет так: "Сейчас откры-
лась новая дверь, соединяющая физику с геометрией,—
потенциалы калибровочных полей теории элементарных
частиц оказались не чем иным, как связностями в тех или
иных главных расслоениях!"

Действительно, здесь дверь открыта, но в этом подходе не просматривается связь физики с геометрией слоя расслоения. Насколько я понимаю, калибровочные связности принимают значения в алгебре Ли структурной группы расслоения. А разве нельзя связать эту алгебру с алгеброй Ли линейных касательных векторных полей слоя расслоения, например, $su(2)$ с алгеброй линейных касательных в.п. $S^{3}$ в $R^{4}$, а $su(3)$ с алгеброй линейных касательных в.п. $S^{3}$ в $R^{6}$?

[Munin]

paha в сообщении #381425 писал(а):

а Постников в своем четвертом томе пишет так: "Сейчас открылась новая дверь, соединяющая физику с геометрией,— потенциалы калибровочных полей теории элементарных частиц оказались не чем иным, как связностями в тех или иных главных расслоениях!"

Ну, эту-то фразу я знаю, но воспринимаю её не более чем заклинание, формулами написать могу, а геометрию не понял ещё.

Ладно, спасибо, вы мне очень помогли. Вернусь ещё раз к своему вопросу.

paha в сообщении #381376 писал(а):

Любое накрытие является расслоением с дискретным слоем. Группа монодромии задана канонически (по причине единственности поднятия кривой) как подгруппа в группе автоморфизмов слоя. В случае же расслоений поднятие кривой определяется некоторой дополнительной структурой -- связностью. И группа голономий у каждой связности своя.

Получается, что накрытия скорее сродни расслоениям со связностями, а не просто расслоениям, так? Или даже локально тривиальным расслоениям со связностями? И тогда группа монодромии аналогична группе голономий?