А Вы выучили гомотопию функций для начала?
Ну как выучили? Я ее прочел. Именно на ней я основывался, когда писал свой пример.
Конечно да.
Тогда кольцо без границы диффеоморфно плоскости без точки. Следовательно, оно ему гомотопно. Тогда получается, что пример с арктангенсом правильный. Действительно, ведь если плоскость без точки гомотопно кольцу а кольцо гомотопно окружности, то и плоскость гомотопна окружности.
Точно! Ведь, согласно определению, если
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
гомотопно
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
а
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
гомотопно
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
то и
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
гомотопно
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
.
Да, кстати, я все таки не понял чем неправильно мое определение гомотопии? Разве я его неправильно пересказал?
Берем многообразие
![$C\supset B$ $C\supset B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/9/ef96b2b1fda000b5ec0a1109112e7e0e82.png)
. Далее, отображаем поточечно
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
в
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
с помощью отображения
![$g$ $g$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cf4fbd05970446973fc3d9fa3fe3c4182.png)
зависящего от некоторого параметра
![$t\in[0,1]$ $t\in[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/9/489dfef0eefc2611fce620116590ce8982.png)
. Далее, Если можно нарисовать такое обратимое
![$g(t)$ $g(t)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/f/d7fa2e4d77695901e92c044a71d1e1fb82.png)
, что
![$\lim\limits_{t\mapsto 1} g(t)A=B$ $\lim\limits_{t\mapsto 1} g(t)A=B$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/8/fb86f278338bee16c3e35d1c3a253fc582.png)
, то скажем, что
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
гомотопны.
Опять же, воспользуемся определением из Википедии:
Цитата:
Given two spaces X and Y, we say they are homotopy equivalent or of the same homotopy type if there exist continuous maps f : X → Y and g : Y → X such that g ∘ f is homotopic to the identity map idX and f ∘ g is homotopic to idY.
Что такое
g ∘ f is homotopic to the identity map?
Воспользуемся определением гомотопии функций:
Цитата:
Formally, a homotopy between two continuous functions f and g from a topological space X to a topological space Y is defined to be a continuous function H : X × [0,1] → Y from the product of the space X with the unit interval [0,1] to Y such that, if x ∈ X then H(x,0) = f(x) and H(x,1) = g(x).
Это значит, что существует семейство функций
![$h_t(x):\quad h_0(x)=f\circ g$ $h_t(x):\quad h_0(x)=f\circ g$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/2/5524877464022a590b4dceb34ccd1d2e82.png)
, такое, что
![$\lim\limits_{t\mapsto 1}h_t(x)=id_X$ $\lim\limits_{t\mapsto 1}h_t(x)=id_X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/6/4c6feae32c28c08cf1e82026176522e482.png)
.
Тут надо оговориться, что это семейство непрерывно по параметру
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
. Что значит непрерывное семейство, думаю, интуитивно понятно.
Теперь, это семейство, у меня арктангенс(У него есть единственное обратное преобразование). Что не так-то?