Методы математической физики

[s.o.s.]

Himfizik в сообщении #378919 писал(а):

Именно для понимания процесса, как вы выразились, и нужно вывести волновое уравнение с разных точек зрения. Причем лучше начать с механической аналогии... (грузики и пружинки, что может быть проще)...

Один шарик на пружинке?

[Munin]

Нет, бесконечная цепочка "шарик - пружинка - шарик - пружинка..."

[Himfizik]

Да, конечно, бесконечная цепочка... Рассмотрите, скажем, колебания поперек цепи, то есть, этакая струна...Рассмотрите силы, действующие на любой шарик, считая отклонения от равновесного состояния малыми...

[ewert]

Himfizik в сообщении #379538 писал(а):

Да, конечно, бесконечная цепочка... Рассмотрите, скажем, колебания поперек цепи, то есть, этакая струна...

да выберите ж что-то одно. Нельзя же засыпАть человека одновременно и продольными, и поперечными колебаниями.

[Munin]

Himfizik в сообщении #379538 писал(а):

Рассмотрите, скажем, колебания поперек цепи, то есть, этакая струна...

Проще повдоль, хотя результат одинаковый, но всякие пространственные аспекты отвлекать не будут.

[Himfizik]

Munin в сообщении #379558 писал(а):

Himfizik в сообщении #379538 писал(а):

Рассмотрите, скажем, колебания поперек цепи, то есть, этакая струна...

Проще повдоль, хотя результат одинаковый, но всякие пространственные аспекты отвлекать не будут.

Полностью согласен, просто хотелось добавить в задачу элемент кажущейся сложности ... , а то все вдоль, да вдоль... Хотя в первый раз, для учебной цели так сказать, можно и вдоль, чтобы лишнее не отвлекало от сути...

[s.o.s.]

А у меня должно получиться классичесое волновое уравнение, с лапласианом??

[Munin]

Лапласиан - трёхмерный оператор, а у вас должно получиться одномерное уравнение.

[s.o.s.]

Munin в сообщении #379934 писал(а):

Лапласиан - трёхмерный оператор, а у вас должно получиться одномерное уравнение.

А ну да.
А как у нас задача ставится для шариков и пружинок?
Дана жёсткость пружины и смещение 0-го шарика.
Найти уравнение, описывающее положение n-го шарика в
определённый момент времени?

[Himfizik]

Подсказка: кроме уравнения Ньютона для $n$-го грузика, необходимо использовать разложение функции смещения (смещение от положения равновесия $u(x,t)$) для $n+1$-го грузика по малому параметру $a$: $u_{n+1} =u_n(x,t)+a (\delta u_n / \delta x) +a^2 (\delta^2 u_n / \delta x^2) /2 +...$, где $a$ - период цепочки (расстояние между грузиками в нерастянутом состоянии). То же проделываете и для $n-1$-го грузика. Разложения в ряд до второго порядка будет достаточно, во всяком случае об этом лучше сказать заранее, задаваясь моделью физического процесса... Совместно посмотрев на уравнение движение и заготовки с рядами, методом умного вглядывания (а на самом деле подстановкой разложений в уравнение Ньютона ), и получаем одномерное волновое уравнение...

[Munin]

s.o.s. в сообщении #379939 писал(а):

А как у нас задача ставится для шариков и пружинок?Дана жёсткость пружины и смещение 0-го шарика.

Постановка задачи - дело второе, уже после построения уравнения. Но задача обычно ставится так: даны массы и жёсткости всех шариков и пружин, на момент времени $t=0$ даны смещения и скорости всех шариков. Границы можете не рассматривать, это отдельный геморрой.

-- 24.11.2010 18:06:44 --

Himfizik
Ну зачем там что-то раскладывать? Обычный закон Гука, никаких разложений не нужно.

[Himfizik]

Munin в сообщении #379976 писал(а):

Himfizik
Ну зачем там что-то раскладывать? Обычный закон Гука, никаких разложений не нужно.

Дело вкуса... Мне нагляднее явно выписать ряд Тейлора.

[s.o.s.]

to Himfizik
$\[ \begin{gathered} m\vec a = \vec F_1 + \vec F_2 \hfill \\ u_{n + 1} (x,t) = u_n (x,t) + a\frac{{\delta u_n }} {{\delta x}} + a^2 \frac{{\delta ^2 u_n }} {{\delta x^2 }} \hfill \\ u_{n - 1} (x,t) = u_n (x,t) - a\frac{{\delta u_n }} {{\delta x}} - a^2 \frac{{\delta ^2 u_n }} {{\delta x^2 }} \hfill \\ m\frac{{\delta u_n }} {{\delta t}} = 2(a\frac{{\delta u_n }} {{\delta x}} + a^2 \frac{{\delta ^2 u_n }} {{\delta x^2 }}) \hfill \\ \end{gathered} \] $

[Himfizik]

Для начала $u(x,t)$ - это смещение от положения равновесия, зависящее от координаты шарика и времени. Уравненьице движения товарища Ньютона здесь имеет вид: $m \delta^2u_n / \delta t^2 =-k(u_n -u_{n-1}) -k(u_n -u_{n+1})$. Помимо все прочего, запись для $u_{n-1}$ у вас неправильная, подумайте над знаком, стоящим перед $a^2$...

[s.o.s.]

Мде.Пропаду на два дня, буду обмозговывать весь масштаб своего провала...