Методы математической физики

[Alex-Yu]

s.o.s. в сообщении #369120 писал(а):

Какой закон здесь получается?

?
нет?)

Скаляр не может равняться вектору. Поток вектора через маленькую замкнутую поверхность это дивергенция этого вектора умножить на объем внутри поверхности (это просто определение дивергенции). В общем вы перепутали диверненцию вектора с самим вектором. И знак другой. Диверегенция это поток наружу а не внутрь. А объем исчезнет когда вы энергию выразите через плотность энергии.

[Himfizik]

ewert в сообщении #369160 писал(а):

Himfizik в сообщении #369154 писал(а):

вспоминаем, что дивергенция градиента - это лапласиан,

Не так быстро. Коэффициент теплопроводности остаётся, вообще говоря, между дивергенцией и градиентом.

Дивергенция - дифференциальный оператор, действующий на функции координат. Чем вам несчастный коэффициент теплопроводности мешает?

[ewert]

Himfizik в сообщении #369171 писал(а):

Чем вам несчастный коэффициент теплопроводности мешает?

Мне он ничем не мешает. Но: кто сказал, что он постоянен?...

[s.o.s.]

ewert в сообщении #369172 писал(а):

Мне он ничем не мешает. Но: кто сказал, что он постоянен?...

Я забыл сказать

[s.o.s.]

to Ewert:

я вот что надумал
$\[ \iiint\limits_V {s[u(P_{} ,t_2 ) - u(P,t_1 )]dV_p = \int\limits_{t1}^{t2} {dt} \iint\limits_S {k(grad(u)*\vec n)dS}} \]$

потом
$\[ \iiint\limits_V {s[u(P_{} ,t_2 ) - u(P,t_1 )]dV_p = - \int\limits_{t1}^{t2} {dt} \iint\limits_V {\int {} kdiv(grad(u))dV}} \] $
$\[ s[u(P_{} ,t_2 ) - u(P,t_1 )]dV_p = - \int\limits_{t1}^{t2} {kdiv(grad(u))dt} \] $
$\[ s\frac{{du}} {{dt}} = k\vartriangle u \] $
Та-да!
да?

Alex-Yu в сообщении #369161 писал(а):

Скаляр не может равняться вектору. Поток вектора через маленькую замкнутую поверхность это дивергенция этого вектора умножить на объем внутри поверхности (это просто определение дивергенции). В общем вы перепутали диверненцию вектора с самим вектором. И знак другой. Диверегенция это поток наружу а не внутрь. А объем исчезнет когда вы энергию выразите через плотность энергии.

$\[ \frac{{dE}} {{dt}} = - div\prod dV \]$?
а потом
$\[ p = - div\prod \]$?

To Himfizik
ага, спасибо
позже напишу, что непонятно

[s.o.s.]

У меня несколько вопросов появилось:
теплота и энергия это одно и то же в нашем случае?
как можно лучше понять геометрический и физический смысл дивергенции?

[Alex-Yu]

s.o.s. в сообщении #369222 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #369161 писал(а):
Скаляр не может равняться вектору. Поток вектора через маленькую замкнутую поверхность это дивергенция этого вектора умножить на объем внутри поверхности (это просто определение дивергенции). В общем вы перепутали диверненцию вектора с самим вектором. И знак другой. Диверегенция это поток наружу а не внутрь. А объем исчезнет когда вы энергию выразите через плотность энергии.

?
а потом
?

Первая формула правильна. Если теперь записать $E=wdV$ где $w$ уже плотность энергии а не сама энергия, то объем сократится и получится закон сохранения энергии в дифференциальной форме. Точнее даже не обязательно энергии а любой скалярной сохраняющейся величины (например заряда). Смысл букв-то можно и заменить, существо дела от этого не поменяется. Вторую формулу я просто не понял. Что такое $p$?

-- Вт ноя 02, 2010 22:01:37 --

s.o.s. в сообщении #369275 писал(а):

как можно лучше понять геометрический и физический смысл дивергенции?

Поток вектора из маленького объема ( в смысле сквозь поверхность этого объема) пропорционален этому объему. Коэффициент пропорциональности называется дивергенцией этого вектора. Еще говорят что дивергенция это плотность источников данного векторного поля. Но это менее конкретно. Само слово "дивергенция" переводится как "расхождение".

В декартовых координатах дивергенцию вектора, скажем ${\bf E}$, можно посчитать так:

$div {\bf E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}$

Эта формула легко выводится если рассмотреть маленький кубик и выразить поток сквозь верхнюю грань через поток сквозь нижнюю и производную. А потом тоже самое для еще двух пар граней кубика.

-- Вт ноя 02, 2010 22:07:42 --

s.o.s. в сообщении #369275 писал(а):

теплота и энергия это одно и то же в нашем случае?

В данном случае да, одно и то же.

[Himfizik]

s.o.s, я думаю вы получили исчерпывающие ответы?!

-- Ср ноя 03, 2010 02:05:55 --

ewert в сообщении #369172 писал(а):

Himfizik в сообщении #369171 писал(а):

Чем вам несчастный коэффициент теплопроводности мешает?

Мне он ничем не мешает. Но: кто сказал, что он постоянен?...

Конечно, $k$- вообще говоря, функция от температуры и давления. Обычно этими эффектами пренебрегают (например, в рассмотрении теплопроводности в несжимаемой жидкости), считая малыми разности температур и давлений.

[ewert]

Himfizik в сообщении #369385 писал(а):

вообще говоря, функция от температуры и давления.

Да не от температуры и давления, а попросту от тупо координаты. Т.е. среда -- запросто может быть неоднородной. И, в общем, таковой в норме и является (если специально не оговорено обратное). И намекаемые Вами нелинейности -- тут вовсе не при чём.

[Himfizik]

ewert в сообщении #369403 писал(а):

Himfizik в сообщении #369385 писал(а):

вообще говоря, функция от температуры и давления.

Да не от температуры и давления, а попросту от тупо координаты. Т.е. среда -- запросто может быть неоднородной. И, в общем, таковой в норме и является (если специально не оговорено обратное). И намекаемые Вами нелинейности -- тут вовсе не при чём.

Ну все-таки, 1) то, что $k$ зависит от температуры и давления - это железный факт. 2) Скалярное поле температур может меняться от точки к точке, значит, $k=k(T(r))$. И тогда еще можно засомневаться в вынесении $k$ за оператор (формально нужно учесть и слагаемое с градиентом $k$). То есть это тоже существенно. 3)Когда $k$, как вы сказали, явно зависит от $r (этакая неоднородность среды), то ваше замечание, действительно, верно.

По сути обе идеи идентичны (и ваша и моя; хотя и отличаются по формулировке): в общем случае нужно учитывать возможность $k$ меняться от точки к точки (посредством ли температуры или нет)...

[Munin]

Himfizik в сообщении #369452 писал(а):

По сути обе идеи идентичны

Нет. Одна отвечает линейному уравнению с непостоянными коэффициентами, другая - нелинейному уравнению. Физически: либо изменения $k$ заданы условиями задачи, либо зависят от искомого решения.

[Himfizik]

Munin в сообщении #369455 писал(а):

Himfizik в сообщении #369452 писал(а):

По сути обе идеи идентичны

Нет. Одна отвечает линейному уравнению с непостоянными коэффициентами, другая - нелинейному уравнению. Физически: либо изменения $k$ заданы условиями задачи, либо зависят от искомого решения.

С идентичностью, это я, конечно, погорячился. Но в остальном: либо $k=k(r)$, либо $k=k(T(r))$. Обе возможности имеют место быть в общем случае. Но, как я понял, автор темы рассматривает простую ситуацию, где наш "горячо"( ) любимый коэффициент постоянен.

[s.o.s.]

Alex-Yu в сообщении #369289 писал(а):

Первая формула правильна. Если теперь записать где уже плотность энергии а не сама энергия, то объем сократится и получится закон сохранения энергии в дифференциальной форме. Точнее даже не обязательно энергии а любой скалярной сохраняющейся величины (например заряда). Смысл букв-то можно и заменить, существо дела от этого не поменяется. Вторую формулу я просто не понял. Что такое ?

А да, забыл написать.
Под p я подразумевал плтность энергии, раз мы E делили на объём, но думаю я неправильный шаг сделал, потому что никакого уравнения не получается...сейчас подумаю.

Alex-Yu в сообщении #369289 писал(а):

Поток вектора из маленького объема ( в смысле сквозь поверхность этого объема) пропорционален этому объему. Коэффициент пропорциональности называется дивергенцией этого вектора. Еще говорят что дивергенция это плотность источников данного векторного поля. Но это менее конкретно. Само слово "дивергенция" переводится как "расхождение".

Допустим у нас дан поток воздуха, и плотность воздуха в точке( по аналогии с мгновенным ускорением) и будет дивергенция?...А нет, неправильно рассуждаю.Тогда, если моя мысль верна, получается, что в потоке воды в каждой точке дивергенция одинаковая, так как среда практически несжимаемая. Тогда как представить?

Alex-Yu в сообщении #369289 писал(а):

В декартовых координатах дивергенцию вектора, скажем , можно посчитать так:Эта формула легко выводится если рассмотреть маленький кубик и выразить поток сквозь верхнюю грань через поток сквозь нижнюю и производную. А потом тоже самое для еще двух пар граней кубика.

эээ...а как выразить поток скозь верхнюю через нижнюю и производную?
производная, вмсмысле производная потока?

[Alex-Yu]

s.o.s. в сообщении #369960 писал(а):

Под p я подразумевал плтность энергии, раз мы E делили на объём, но думаю я неправильный шаг сделал, потому что никакого уравнения не получается...сейчас подумаю.

А производная по времени куда при этом исчезла?

-- Чт ноя 04, 2010 20:28:02 --

s.o.s. в сообщении #369960 писал(а):

Тогда, если моя мысль верна, получается, что в потоке воды в каждой точке дивергенция одинаковая, так как среда практически несжимаемая. Тогда как представить?

При течении несжимаемой жидкости дивергенция скорости всегда равна нулю. Сколько в маленький (да и не маленький тоже) втекает, столько и вытекает. Суммарный поток нулевой.
$div{\bf v}=0$ это основное уравнение гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. Совершенно очевидное по своему смыслу.

-- Чт ноя 04, 2010 20:29:57 --

s.o.s. в сообщении #369960 писал(а):

эээ...а как выразить поток скозь верхнюю через нижнюю и производную?
производная, вмсмысле производная потока?

Это просто. $E_z(z+dz)=E_z(z)+\frac{\partial E_z}{\partial z}dz$ Далее осталось умножить на площадь грани и учесть знак ("вытекающий" вектор с плюсом, а "втекающий" в объем -- с минусом).

[s.o.s.]

Alex-Yu в сообщении #370036 писал(а):

А производная по времени куда при этом исчезла?

а, точно
$\[ \frac{{dp}} {{dt}} = divH \] $

Alex-Yu в сообщении #370036 писал(а):

При течении несжимаемой жидкости дивергенция скорости всегда равна нулю. Сколько в маленький (да и не маленький тоже) втекает, столько и вытекает. Суммарный поток нулевой. это основное уравнение гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. Совершенно очевидное по своему смыслу.

кажется я понял для себя.Дивергенция- это скорость изменения плотности?Да?Ну я это заключил из того, что как раз плотность в жидкости одинаковая и соответственно производная равна нулю.И к тому же такое определение получается из выше написанного абзаца.