Об использовании математических понятий в физике

[Alex-Yu]

Padawan в сообщении #377458 писал(а):

Можно разложить поле на элементарные составляющие вида , , и т.д. и показать, что поток от равен объему, а поток равен нулю.

Да. А я зачем-то в полярных координатах корячился

[ewert]

Padawan в сообщении #377458 писал(а):

Либо доказать для куба, а произвольное тело составить из кубиков.

Для куба конкретно -- не пройдёт. Т.е. корректность-то определения пройдёт, но не выйдет (так сходу) инвариантность этого определения относительно поворота координатных осей. А она принципиальна.

[Padawan]

Но вообще-то понятно. Поток ведь равен сумме площадей проекций, умноженных на компоненты поля. А проекции от поверхности непрерывно зависят.

-- Пт ноя 19, 2010 22:07:34 --

ewert
Почему не выйдет инвариантность? Определение инвариантно.

[ewert]

Padawan в сообщении #377466 писал(а):

Почему не выйдет инвариантность? Определение инвариантно.

Нет. Для по-разному повёрнутых кубов предел мог бы быть, в принципе, разным.

[Alex-Yu]

Padawan в сообщении #377466 писал(а):

Но вообще-то понятно.

И видно просто глазами. Я и в полярных координатах увидел, но это был некий "напряг". Вы меня "побили" в части ФИЗИЧЕСКОГО мышления

[ewert]

Alex-Yu в сообщении #377470 писал(а):

Я и в полярных координатах увидел,

Сфера как база для определения не пройдёт по другой причине -- на сферы не удастся разбить произвольную область.

[Padawan]

ewert в сообщении #377468 писал(а):

Padawan в сообщении #377466 писал(а):

Почему не выйдет инвариантность? Определение инвариантно.

Нет. Для по-разному повёрнутых кубов предел мог бы быть, в принципе, разным.

Согласен.

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #377471 писал(а):

Сфера как база для определения не пройдёт по другой причине

В любом случае, благодаря Padawan, Вам теперь и совсем придраться не к чему. Кроме проявления крайнего математического занудства у Вас и совсем ничего теперь нет. А сферы у меня не было. Но теперь о своих преобразованиях я и вспоминать не хочу, я там перемудрил.

[ewert]

Alex-Yu в сообщении #377476 писал(а):

Вам теперь и совсем придраться не к чему.

Конечно. Как можно придраться к тому, что не было предъявлено.

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #377478 писал(а):

Как можно придраться к тому, что не было предъявлено.

Вам предъявлено рассуждение со слоями? Какая разница кто предъявил? Речь не обо мне, речь о дивергенции! Со слоями проще некуда!

[Padawan]

Значит так.
1) Сначала показываем, что для линейного поля поток через любую поверхность пропорционален объему. Коэффициент пропорциональности зависит только от поля.

Схема доказательства:
Фиксируем декартову систему координат. В ней раскладываем поле на элементарные компоненты. Доказываем для куба, грани которого параллельны координатным плоскостям.
Далее доказываем для тела, составленного из кубиков.
Далее данную поверхность аппроксимируем кубической, и переходим к пределу, используя непрерывную зависимость потока от поверхности (вот это тонкое место, непрерывная зависимость).

Коэффициент пропорциональности называем дивергенцией линейного поля. Это определение инвариантно.

2) Для произвольного гладкого поля дивергенцией называем дивергенцию линейного слагаемого ряда тейлора в данной точке.

3) Показываем, что дивергенция равна пределу отношения потока к объему при стягивании поверхности в точку.

[Alex-Yu]

Padawan в сообщении #377482 писал(а):

3) Показываем, что дивергенция равна пределу отношения потока к объему при стягивании поверхности в точку.

И после этого получаем формулу через производные. Все ясно, прозрачно и, главное, физически МОТИВИРОВАНО. Можно, конечно, начать с производных, но тогда физически не мотивровано а потому для физиков не желательно.

[Padawan]

Alex-Yu в сообщении #377485 писал(а):

Padawan в сообщении #377482 писал(а):

3) Показываем, что дивергенция равна пределу отношения потока к объему при стягивании поверхности в точку.

И после этого получаем формулу через производные. Все ясно, прозрачно и, главное, физически МОТИВИРОВАНО. Можно, конечно, начать с производных, но тогда физически не мотивровано а потому для физиков не желательно.

Нет, формулу через производные получаем в 1). Через координаты и куб.

Да какая разница. Математический анализ физики тоже изучают. Определение дивергенции и формулировка и доказательство теоремы Гаусса-Остроградского происходит на одной лекции. А отсюда, как следствие сразу же определение дивергенции как предел отношения.

[Alex-Yu]

Padawan в сообщении #377487 писал(а):

Через координаты и куб.

Во всех физических учебниках только маленький кубик и рассматривают. У меня просто "заскок" случился, запутал меня товарищ своим математическим занудством, я и начал что-то сложное мудрить Но главное ведь истина, не правда ли

[Padawan]

В п. 3) надо еще добавить ограничение на рассматриваемые поверхности: они должны быть регулярными в том смысле, что $S\leqslant C_1D^2$, $V\geqslant C_2 D^3$ где $S$ - площадь, $V$-- объем, $D$ - диаметр, $C_1, C_2$ -- константы.

А с формулой Г.-О. этого ограничения не надо.