Об использовании математических понятий в физике

[ewert]

Alex-Yu в сообщении #377248 писал(а):

от линейного -- пропорционален объему,

Нет. Ни в коем случае. Видно лишь, что отношение к объёму не зависит от размера области. Но совершенно не видно, что не зависит от её формы.

И потом не забудьте: после даже вылавливания всех блох в Вашем причудливом определении дивергенции -- Вам предстоит ещё выковырять оттуда её человеческую форму записи. А это тоже не так просто.

Alex-Yu в сообщении #377248 писал(а):

производные меня просто не интересют, мне на них наплевать

Не кокетничайте.

-- Пт ноя 19, 2010 16:39:22 --

Padawan в сообщении #377261 писал(а):

можете просто вывести, что поток пропорционален объему?

Может (т.е. я так думаю). Но не просто. Поразмахивать руками придётся.

[Munin]

ewert в сообщении #377194 писал(а):

Во-вторых, хотя про малость разности Вы явно и не не сказали -- это явно подразумевалось, так что не в этом была проблема. А в том, что изо всех этих замечательных рассуждение ровным счётом ничего следует насчёт деления на объём, решительно ничего.

Тогда путаница у вас. Вы заявили, что у вас нет малой величины - вот вам и привели малую величину. Если из этого у вас ровным счётом ничего не следует - следовало с самого начала указать, чего вам на самом деле не хватает.

ewert в сообщении #377194 писал(а):

Во-первых, не в полярных, а в сферических.

Интересное замечание. В 2-мерном пространстве полярные, в 3-мерном сферические, а в 4-мерном и $n$-мерном как прикажете их называть?

ewert в сообщении #377194 писал(а):

Во-вторых, полей, линейных по радиус-вектору, грубо говоря, не бывает -- это лишь частный случай, из которого ничего не следует.

Как раз наоборот, "в малом всё линейно".

ewert в сообщении #377194 писал(а):

В-третьих, в любом варианте: даже если выловить здесь всех блох -- останется не более чем кустарщина, занудная и безыдейная с любой стороны.

Ваши личные оценки нас не волнуют. Вы так и рассуждения Лейбница назовёте кустарщиной, занудной и безыдейной, и наплевать, что на них полматематики выросло.

ewert в сообщении #377194 писал(а):

Достаточно записать поверхностный интеграл 2-го рода в координатной форме. А это обязан уметь делать любой, кто вообще имеет дело с такими интегралами.

К сожалению, чтобы это "уметь", надо откуда-то правильную формулу взять, а обоснования её от вас шиш дождёшься (для вас ведь она бессмысленна).

-- 19.11.2010 16:03:21 --

Alex-Yu в сообщении #377248 писал(а):

Следует. Если поле разлождить в степенной ряд, то сразу видно, что от нулевого члена поток ноль, от линейного -- пропорционален объему, а от всех последующих -- малая более высокого порядка по объему.

На самом деле тут тонкость. Поле можно разложить в степенной ряд по смещению. А объём может быть не кубическим по диаметру области. Пример: возьмём объём, ограниченный поверхностями $z=\pm(x^2+y^2)^k,$ $x^2+y^2=R^2.$ При делении на такой объём при достаточно больших $k$ у нас всё улетит в бесконечность.

Но эта тонкость - извращение, и пускай математики с ними возятся. С нас вполне хватит поверхностей, вписанных в шар, описанных вокруг шара, и без самоналожений при взгляде из центра шара.

[ewert]

Munin в сообщении #377285 писал(а):

а обоснования её от вас шиш дождёшься (для вас ведь она бессмысленна).

От меня дождёшься всего (ну как бы типа в некотором смысле) -- надо только вопрос грамотно поставить.

Munin в сообщении #377285 писал(а):

Вы заявили, что у вас нет малой величины

Загадка. Когда я это утверждал?... и в чём конкретно у меня этой величины нет?...

(Оффтоп)

Гипотеза: Вам кажется, что я будто бы выступаю против математически нестрогих определений. Совершенно нет; мне не нравятся лишь определения, априори ни на чём не основанные.

-- Пт ноя 19, 2010 17:09:30 --

Munin в сообщении #377285 писал(а):

А объём может быть не кубическим по диаметру области.

Это-то как раз не имеет значения. Естественно, предполагается, что стремится к нулю именно диаметр (и не важно, как он соотносится с объёмом). Проблема в том, что даже и в этом предположении так уж совсем даром ничего не получается.

-- Пт ноя 19, 2010 17:13:46 --

Munin в сообщении #377285 писал(а):

С нас вполне хватит поверхностей, вписанных в шар, описанных вокруг шара,

Не хватит. Пока не докажете, что отношение (асимптотически) не зависит от формы -- будете постоянно упираться в тот или иной тупик.

[Munin]

ewert в сообщении #377291 писал(а):

От меня дождёшься всего (ну как бы типа в некотором смысле) -- надо только вопрос грамотно поставить.

То есть, по-прежнему, ничего не дождёшься. На любой вопрос вы ответите, что он неграмотно поставлен.

ewert в сообщении #377291 писал(а):

Загадка. Когда я это утверждал?...

ewert в сообщении #375418 писал(а):

Дивергенцию нельзя изначально определять как отношение. Поскольку к поверхностному интегралу (в отличие от тройного) неприменимы соображения непрерывности -- подынтегральная функция меняется вдоль замкнутой поверхности не мало при сколь угодно малых размерах области.

Если подынтегральная функция - это $\mathbf{E},$ то она меняется мало, проблем нет.

ewert в сообщении #377291 писал(а):

Пока не докажете, что отношение (асимптотически) не зависит от формы

Уже доказал.

[ewert]

Munin в сообщении #377314 писал(а):

Если подынтегральная функция - это $\mathrm{E},$ то она меняется мало, проблем нет.

Очень плохо. Поскольку под интегралом не само "Е", а его произведение на нормаль, и оно (произведение) меняется очень неслабо.

Munin в сообщении #377314 писал(а):

Уже доказал.

Уже нет. Т.е. не знаю, окончательно ли это "уже", но пока что -- уже именно нет.

[Munin]

ewert в сообщении #377318 писал(а):

Поскольку под интегралом не само "Е", а его произведение на нормаль

Извините, под интегралом $\mathbf{E}.$ "Произведение на нормаль" - это для маленьких детей, которые не знают, что $d\mathbf{S}$ может быть вектором.

В обычном интеграле $dx$ и произведение $f\,dx$ тоже меняются очень неслабо, но это никого не волнует.

ewert в сообщении #377318 писал(а):

Уже нет. Т.е. не знаю, окончательно ли это "уже", но пока что -- уже именно нет.

Видимо, придётся поступать аналогично случаям демагогов и альтернативщиков, то есть разносить понятия "доказал" и "доказал ewert-у". При всём моём нежелании.

[ewert]

Munin в сообщении #377330 писал(а):

Извините, под интегралом $\mathrm{E}.$ "Произведение на нормаль" - это для маленьких детей, которые не знают, что $d\mathrm{S}$ может быть вектором.

Видите ли, теорема о среднем для таких интегралов (от векторной функции по векторной площади) -- не существует.

Надо просто уметь переводить одну формулировку в другую. Вы, я уверен, умеете это делать, просто запамятовали, что в данном случае это существенно. А после перевода -- после сведения поверхностного интеграла второго рода к интегралу первого рода -- становится совершенно очевидно, что теорема о среднем тут никаким боком помочь не сможет.

[Александр Т.]

ewert в сообщении #377194 писал(а):

Александр Т. в сообщении #377129 писал(а):

Munin в сообщении #377122 писал(а):

если спроецировать поверхность на произвольную плоскость, то будет очевидно, что проекция интеграла на нормаль к этой плоскости нуль.

Пожалуй — да. В силу произвольности плоскости сам интеграл будет равен нулю. Видно глазами.

Но до этого нужно доказать, что проекция вектора площади треугольника на нормаль к плоскости равна вектору площади проекции этого треугольника на эту плоскость.

Этого не нужно доказывать. Достаточно записать поверхностный интеграл 2-го рода в координатной форме. А это обязан уметь делать любой, кто вообще имеет дело с такими интегралами.

Я просто начал рассуждать об очевидности соотношения

$$ \oint\limits_\Sigma \mathop\mathrm{d{}}\vec{S} = 0 , $$

придурившись, что пока еще не знаю, как определить интеграл по поверхности. Ну и затем интуитивно (т.е. поступая как самый отмороженный физик) определил его как предел соответствующих сумм по векторным площадям треугольных граней многогранника, аппрокимирующего поверхность при стремлении максимальной длины его ребер к нулю. В последующих своих сообщениях я неявно исходил из такого подхода. Сейчас я осознаю, что такой подход сильно необщепринят, и его мне надо было бы явно разъяснить (это сколько же "букафф" пришлось бы написать!).

Кстати, на то же самое, что и Вы в этом сообщении, мне пытался указать Ales в сообщении #377130, но тогда я еще не осознавал степени необщепринятости подхода, которому я неявно следовал, и продолжал гнуть свою линию.

В общем, там, где речь идет об очевидности, т.е. видимости глазами, вряд ли можно прийти к единому мнению, поскольку глаза у всех разные.

(Оффтоп)

В свое время я говорил студентам, что из того, что объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен смешанному произведению этих векторов, можно легко геометрически получить то, что объем тетраэдра, построенного на этих векторах, равен 1/6 их смешанного произведения. Я неявно полагал, что параллелепипед можно разрезать на шесть конгруэнтных тетраэдров, и считал это настолько "очевидным", что даже и не удосуживался попробовать провести такое разрезание. А когда все-таки попробовал, то убедился, что это не так (оказалось, что параллелепипед действительно можно разрезать на шесть тетраэдров равного объема, но они, вообще говоря — не конгруэнтны).

[Munin]

ewert в сообщении #377340 писал(а):

Видите ли, теорема о среднем для таких интегралов (от векторной функции по векторной площади) -- не существует.

Да ну что вы? Во всех проекциях существует, а в векторном виде не существует?

ewert в сообщении #377340 писал(а):

А после перевода -- после сведения поверхностного интеграла второго рода к интегралу первого рода -- становится совершенно очевидно, что теорема о среднем тут никаким боком помочь не сможет.

Я эти "роды" счастливо забыл, так что переведите на русский.

[ewert]

(Оффтоп)

Александр Т. в сообщении #377373 писал(а):

Я неявно полагал, что параллелепипед можно разрезать на шесть конгруэнтных тетраэдров,

Вы напрасно пытались это полагать, там всё тупее: просто площадь делится пополам, ну и потом стандартная школьная одна треть. Опыт показывает, что эту банальщину студенты принимают вполне на ура.

-- Пт ноя 19, 2010 19:23:14 --

Munin в сообщении #377390 писал(а):

Во всех проекциях существует, а в векторном виде не существует?

Совершенно верно. В каждой проекции существует, но для каждой -- в существенно разных точках. Соответственно, и для вектора не существует.

Чего-то Вас куда-то не туда занесло.

[Munin]

ewert в сообщении #377400 писал(а):

Совершенно верно. В каждой проекции существует, но для каждой -- в существенно разных точках. Соответственно, и для вектора не существует.

Хм. Согласен. Очередная глупо-математическая придирка. Ну и что, что не существует? Можно весь процесс рассмотреть в проекции, а потом по проекциям восстановить.

[Ales]

Александр Т. в сообщении #377373 писал(а):

определил его как предел соответствующих сумм по векторным площадям треугольных граней многогранника

А в природе нет никаких многогранников. Все поверхности немного кривые.

[Профессор Снэйп]

Нашёл тему с ересью и ссылкой на Пенроуза: topic12400.html

Dialectic в сообщении #106015 писал(а):

Спасибо всем за изложение понятия "модель", к его изучению
я вернусь позже, а сейчас хочу привести пример множества, которое
содержит себя в качестве своего элемента. (пример взят из книги
Пенроуза "Новый ум короля").
Определим множество М - как множество состоящее из всех бесконечных множеств. Поскольку бесконечных множеств существует бесконечное количество, то множество М-обладает тем
свойством, что оно содержит бесконечное количество элементов, следовательно множество М должно быть включено в множество М
как элемент!

Вы мне это изучать советуете?!

-- Пт ноя 19, 2010 21:51:37 --

ewert в сообщении #376938 писал(а):

а что, Гёдель -- ужо и не математик?...

ewert, я Вам в поддержку пишу, а Вы так отвечаете, будто я с Вами спорю. Господа математики, надо держаться вместе и проявлять корпоративную солидарность

-- Пт ноя 19, 2010 21:53:27 --

Подумал вот, что теорема Гёделя о неполноте и принцип неопределённости Гейзенберга появились примерно в одно и то же время. Что-то шпенглеровское такое маячит... Наука научилась научными методами обосновывать собственную ограниченность. Ушла в полное отрицалово

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #377285 писал(а):

Пример: возьмём объём, ограниченный поверхностями При делении на такой объём при достаточно больших у нас всё улетит в бесконечность.

Угу. Можно еще фрактал взять Может даже и интересно что при этом получится. У него поверхность-то вообще есть? А нормаль к поверхности? А то как-то уже скучно стало перепираться на счет очевидных вещей.

-- Пт ноя 19, 2010 23:00:08 --

Профессор Снэйп в сообщении #377417 писал(а):

Вы мне это изучать советуете?!

Чёй-то я не помню такого в этой книге. Может забыл... Но суть в другом. Надо не изучать, а читать и думать. Изучают ученые трактаты. А это не ученый трактат.

[Padawan]

Alex-Yu
Вы мне на вопрос не ответили про поток линейного поля через произвольную поверхность. Если элементарно сможете доказать, что он пропорционален объему для любой поверхности (гладкой, хорошей, без подвохов), то тогда ваше определение дивергенции меня устроит.