2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22, 23  След.
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:03 
Padawan в сообщении #377458 писал(а):
Можно разложить поле на элементарные составляющие вида , , и т.д. и показать, что поток от равен объему, а поток равен нулю.


Да. А я зачем-то в полярных координатах корячился :-(

 
 
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:05 
Padawan в сообщении #377458 писал(а):
Либо доказать для куба, а произвольное тело составить из кубиков.

Для куба конкретно -- не пройдёт. Т.е. корректность-то определения пройдёт, но не выйдет (так сходу) инвариантность этого определения относительно поворота координатных осей. А она принципиальна.

 
 
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:06 
Но вообще-то понятно. Поток ведь равен сумме площадей проекций, умноженных на компоненты поля. А проекции от поверхности непрерывно зависят.

-- Пт ноя 19, 2010 22:07:34 --

ewert
Почему не выйдет инвариантность? Определение инвариантно.

 
 
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:09 
Padawan в сообщении #377466 писал(а):
Почему не выйдет инвариантность? Определение инвариантно.

Нет. Для по-разному повёрнутых кубов предел мог бы быть, в принципе, разным.

 
 
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:09 
Padawan в сообщении #377466 писал(а):
Но вообще-то понятно.


И видно просто глазами. Я и в полярных координатах увидел, но это был некий "напряг". Вы меня "побили" в части ФИЗИЧЕСКОГО мышления :-)

 
 
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:11 
Alex-Yu в сообщении #377470 писал(а):
Я и в полярных координатах увидел,

Сфера как база для определения не пройдёт по другой причине -- на сферы не удастся разбить произвольную область.

 
 
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:13 
ewert в сообщении #377468 писал(а):
Padawan в сообщении #377466 писал(а):
Почему не выйдет инвариантность? Определение инвариантно.

Нет. Для по-разному повёрнутых кубов предел мог бы быть, в принципе, разным.

Согласен.

 
 
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:18 
ewert в сообщении #377471 писал(а):
Сфера как база для определения не пройдёт по другой причине


В любом случае, благодаря Padawan, Вам теперь и совсем придраться не к чему. Кроме проявления крайнего математического занудства у Вас и совсем ничего теперь нет. А сферы у меня не было. Но теперь о своих преобразованиях я и вспоминать не хочу, я там перемудрил.

 
 
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:22 
Alex-Yu в сообщении #377476 писал(а):
Вам теперь и совсем придраться не к чему.

Конечно. Как можно придраться к тому, что не было предъявлено.

 
 
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:25 
ewert в сообщении #377478 писал(а):
Как можно придраться к тому, что не было предъявлено.


Вам предъявлено рассуждение со слоями? Какая разница кто предъявил? Речь не обо мне, речь о дивергенции! Со слоями проще некуда!

 
 
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:27 
Значит так.
1) Сначала показываем, что для линейного поля поток через любую поверхность пропорционален объему. Коэффициент пропорциональности зависит только от поля.

Схема доказательства:
Фиксируем декартову систему координат. В ней раскладываем поле на элементарные компоненты. Доказываем для куба, грани которого параллельны координатным плоскостям.
Далее доказываем для тела, составленного из кубиков.
Далее данную поверхность аппроксимируем кубической, и переходим к пределу, используя непрерывную зависимость потока от поверхности (вот это тонкое место, непрерывная зависимость).

Коэффициент пропорциональности называем дивергенцией линейного поля. Это определение инвариантно.

2) Для произвольного гладкого поля дивергенцией называем дивергенцию линейного слагаемого ряда тейлора в данной точке.

3) Показываем, что дивергенция равна пределу отношения потока к объему при стягивании поверхности в точку.

 
 
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:30 
Padawan в сообщении #377482 писал(а):
3) Показываем, что дивергенция равна пределу отношения потока к объему при стягивании поверхности в точку.


И после этого получаем формулу через производные. Все ясно, прозрачно и, главное, физически МОТИВИРОВАНО. Можно, конечно, начать с производных, но тогда физически не мотивровано а потому для физиков не желательно.

 
 
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:35 
Alex-Yu в сообщении #377485 писал(а):
Padawan в сообщении #377482 писал(а):
3) Показываем, что дивергенция равна пределу отношения потока к объему при стягивании поверхности в точку.


И после этого получаем формулу через производные. Все ясно, прозрачно и, главное, физически МОТИВИРОВАНО. Можно, конечно, начать с производных, но тогда физически не мотивровано а потому для физиков не желательно.


Нет, формулу через производные получаем в 1). Через координаты и куб.

Да какая разница. Математический анализ физики тоже изучают. Определение дивергенции и формулировка и доказательство теоремы Гаусса-Остроградского происходит на одной лекции. А отсюда, как следствие сразу же определение дивергенции как предел отношения.

 
 
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:40 
Padawan в сообщении #377487 писал(а):
Через координаты и куб.


Во всех физических учебниках только маленький кубик и рассматривают. У меня просто "заскок" случился, запутал меня товарищ своим математическим занудством, я и начал что-то сложное мудрить :-( Но главное ведь истина, не правда ли :-)

 
 
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение19.11.2010, 20:40 
В п. 3) надо еще добавить ограничение на рассматриваемые поверхности: они должны быть регулярными в том смысле, что $S\leqslant C_1D^2$, $V\geqslant C_2 D^3$ где $S$ - площадь, $V$-- объем, $D$ - диаметр, $C_1, C_2$ -- константы.

А с формулой Г.-О. этого ограничения не надо.

 
 
 [ Сообщений: 331 ]  На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22, 23  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group