Об использовании математических понятий в физике

[Александр Т.]

Padawan в сообщении #377092 писал(а):

Александр Т. в сообщении #377089 писал(а):

$$ \oint\limits_\Sigma \mathop\mathrm{d{}}\vec{S} = 0 $$

для любой замкнутой поверхности $\Sigma$ (а не только для сферы)

Опять же из физических соображений Типа тело заполнено газом, он давит на стенки, но тело покоится.

А хорошее, кстати, физическое соображение. Если немного подумать дальше в этом направлении, то (на мой взгляд) оно опирается на закон сохранения импульса, а последний в свою очередь следует из однородности пространства.

Интересно, а минуя физику, т.е. не выходя за пределы геометрии, можно ли как-то использовать однородность пространства для того, чтобы это доказать?

Я пока чисто математически мог бы доказать это векторное тождество (думаю, что мог бы), лишь сначала доказав это для произвольного замкнутого многогранника, расписывая сумму соответствующих половин векторных произведений через координаты соответствующих точек. Хотя быстрее, наверное, доказать это для произвольного тетраэдра (опять-таки расписав все через координаты его вершин), а затем разбить пространство внутри этой поверхности на тетраэдры (которые могут быть и вырожденные) и устремить максимальный размер ребер в этом разбиении к нулю.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #377109 писал(а):

Естественно очевидно. Если источников поля нет (а для однородного поля уж всяко нет), то сколько втекает, столько и вытекает.

Вы пользуетесь теоремой Гаусса, в то время пока ещё не определена дивергенция.

Alex-Yu в сообщении #377109 писал(а):

На счет того, что все равно стремится к нулю, это Munin погорячился немного Поток же потом на объем делится.

Я знаю. Но я даже не уточнял пока, в какой степени стремится к нулю. Проблема у ewert-а была с тем, что он вообще стремящейся к нулю величины не нашёл.

Александр Т. в сообщении #377115 писал(а):

Интересно, а минуя физику, т.е. не выходя за пределы геометрии, можно ли как-то использовать однородность пространства для того, чтобы это доказать?

Мне кажется, что если спроецировать поверхность на произвольную плоскость, то будет очевидно, что проекция интеграла на нормаль к этой плоскости нуль.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #377122 писал(а):

Вы пользуетесь теоремой Гаусса, в то время пока ещё не определена дивергенция.

Нет я пользуюсь ФИЗИЧЕСКИМ законом сохранения массы. Беру пример: пусть это будет поле скоростей несжимаемой жидкости. Следующий шаг: а какая разница какое векторное поле.

Кстати это рассуждение прекрасно иллюстрирует физический способ мышления: матаппарат, в котором не сохраняется масса несжимаемой жидкости мне на фиг не нужен. Во всяком случае в простых классических задачах Я ЗАРАНЕЕ знаю, что должно получиться в некоторых (но не во всех, конечно) случаях. Это не обсуждается. Обсуждается только как строить матаппарат чтобы этот ответ действительно получался. Но никак не наоборот, наоборот это у математиков. Математика наука дедуктивная, а физика -- индуктивная. Ньюансы (в части физики во всяком случае) есть, конечно.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #377126 писал(а):

Нет я пользуюсь ФИЗИЧЕСКИМ законом сохранения массы.

Нет, чтобы перейти к этому физическому закону, надо связать с $dm/dt$ именно "источники", то есть дивергенцию векторного поля, то есть дефинировать её.

[Александр Т.]

Munin в сообщении #377122 писал(а):

Александр Т. в сообщении #377115 писал(а):

Интересно, а минуя физику, т.е. не выходя за пределы геометрии, можно ли как-то использовать однородность пространства для того, чтобы это доказать?

Мне кажется, что если спроецировать поверхность на произвольную плоскость, то будет очевидно, что проекция интеграла на нормаль к этой плоскости нуль.

Пожалуй — да. В силу произвольности плоскости сам интеграл будет равен нулю. Видно глазами.

Но до этого нужно доказать, что проекция вектора площади треугольника на нормаль к плоскости равна вектору площади проекции этого треугольника на эту плоскость. А это опять делается при помощи расписывания векторов площадей соответствующих треугольников через координаты их вершин. Но общий путь доказательства стал, если и не сильно короче, то попроще и нагляднее.

P.S. И пока не видно, где здесь использована однородность пространства. Хотя, может быть, проекция с такими свойствами возможна только в однородном пространстве?

[Ales]

Александр Т. в сообщении #377115 писал(а):

Я пока чисто математически мог бы доказать это векторное тождество (думаю, что мог бы), лишь сначала доказав это для произвольного замкнутого многогранника

А разве это не $\vec ndS = (dy\wedge dz,dz\wedge dx,dx\wedge dy)$?
Интеграл по поверхности каждой векторной компоненты равен сумме ориентированных площадей проекции на соответствующую координатную плоскость.
Фигура замкнута - сумма равна нулю.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #377128 писал(а):

Нет, чтобы перейти к этому физическому закону, надо связать с именно "источники", то есть дивергенцию векторного поля, то есть дефинировать её.

Сколько втекает столько и вытекает никакой дивергенции не требует. Закон сохранения он по своей сути интегральный! Кстати, я бы изменил то, на чем Вы настаивали. Интеграл может и не проще производной (спорно, но пусть), но он точно БОЛЕЕ ПЕРВИЧЕН. И по физике производную правильней определять так:

$df/dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int K_{\varepsilon}(x-y) f(y)dy$

С подходящим классом эквивалентности ядер, естественно. Между прочим, есть такая железка в электронике, дифференциатор называется. Именно это он и делает. Но никак не то, что соответсвует определению математиков.

[Ales]

Но проще сразу доказать Теорему Гаусса-Остроградского:
$\int_S \vec v \cdot \vec n dS=\int_S (v_x dy \wedge dz+v_y dz \wedge dx+v_z dx \wedge dy)=$
$=\int_V (\frac {\partial{v_x}} {\partial{x}}dx \wedge dy \wedge dz+....)=\int_V div \vec v dV$.
Теорема то доказывается в две строки, надо только учитывать ориентации и границы, для чего рисуется картинка.

[Alex-Yu]

Ales в сообщении #377138 писал(а):

Но проще сразу доказать Теорему Гаусса-Остроградского

В физике не важно что проще математически (на уровне определений не важно). Важно что осмысленно физически.

[Александр Т.]

Ales в сообщении #377130 писал(а):

А разве это не $\vec ndS = (dy\wedge dz,dz\wedge dx,dx\wedge dy)$?

Имеется в виду, что $dx$, $dy$, $dz$ — это $\vec{\mathop\mathrm{d{}}x}=\vec{i}\mathop\mathrm{d{}}x$, $\vec{\mathop\mathrm{d{}}y}=\vec{j}\mathop\mathrm{d{}}y$, $\vec{\mathop\mathrm{d{}}z}=\vec{k}\mathop\mathrm{d{}}z$, а написанное выше — это определение $\mathop\mathrm{d{}}S$?

Цитата:

Интеграл по поверхности каждой векторной компоненты равен сумме ориентированных площадей проекции на соответствующую координатную плоскость.
Фигура замкнута - сумма равна нулю.

Похоже на то, о чем словами писал Munin. Тогда вот мой ответ. Применительно к данному случаю: это определение нужно как-то обосновать (т.е., показать, что это — действительно площадь), а для обоснования ...

[Munin]

Александр Т. в сообщении #377129 писал(а):

Но до этого нужно доказать, что проекция вектора площади треугольника на нормаль к плоскости равна вектору площади проекции этого треугольника на эту плоскость. А это опять делается при помощи расписывания векторов площадей соответствующих треугольников через координаты их вершин.

Тут и векторной алгебры без координат хватит.

[Александр Т.]

Александр Т. в сообщении #377129 писал(а):

Хотя, может быть, проекция с такими свойствами возможна только в однородном пространстве?

Ну да. Однородное — это, например, точечное евклидово. А такому точечному пространству можно поставить в соответствие векторное евклидово пространство и в нем уже мудрствовать с векторами (вводить вектор площади, доказывать, что его проекция есть вектор площади проекции и т.д.). (Нестрого, конечно сформулировано, но, думаю, для данного обсуждения сгодиться.)

(Это называется)

Тихо сам с собою я веду беседу.

[ewert]

Munin в сообщении #376998 писал(а):

Следовало сказать о малости просто величины $\mathbf{E}-\mathbf{E}_0,$ а не умножать её ни на какой вектор. Тогда

$$\oint\mathbf{E}\,d\mathbf{S}=\oint(\mathbf{E}-\mathbf{E}_0)\,d\mathbf{S}+\oint\mathbf{E}_0\,d\mathbf{S},$$

второе слагаемое равно нулю, а первое не превышает $\max\lvert\mathbf{E}-\mathbf{E}_0\rvert$ помноженного на площадь описанной сферы (вот эта оценка, кстати, не проста в общем случае, и может быть ухудшена, но в случае дифференцируемого поля $\mathbf{E}$ не более чем на конечный коэффициент).

Сплошная путаница. Во-первых, дифференцируемость тут пока что не при чём -- эта оценка (через максимум разностей) просто тривиальна. Во-вторых, хотя про малость разности Вы явно и не не сказали -- это явно подразумевалось, так что не в этом была проблема. А в том, что изо всех этих замечательных рассуждение ровным счётом ничего следует насчёт деления на объём, решительно ничего.

Alex-Yu в сообщении #377109 писал(а):

А если поле линейно зависит от радиус-вектора, то поток оказывается пропорционален объему. В уме считается, в полярных координатах.

Во-первых, не в полярных, а в сферических. Во-вторых, полей, линейных по радиус-вектору, грубо говоря, не бывает -- это лишь частный случай, из которого ничего не следует. В-третьих, в любом варианте: даже если выловить здесь всех блох -- останется не более чем кустарщина, занудная и безыдейная с любой стороны.

Александр Т. в сообщении #377129 писал(а):

Munin в сообщении #377122 писал(а):

если спроецировать поверхность на произвольную плоскость, то будет очевидно, что проекция интеграла на нормаль к этой плоскости нуль.

Пожалуй — да. В силу произвольности плоскости сам интеграл будет равен нулю. Видно глазами.

Но до этого нужно доказать, что проекция вектора площади треугольника на нормаль к плоскости равна вектору площади проекции этого треугольника на эту плоскость.

Этого не нужно доказывать. Достаточно записать поверхностный интеграл 2-го рода в координатной форме. А это обязан уметь делать любой, кто вообще имеет дело с такими интегралами.

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #377194 писал(а):

Во-вторых, полей, линейных по радиус-вектору, грубо говоря, не бывает -- это лишь частный случай, из которого ничего не следует.

Следует. Если поле разлождить в степенной ряд, то сразу видно, что от нулевого члена поток ноль, от линейного -- пропорционален объему, а от всех последующих -- малая более высокого порядка по объему. Ergo: для физической дивергенции существенен лишь линейный член. Меня не интересует математическая дивергенция. Она там через производные определяется? Да и хрен с ней с такой дивергенцией, такую мне не надо. Мне нужен поток. Производные мне не нужны. Вот когда я понял, что поток выражается через линейный член, я могу заинтересоваться тем, что этот линейный член выражается через производные. А ДО ТОГО производные меня просто не интересют, мне на них наплевать.

[Padawan]

Alex-Yu
Для линейного поля и произвольной поверхности можете просто вывести, что поток пропорционален объему?