Об использовании математических понятий в физике

[ewert]

Ales в сообщении #373647 писал(а):

Если люди знают тензорный анализ, внешние формы и теорему Стокса, то слов много не понадобится.

Но в обратную-то сторону слов вообще практически не надо. Формула Ньютона-Лейбница -- и всё, из тройного интеграла мгновенно получился поверхностный.

И всё-таки:

ewert в сообщении #373583 писал(а):

объяснить ну пусть даже и на пальцах, почему этот поток более-менее не зависит от размера и формы области

(под независимостью понимается, естественно, пропорциональность).

А я вот Вам сейчас запросто "докажу", что всё наоборот. Поток не может быть пропорционален объёму, поскольку он пропорционален площади, а площадь стремится к нулю много медленнее объёма. Валяйте, опровергайте, а я включу секундомер.

[Ales]

Зато Вам труднее доказать, что отображение, сохраняющее объем, не меняет дивергенцию.
Метрика для дивергенции не обязательна, достаточно объема.

-- Чт ноя 11, 2010 23:10:28 --

Интересно, усвоят ли первокурсники тензоры, дифференциальные формы и теорему Стокса?

[ewert]

Ales в сообщении #373809 писал(а):

Зато Вам труднее доказать, что отображение, сохраняющее объем, не меняет дивергенцию.

А мне это и не нужно.

Ales в сообщении #373809 писал(а):

Интересно, усвоят ли первокурсники тензоры, дифференциальные формы и теорему Стокса?

Нет, но зато они запросто усвоят дивергенцию как таковую. То, что для них это преждевременно -- это уже другой вопрос.

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #373660 писал(а):

А я вот Вам сейчас запросто "докажу", что всё наоборот. Поток не может быть пропорционален объёму, поскольку он пропорционален площади, а площадь стремится к нулю много медленнее объёма. Валяйте, опровергайте, а я включу секундомер.

А чего тут опровергать, легко и просто. Вы потеряли еще одну степень линейного масштаба, возникающую из того факта, что неравенство дивергенции нулю может быть только для неоднородного поля. То, что для однородного поля дивергенция нуль, вполне очевидно на интуитивном уровне.

А вообще спор более чем станный. Физика есть физика, математика есть математика. Между ними вообще мало общего, прежде всего в стиле мышления. Вы тут как-то сказали мол физики не определяют синус и косинус? Определяют, еще как:-)

Совпадение значков не должно вводить в заблуждение. Хотите совсем крамолу с математической точки зрения? В физике интеграл это всегда КОНЕЧНАЯ сумма:-) А бесконечно малые (в математическом смысле) вообще не используются. И тому есть очень серьезные причины: что в реальном мире делается на совсем малых масштабах мы вообще не знаем, может там и континуума никакого нет:-) Может даже вообще НИ ОДНА из ныне принятых в математике аксиом не верна. Я так даже уверен что для любой аксиомы существует масштаб, на котором она теряет свою справедливость.

[ewert]

Alex-Yu в сообщении #373857 писал(а):

В физике интеграл это всегда КОНЕЧНАЯ сумма:-)

Поэтому $\pi$ в физике может достигать значения четырёх даже и в мирное время.

Alex-Yu в сообщении #373857 писал(а):

А чего тут опровергать, легко и просто. Вы потеряли еще одну степень линейного масштаба, возникающую из того факта, что неравенство дивергенции нулю может быть только для неоднородного поля.

Я мог потерять что угодно, но этого всё-таки не терял. Неоднородность -- это не степень. Это зелёность. Но даже из зелёности ещё не следует наличие пропорциональности.

[nestoklon]

ewert в сообщении #373583 писал(а):

Сколько Вам понадобится слов, чтобы придать этому заклинанию хоть сколько-то реальное содержание?... (т.е. чтобы объяснить ну пусть даже и на пальцах, почему этот поток более-менее не зависит от размера и формы области)

Одной фразой. Проведя аналогию потоков поля с потоками обычными, хоть воды хоть воздуха. Очевидно, что для того чтобы поток менялся, должны быть источники (если где-то что-то убыло, то ...). Значит если мы окружили объёмом некоторый (точечный) источник, то объём менять можем как угодно пока не пересечём его поверхностью этот или другой источник. Это простая физическая картинка, основанная на здравом смысле, которая в математике разрастается в большие и скучные доказательства, которые по сути делают то же самое.
Да, это обман. Да, большие и скучные доказательства надо представлять и уметь говорить на том языке. Но почему вы отказываете этой наглядной картинке право на существование? Только потому, что некоторые особо ленивые студенты только такой картинкой и ограничиваются? Тем, что это "халява", которая позволяет делать правильные выводы, не зная практически ничего?

ewert в сообщении #373583 писал(а):

Сколько потом понадобится слов, чтобы вывести из этого определения (допустим, что его удалось привести в чувство) стандартную дифференциальную запись?...

Две строчки. Расписать интеграл по поверхности кубика, устремить его объём к нулю и воспользоваться определением производной через предел.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #373857 писал(а):

Может даже вообще НИ ОДНА из ныне принятых в математике аксиом не верна.

Мне кажется, аккуратнее всё-таки произносить, что есть математические конструкции, а есть их использование в качестве моделей в физике. Так вот, модели где-то становятся неверны - но именно как модели, перестают быть адекватны природе. А то "аксиома неверна" может быть понято неправильно.

nestoklon в сообщении #373908 писал(а):

Но почему вы отказываете этой наглядной картинке право на существование? Только потому, что некоторые особо ленивые студенты только такой картинкой и ограничиваются? Тем, что это "халява", которая позволяет делать правильные выводы, не зная практически ничего?

Угу, и я про то же. Физике (а не только нерадивым студентам) нужна такая "халява", более того, иногда именно из такой "халявы" вырастает математика (сначала интересная, и только потом тщательно оформленная).

[ewert]

nestoklon в сообщении #373908 писал(а):

Одной фразой. Проведя аналогию потоков поля с потоками обычными,

Этого достаточно. Почему вытекающий поток пропорционален объёму?... (напомню, что источников пока нет -- есть лишь поток как таковой, для абстрактного поля).

nestoklon в сообщении #373908 писал(а):

Да, большие и скучные доказательства надо представлять и уметь говорить на том языке.

Не нужно. Формула Ньютона-Лейбница всем известна, её и достаточно, более чем. Да, я понимаю, что слово "формула", и слово "всем", и слово "более", и даже слово "и" тоже нуждаются в доказательствах, на каком-то там языке предикатов чего-то там. Это я понимаю. Не понимаю лишь одного: зачем Вам доказывать Ньютона-Лейбница, коли всё остальное Вы согласны принять на веру?...

nestoklon в сообщении #373908 писал(а):

Две строчки. Расписать интеграл по поверхности кубика, устремить его объём к нулю и воспользоваться определением производной через предел.

Да, на моём мониторе это действительно две строчки. Но в них нет ни одной частной производной.

Ребята, я хоть и не физик, но кой-какое физвоспитание всё же имею. Даже физикам нельзя заменять точные формулировки (точные по смыслу, не обязательно буквоедски формальные) легкомысленным размахиванием руками.

Никто не спорит, что дивергенция -- это отношение. И это даже прекрасно. Но это -- потом, потом станет прекрасным. А сперва -- извольте честно подифференцировать.

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #373955 писал(а):

Никто не спорит, что дивергенция -- это отношение. И это даже прекрасно. Но это -- потом, потом станет прекрасным. А сперва -- извольте честно подифференцировать.

Вот в том и дело, что в математике потом, а в физике наоборот сначала (ну разные это науки!). Дивергенция это оператор? Ну ладно, пусть себе оператор. Но на кой мне, физику сдалась такая дивергенция??? Я конечно знаю, про операторы, но на самом деле не обо мне конкретно речь:-) Все это потом, как уточнение. Когда есть дивергенция как отношение потока к объему, можно задаться вопросами а почему это такой предел есть, а почему это он не зависит от форму объема и т.д. А то "производная зависит от системы координат..." ну и хрен с ней, пусть себе зависит. А зачем она вообще нужна? Не математику, физику зачем? Сами по себе производные физику вообще вроде как ни к чему, физик не занимается изучением производных, это не его вид деятельности:-)

-- Пт ноя 12, 2010 18:37:25 --

ewert в сообщении #373955 писал(а):

Ребята, я хоть и не физик, но кой-какое физвоспитание всё же имею. Даже физикам нельзя заменять точные формулировки (точные по смыслу, не обязательно буквоедски формальные) легкомысленным размахиванием руками.

Советую почитать предисловие к книжке Рихтмайера. Что-то там про матфизку, не помню точно. А физики вовсе не легкомыслены. У них просто совершенно иные критерии истинности и точности.

[ewert]

Alex-Yu в сообщении #373969 писал(а):

А то "производная зависит от системы координат..." ну и хрен с ней, пусть себе зависит. А зачем она вообще нужна? Не математику, физику зачем. Сами по себе производные физику вообще вроде как ни к чему,

Во-первых, для физиков производные -- это именно хлеб. Физики занимаются процессами, а значит их изменениями, а значит производными.

Во-вторых, именно для физиков инвариантность должна быть принципиальной. Им (раз они физики) координаты неинтересны, им нужны инвариантные понятия, ну вот хоть типа определение дивергенции через объём (странно, что Вы вдруг решили от него отречься).

В-третьих:

Alex-Yu в сообщении #373969 писал(а):

Вот в том и дело, что в математике потом, а в физике наоборот сначала

Как бы ни было наоборот -- это не даёт права на легкомыслие. "Определим черепаху как объект, на котором стоят те слоны, на коих покоится земля". Физично?... -- а что, вполне.

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #373977 писал(а):

Во-первых, для физиков производные -- это именно хлеб.

Не-е-е-е. Ну почему математики считают себя вправе учить физиков физике? Физики не учат же математиков математике:-)

[nestoklon]

ewert в сообщении #373955 писал(а):

Этого достаточно. Почему вытекающий поток пропорционален объёму?... (напомню, что источников пока нет -- есть лишь поток как таковой, для абстрактного поля).

Какому объёму? Поток без источников не меняется. Точка. Интуитивное знание, полученное из наблюдений за поведением воды/воздуха, чего угодно. Взялись критиковать -- извольте говорить на языке того, что критикуете.

ewert в сообщении #373955 писал(а):

Не понимаю лишь одного: зачем Вам доказывать Ньютона-Лейбница, коли всё остальное Вы согласны принять на веру?...

Да не на веру. Вы прям как альт рассуждаете. Что раз что-то можно просто объяснить в научно-популярной книжке, значит учёные всех запутали, никто ничего не понимает и все верят в то, что Эйнштейн был прав и никто ничего не проверял.
Наглядная картинка и строгое доказательство -- это разные уровни понимания. Хорошо, когда первое идёт от второго. Но почему второе не может быть после первого? Это закон мироздания какой или что?
Таблицу умножения можно вывести из законов сложения, а можно заучить. Если мы её заучили в первом классе, можно ли говорить что мы в неё верим и потеряны для математики навсегда?

ewert в сообщении #373955 писал(а):

Но в них нет ни одной частной производной.

Я надеялся, что сами справитесь.

ewert в сообщении #373955 писал(а):

Даже физикам нельзя заменять точные формулировки (точные по смыслу, не обязательно буквоедски формальные) легкомысленным размахиванием руками.

классик писал(а):

На самом деле я не всегда тыкал пальцем в небо: обычно под моими догадками была определенная основа. Я придумал схему, которой пользуюсь и по сей день, когда кто-то объясняет мне что-то, а я пытаюсь это понять: я придумываю примеры. Скажем, в комнату входят математики в чрезвычайно возбужденном состоянии с потрясающей теоремой. Пока они рассказывают мне условия этой теоремы, я в уме строю нечто, что подходит ко всем ее условиям. Это легко: у вас есть множество (один мяч), два непересекающихся множества (два мяча). Затем, по мере роста количества условий, мои мячики приобретают цвет, у них отрастают волосы или что-нибудь еще. Наконец, математики выдают какую-то дурацкую теорему о мяче, которая совсем не подходит к моему волосатому зеленому мячику. Тогда я говорю: "Ложь!"
Если я угадал, то они возбуждаются еще сильнее, я еще немного слушаю их, а потом привожу свой контрпример.
- Ой! Мы же забыли тебе сказать, что это второй класс Хаусдорфова гомоморфизма.
- Ну что же, - говорю я. - Это тривиально! Это тривиально! К тому времени я уже понимаю, куда ветер дует, хотя и не знаю, что такое Хаусдорфов гомоморфизм.
Я обычно давал правильный ответ, потому что, хотя математики и считают, что их топологические теоремы противоречат интуиции, на самом деле они не так сложны, как кажется. Можно привыкнуть к забавным свойствам этого процесса нарезания на ультрамелкие дольки и научиться довольно точно угадывать, что же получится в итоге.

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #373977 писал(а):

Как бы ни было наоборот -- это не даёт права на легкомыслие.

Математическое легкомыслие и физическое легкомыслие это совершенно разные вещи. Можно быть абсолютно не легкомысленным математически и при этом быть полностью легкомысленным физически. И наоборот.

[nestoklon]

ewert в сообщении #373977 писал(а):

Во-вторых, именно для физиков инвариантность должна быть принципиальной.

Принципиальна, принципиальна, не переживайте. В координатном виде она весьма неочевидна. А "своими словами" через потоки -- очевидна. Вам нет? Ну так вы на то и не физик.

[Munin]

ewert в сообщении #373955 писал(а):

Этого достаточно. Почему вытекающий поток пропорционален объёму?... (напомню, что источников пока нет -- есть лишь поток как таковой, для абстрактного поля).

Ясно, что он пропорционален какой-то степени объёма (или бесконечно мал в сравнении с любой степенью). Мы просто можем рассмотреть случай, когда первым ненулевым членом в степенном разложении является тот, где поток пропорционален объёму, вот и всё. Если он убывает быстрее - нас это не интересует (мы считаем дивергенцию нулевой), если медленнее - описываем как отдельный случай (точечный источник ненулевой величины, например).

ewert в сообщении #373955 писал(а):

Даже физикам нельзя заменять точные формулировки (точные по смыслу, не обязательно буквоедски формальные) легкомысленным размахиванием руками.

Физикам нельзя заменять точные физические формулировки. Точные математические - можно :-) Это не область физика, он может просто сослаться на то, что в другой области эти точные формулировки есть (и сбегать туда для проверки корректности своих расчётов).

ewert в сообщении #373955 писал(а):

Никто не спорит, что дивергенция -- это отношение. И это даже прекрасно. Но это -- потом, потом станет прекрасным. А сперва -- извольте честно подифференцировать.

Нет. В физике дивергенция - это не самоцель, а самоцель - описание некоторой физической ситуации, в которой первым делом взгляд падает именно на отношение. И только потом произносится слово "дивергенция", и ещё потом начинается дифференцирование. Если оно вообще будет нужно.