Об использовании математических понятий в физике

[Munin]

ewert в сообщении #373217 писал(а):

Возьмите любое соленоидальное поле (ну пусть хоть однородное). И чуток исказите его на небольшом участке, чтоб оно перестало быть там соленоидальным. А потом посчитайте линии и попытайтесь по ним определить, где там и какие источники.

Ну и? Это делается. Я вам даже книжку назвал. Детскую, но я видал и посерьёзнее.

ewert в сообщении #373217 писал(а):

А не меняется потому, что компоненты самого оператора набла преобразуются при этом по тем же законам (уж какими бы те законы ни были, не важно), что и компоненты обычного вектора.

И что, ваши ученики этот аргумент принимают и переваривают? Я рад за них. Для меня это в своё время было очень навороченной концепцией.

ewert в сообщении #373217 писал(а):

Стоп, этого достаточно. Если отрезочек прямой, то он бесконечно мал

Нет, какое бесконечно мал? Обычный беру, я же его назвал, даже единичной длины.

ewert в сообщении #373217 писал(а):

а это уже подразумевает дальнейшее суммирование, столь Вами ненавидимое -- не более и не менее.

Я могу попросить вас если не запомнить, то хотя бы вслух мне не приписывать нелюбовь к суммированию? Я его очень уважаю. Как любой инструмент. Я просто не хочу уподобляться тем, кто берёт в руки молоток, и весь мир для них становится гвозди.

[ewert]

Munin в сообщении #373255 писал(а):

Ну и? Это делается.

Сделайте. Оно (количество линий) как входящих, так и исходящих -- окажется ровно одинаковым, для любой области. Вот и вытягивайте отсюда плотность зарядов внутри области.

Munin в сообщении #373255 писал(а):

Для меня это в своё время было очень навороченной концепцией.

Возможно, это потому, что Вы уже привыкли к навороченности концепций как к чему-то обязательному. Между тем соображения, которые я привёл -- вполне элементарны. Они интуитивно очевидны и легко при необходимости обосновываются даже формально, только вряд ли желание таких обоснований возникнет. Конечно, если предварительно пояснить, из чего, собственно, вопрос. Это, естественно, поясняется. Предварительно говорится: "А чем нехороша частная производная сама по себе?... -- тем, что её значение зависит от того, как направлены оси. А как бы нам придумать какую-нибудь комбинацию производных, которая не зависела бы от выбора осей?... -- а вот же она, вот же есть у нас нечто похожее!"

Munin в сообщении #373255 писал(а):

Нет, какое бесконечно мал? Обычный беру, я же его назвал, даже единичной длины.

Вы назвали его "прямым". А это осмысленно лишь при бесконечной малости. Для "кривого" же отрезка все эти разглагольствования насчёт теоремы Пифагора и разных там преобразований -- лишены решительно любого смысла. Пока мы тот отрезок не измельчим и потом не просуммируем. И вот это -- неизбежно, и идейно, и эту идею никаким разумным способом не обойти.

Munin в сообщении #373255 писал(а):

мне не приписывать нелюбовь к суммированию?

-- именно поэтому и приписываю.

[Munin]

ewert в сообщении #373296 писал(а):

Вы назвали его "прямым". А это осмысленно лишь при бесконечной малости.

Вы решительно заговариваетесь. Берём линейку, и проводим прямой отрезок конечной длины. Я же пока не сказал, что этот отрезок принадлежит заданной кривой, к этому можно позже подойти.

ewert в сообщении #373296 писал(а):

Сделайте. Оно (количество линий) как входящих, так и исходящих -- окажется ровно одинаковым, для любой области.

Оно оказывается не одинаковым. Ну хоть режьте.

Видимо, здесь наш диалог исчерпал возможности приближения ко взаимопониманию (как, помнится, бывало и раньше). Предлагаю или прочитать книжку, или просто остаться при своих.

ewert в сообщении #373296 писал(а):

Предварительно говорится: "А чем нехороша частная производная сама по себе?... -- тем, что её значение зависит от того, как направлены оси. А как бы нам придумать какую-нибудь комбинацию производных, которая не зависела бы от выбора осей?... -- а вот же она, вот же есть у нас нечто похожее!"

Не могу не вспомнить свою "концепцию касательной", которая ведёт себя в этой ситуации более логично: сразу даёт градиент (причём не вектор, а линейную форму, что корректней), а не пользуется нелепыми костылями в виде частных производных, которые как понятие куда более надуманы (сначала производная по направлению, потом ещё направление вдоль орта... бр-р-р).

[ewert]

Munin в сообщении #373312 писал(а):

Берём линейку, и проводим прямой отрезок конечной длины.

Берите, берите. Только никакого решительно смысла это взятие не поимеет, пока Вы не оговорите разбиения данной кривой на участки (ну а потом, ессно, на ихние суммы с учётом предельного перехода).

Munin в сообщении #373312 писал(а):

Предлагаю или прочитать книжку,

Зачем?... "А что сверх всего этого, сын мой, того берегись: составлять много книг - конца не будет, и много читать - утомительно для тела" $\copyright$

Мне смутно припоминается, что именно на Зильбермане (в частности) нас некогда и дрессировали. Но даже если тот товарищ некогда чего и ляпнул -- то это ещё не основание, чтоб прнимать тот ляп как догму. Мало ли чего в каких учебниках, времени-то много прошло.

[Munin]

Мне больше нечего сказать. Я "высказал всю глупость"...

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #372793 писал(а):

Кстати: а что такое касательная?...

А хрен его знает!

Вот задана в $\mathbb{R}^2$ кривая $\{ \langle t,t^3 \rangle : t \in \mathbb{R} \}$. Считается ли прямая $\{ \langle t,0 \rangle : t \in \mathbb{R} \}$ касательной к этой кривой в точке $\langle 0,0 \rangle$?

[Munin]

Вот как раз ровно этот вопрос и задавался, кстати.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #373526 писал(а):

Вот задана в $\mathbb{R}^2$ кривая $\{ \langle t,t^3 \rangle : t \in \mathbb{R} \}$. Считается ли прямая $\{ \langle t,0 \rangle : t \in \mathbb{R} \}$ касательной к этой кривой в точке $\langle 0,0 \rangle$?

Да, является.

Если, конечно, касательную определять по-человечески.

[Padawan]

Архимед считал площадь. И считал он её при помощи интеграла. А интеграл -- это именно предел интегральных сумм, тех или иных.
Т.е. Архимед подошел к понятию интеграла и понял, что с его помощью можно считать в частности площади.

[Профессор Снэйп]

А если кривая $\{ \langle t, t^2 \sin (1/t) \rangle : t \neq 0 \} \cup \{ \langle 0,0 \rangle \}$? Будет ось абсцисс касательной к ней в точке $\langle 0,0 \rangle$?

-- Чт ноя 11, 2010 19:59:25 --

ewert в сообщении #373536 писал(а):

Да, является.

А почему? Она ведь не касается, а пересекает.

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #373550 писал(а):

А если кривая $\{ \langle t, t^2 \sin (1/t) \rangle : t \neq 0 \} \cup \{ \langle 0,0 \rangle \}$? Будет ось абсцисс касательной к ней в точке $\langle 0,0 \rangle$?

-- Чт ноя 11, 2010 19:59:25 --

ewert в сообщении #373536 писал(а):

Да, является.

А почему? Она ведь не касается, а пересекает.

Касательная -- предельное положение секущей, когда $M\to M_0$ по кривой.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #373550 писал(а):

Она ведь не касается, а пересекает.

Пересекает, при этом касаясь. А могла бы пересекать, вовсе не касаясь (во как!)

[Ales]

Я думаю, что определять дивергенцию потоком через замкнутую поверхность - лучший способ.
Только в этом случае понятна мотивировка этого понятия и того, что дивергенция - плотность источников (стоков) потока жидкости.

Вводить дивергенцию вперед внешних дифференциальных форм и теоремы Стокса не очень хорошо.
Но кажется, часто делают именно так.

Если рассуждать строго, то дивергенция векторного поля - отношение дифференциала 2-формы, которая получается из поля тензорным умножение на форму объема, к форме объема. Как же тут быть без теоремы Стокса?

[ewert]

Ales в сообщении #373574 писал(а):

Если рассуждать строго, то дивергенция векторного поля

-- это $\vec\nabla\cdot\vec f$, точка.

Ales в сообщении #373574 писал(а):

Я думаю, что определять дивергенцию потоком через замкнутую поверхность - лучший способ.

Сколько Вам понадобится слов, чтобы придать этому заклинанию хоть сколько-то реальное содержание?... (т.е. чтобы объяснить ну пусть даже и на пальцах, почему этот поток более-менее не зависит от размера и формы области)

Сколько потом понадобится слов, чтобы вывести из этого определения (допустим, что его удалось привести в чувство) стандартную дифференциальную запись?...

[Ales]

ewert в сообщении #373583 писал(а):

Сколько потом понадобится слов, чтобы вывести из этого определения (допустим, что его удалось привести в чувство) стандартную дифференциальную запись?...

Если люди знают тензорный анализ, внешние формы и теорему Стокса, то слов много не понадобится.
Но действительно, проблема в том, что векторный анализ идет раньше.
Поэтому приходится вводить определения не совсем натуральным образом.