Но вот на что не имеют права даже физики -- так это на жульничество. Поскольку определение дивергенции через объём как исходное -- именно жульничество.
Успокойтесь. Достаточно сказать, что это не определение, в том смысле, в котором это слово будут потом использовать в своём курсе математики.
То, что поверхностный интеграл пропорционален объёму -- заранее совершенно не очевидно, не видно даже, почему бы это должно было быть так хотя бы в принципе. Никому -- ни математикам, ни физикам.
Физикам видно, потому что ещё раньше, чем вводятся интегралы, вводится картина линий поля. И в ней всё становится столь же интуитивно очевидно, как и в случае плотности. Из каждого заряда выходит непрерывная линия - поэтому число зарядов равно числу линий. Я же предлагал пролистать книжку :-)
Стандартное же (дифференциальное) определение дивергенции, напротив, именно геометрически вполне прозрачно: это -- такая векторная дифференциальная операция, результат применения которой инвариантен относительно ортогональных преобразований координат.
Ууу, вот тут как раз ничего очевидного по крайней мере курса до третьего, когда будет рассказано, что такое инвариантность и как её проверять (и ортогональные преобразования, заодно). Вы своим ученикам именно такое даёте? При этом, ваше определение несколько неточно, оно оставляет неопределённый коэффициент, причём он может быть разным в разных точках пространства.
-- 10.11.2010 14:32:36 --Нуя рад уже и тому, что у Вас наконец появилось понимание необходимости суммирования. Попробуем закрепить. Вернёмся к радикальчикам: так откуда берётся формула для длины кривой?...
У меня никогда не было отрицания этой необходимости. Я понимаю, что для вычисления нужен инструмент. Я только не ставлю инструмент впереди того, для чего он нужен. Первично забивание гвоздей, а не молоток, первична обструганая поверхность, а не рубанок. Дров можно наделать и пилой, и топором, иногда и руками наломать. И не ведите себя со мной как с ребёнком, пожалуйста.
Формула для длины кривой берётся из формулы для длины прямой. Само понятие длины кривой опирается на длину прямой: мы выкладываем вдоль кривой нитку, а затем вытягиваем её. Чтобы увидеть там радикальчики, мы возьмём прямой отрезок известной длины, от
до
и переведём его в произвольное положение: получим от
до
Дальше воспользуемся нелюбимой вами линейностью (из аддитивности), и найдём, что если отрезок в том же направлении простирается от
до
то его длина
И наконец, очевидный шаг, выражаем
Всё это можно и в другом порядке делать, так что для случая, когда у кривой линии есть длинный прямой участок, можно для него сразу записать
безо всяких сумм. Суммы - всего лишь инструмент, а длина - цель.