Привести пример функции, неограниченной на любом интервале

[Legioner93]

"Привести пример функции, заданной и конечной на $\mathbb R$ и неограниченной на любом интервале."
Не понимаю задание. Как функция может быть конечной, если она не ограничена?

[MetaMorphy]

Термину "конечная функция", конечно, следовало бы дать определение, но под этим, видимо, фактически понимается просто функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ (т.е. определённая в каждой точке). Примеры неограниченных функций надо приводить?

[Legioner93]

Не, это я понял:) Просто мне казалось, что нет такой функции. Хотя уже думаю, что есть.
Вот такая подойдет? $f(x)=n, x=m/n$, если $x$ — рациональное (записано как несократимая дробь), и нуль в противном случае (и еще $f(0)=0$.

[caxap]

Пойдёт.

[Виктор Викторов]

Legioner93 в сообщении #371369 писал(а):

"Привести пример функции, заданной и конечной на $\mathbb R$ и неограниченной на любом интервале."
Не понимаю задание. Как функция может быть конечной, если она не ограничена?

Привести пример функции, заданной и конечной на $\mathbb R$ значит, что каждому элементу $\mathbb R$ сопоставлен элемент множества значений (поскольку речь идет о неограниченности, то множество значений должно быть подмножеством $\mathbb R$). Но раз "конечной", то множество значений конечно и имеет минимум и максимум. Ограниченность очевидна. Поиск неограниченной функции с конечным множеством значений напоминает поиск черного котёнка в темной комнате, где его уже нет.

Legioner93 в сообщении #371403 писал(а):

Не, это я понял:) Просто мне казалось, что нет такой функции. Хотя уже думаю, что есть.
Вот такая подойдет? $f(x)=n, x=m/n$, если $x$ — рациональное (записано как несократимая дробь), и нуль в противном случае (и еще $f(0)=0$.

А я не понял. Ваша функция задана на $\mathbb Q$, а в задании на $\mathbb R$. Множество её значений - множество целых чисел. Я не знал, что множество целых чисел конечно.

caxap в сообщении #371407 писал(а):

Пойдёт.

Куда?

[caxap]

Виктор Викторов
По-моему, под "конечной" имелась в виду функция, значение которой в любой точке конечно. Если пример Legioner93 доопределить чем-нибудь (например нулём) на $\mathbb R\setminus \mathbb Q$, то получится то, что требуется: в каждой точке будет конечное значение, но на любом интервале функция неограничена (ибо в любом интервале бесконечное число рациональных точек, а значит знаменателям некуда деваться, кроме как расти в бесконечность).

-- Сб ноя 06, 2010 17:21:50 --

topic26875.html

[Legioner93]

Прошу прощения, а разве я не доопределил? Немного сумбурно

Legioner93 в сообщении #371403 писал(а):

если $x$ — рациональное (записано как несократимая дробь), и нуль в противном случае

, но вроде было.

[Виктор Викторов]

Legioner93 в сообщении #371441 писал(а):

Прошу прощения, а разве я не доопределил? Немного сумбурно

Legioner93 в сообщении #371403 писал(а):

если $x$ — рациональное (записано как несократимая дробь), и нуль в противном случае

, но вроде было.

Где?

caxap в сообщении #371426 писал(а):

По-моему, под "конечной" имелась в виду функция, значение которой в любой точке конечно.

Приведите Ваши определения. В topic26875.html написано нечто другое (хотя и похожее). Мне неуютно в мире, где $y=x^2$ конечная функция.

[caxap]

Виктор Викторов

AKM в сообщении #262554 писал(а):

Вот что нашёл на полочке.
"Элементы теории функций", СМБ, 1963, стр.36:

Цитата:

Пусть функция $f(x)$ определена на множестве $E$.
Функция $f(x)$ называется ограниченной на $E$, если множество $f(E)$ ограничено. Её называют конечной на $E$, если она принимает в каждой точке $x\in E$ конечное значение $y=f(x)$, $-\infty < y < +\infty $.

Хотя чёрт его знает, что там имели в виду. По идее нужно уточнить условие, а не гадать.

[Виктор Викторов]

caxap в сообщении #371456 писал(а):

Хотя чёрт его знает, что там имели в виду. По идее нужно уточнить условие, а не гадать.

Вы правы.

[Legioner93]

Виктор Викторов в сообщении #371448 писал(а):

Legioner93 в сообщении #371441 писал(а):

Прошу прощения, а разве я не доопределил? Немного сумбурно

Legioner93 в сообщении #371403 писал(а):

если $x$ — рациональное (записано как несократимая дробь), и нуль в противном случае

, но вроде было.

Где?

Ну вот же!

Legioner93 в сообщении #371403 писал(а):

$f(x)=n, x=m/n$, если $x$ — рациональное (записано как несократимая дробь), и нуль в противном случае

Условие уточнить, увы, не у кого.

[Виктор Викторов]

Legioner93 в сообщении #371466 писал(а):

Ну вот же!

Legioner93 в сообщении #371403 писал(а):

$f(x)=n, x=m/n$, если $x$ — рациональное (записано как несократимая дробь), и нуль в противном случае

С областью определения Вы правы.

Legioner93 в сообщении #371466 писал(а):

Условие уточнить, увы, не у кого.

А вот тут без определения "конечности" жизни нет.