Найти общую формулу (система двух уравнений)

[MrDindows]

12d3 в сообщении #368921 писал(а):

MrDindows в сообщении #368894 писал(а):

А для х=1 решим?)

Решим.
$k=\frac{1}{\sqrt 2} \left( (3+2\sqrt{2}) ^n- (3-2\sqrt{2}) ^n\right)$
$m=\frac{1}{2} \left( (3+2\sqrt{2}) ^n + (3-2\sqrt{2}) ^n\right)$

Может быть тогда так надо?)
$k={\frac{1}{2} \left( (3+2\sqrt{2}) ^n- (3-2\sqrt{2}) ^n\right)}^2+1$

$y=\frac{1}{\sqrt 2} \left( (3+2\sqrt{2}) ^n- (3-2\sqrt{2}) ^n\right)$

[VAL]

Для каждого подходящего $x$ имеем примерно какую же картину, как для $x=1$. Там тоже обобщенное уравнение Пелля получается. Например, для $x=4$ имеем:
$k_0=18, \ m_0=20$,
$k_{i+1}=9k_i+8m_i, \ m_{i+1}=10k_i+9ь_i$.

При $i \in \{0, 1, 2\}$ это дает пары (4, 80), (4, 25920), (4, 8346320).

А какие иксы являются подходящими? Похоже, все квадраты? Кроме них, имеются 8 и 80... В общем, надо подумать...

[MrDindows]

64, 81 ..не подходят вроде как..

[Joker_vD]

(Оффтоп)

MrDindows в сообщении #368894 писал(а):

омг. ввёл в яндексе "Уравнение пелля", и на 5ой ссылке наткнулся на такой бред: http://oproverjenie.narod.ru/ ...)

Нда. Интересно, вот уравнение $x^3 - 2 = 0$ имеет только целые коэффициенты, так что ж, у него есть рациональные корни? Прорыв в математике, ага.

А вообще небрежность автора весьма показательна. Потерять в первой же строчке случай $X=Y$ и не заметить этого?

[VAL]

MrDindows в сообщении #368961 писал(а):

64, 81 ..не подходят вроде как..

Вполне подходят: (81, 26568), (64, 16640)

Похоже, достаточно в качестве $x$ рассматривать только квадраты, поскольку $x$ и $y$ входят в систему симметрично, а в паре $(x, y)$ ровно один квадрат.

Про второй член пары пока могу сказать лишь то, что это сумма двух четных квадратов.

-- 01 ноя 2010, 22:58 --

Joker_vD в сообщении #368963 писал(а):

(Оффтоп)

MrDindows в сообщении #368894 писал(а):

омг. ввёл в яндексе "Уравнение пелля", и на 5ой ссылке наткнулся на такой бред: http://oproverjenie.narod.ru/ ...)

(Оффтоп)

Опаздываете. Этот бред в этой ветке уже одсудили

[MrDindows]

Действительно...

[VAL]

В общем, получается, что в качестве стартовой пары можно взять $x=z^2, \ y=4z^2(z^2+1)$.
Далее для каждого икса строится бесконечное семейство игреков. А именно:
$k_0=z(2z^2+1), \ m_0=2z(z^2+1)$
$k_{i+1}=(2z^2+1)k_i+2z^2m_i, \ m_{i+1}=(2z^2+2)k_i+(2z^2+1)m_i$.
Соответствующая пара - $(x, \frac{m_i^2}{x+1})$

Для некоторых $z$ этот способ дает все решения.
Для других, к сожалению, нет.
Так, при $z=7$ указанный способ дает бесконечную серию, начинающуюся с пары (49, 9800). На самом деле, при $x=49$ имеются три бесконечных серии, которые при желании можно объединить в одну:
$k_0=21, \ m_0=20; \ \ k_1=119, \ m_1=120; \ \ k_2=693, \ m_2=700$
$k_{i+3}=99k_i+98m_i, \ m_{i+3}=100k_i+99m_i$.
Соответствующая пара - $(49, \frac{m_i^2}{50} )$.

[VAL]

Кажется, понял, откуда берутся "лишние" серии.
Они соответствуют решениям классического уравнения Пелля.
Пусть пара $(z,t)$ - решение уравнения $z^2-2t^2=-1$, а пара $(a, b)$ - решение уравнения $a^2-2b^2=1$. Тогда в качестве начальной пары серии с $x=z^2$ годится пара $(x, \frac{(2tb)^2}{x+1})$.

[VAL]

Вроде бы все. Ну или почти все

Опишем все пары натуральных чисел $(x,y)$, таких, что $xy+x$ и $xy+y$ являются квадратами.

Рассмотрим уравнения $z^2-2t^2=-1 \ (1)$ и $a^2-2b^2=1 \ (2)$
Натуральные решения первого уравнения:
z_0=1, \ t_0=1
z_{i+1}=3z_i+4t_i, \ t_{i+1}=2z_i+3t_i.
Натуральные решения второго уравнения:
a_0=3, \ b_0=2
a_{i+1}=3a_i+4b_i, \ b_{i+1}=2a_i+3b_i.
(На самом деле, решения этих уравнений можно записать одной формулой, но нам это не нужно.)

Приступим к описанию искомых пар.
Ровно одно из чисел пары является полным квадратом. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что это $x$.
Возьмем произвольное натуральное число $z$ и положим $x=z^2$. Возможны два случая.

1. Число $z$ не является первой компонентой решения (1).
Тогда все решения с $x=z^2$ строятся так:
$k_0=z(2z^2+1), \ m_0=2z(z^2+1)$
$k_{i+1}=(2z^2+1)k_i+2z^2m_i, \ m_{i+1}=(2z^2+2)k_i+(2z^2+1)m_i$.
Соответствующая пара - $(x, \frac{m_i^2}{x+1})$.

2. Число $z$ является первой компонентой решения (1).
Тогда все решения с $x=z^2$ исчерпываются парами: $(x, \frac{(2tb)^2}{x+1})$, где $b$ - вторая компонента любого решения (2).

Отмечу, что способ построения решений, описанный в первом случае, пригоден и для второго. Но это не приведет к получению новых пар.

Осталось доказать самую "малость": что других решений нет.

[VAL]

VAL в сообщении #369188 писал(а):

Осталось доказать самую "малость": что других решений нет.

Оказалось, что таки есть.
Ниже приведен "очередной окончательный вариант" :)

Опишем все пары натуральных чисел $(x,y)$, таких, что $xy+x$ и $xy+y$ являются квадратами.

Рассмотрим уравнения $z^2-dt^2=-1 \ (1)$ и $u^2-dv^2=1 \ (2)$, где $d$ - натуральное, свободное от квадратов, а $z, t, u, v$ - неизвестные.
Известно, что второе уравнение имеет бесконечно много решений при любом $d$. Причем все они легко строятся, его известно первое нетривиальное (отличное от пары (1, 0)) решение. Аналогично обстоит дело и с первым уравнением, с той разницей, что оно не всегда разрешимо. Например, когда в разложении $d$ есть простые множители, сравнимые с тройкой по модулю 4, уравнение (1) не разрешимо.

Приступим к описанию искомых пар.
Ровно одно из чисел пары является полным квадратом. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что это $x$.
Возьмем произвольное натуральное число $z$ и положим $x=z^2$. Возможны два случая.

1. Число $z$ не является первой компонентой решения (1).
Тогда все решения с $x=z^2$ строятся так:
$k_0=z(2z^2+1), \ m_0=2z(z^2+1)$
$k_{i+1}=(2z^2+1)k_i+2z^2m_i, \ m_{i+1}=(2z^2+2)k_i+(2z^2+1)m_i$.
Соответствующая пара - $(x, \frac{m_i^2}{x+1})$.

2. Число $z$ является первой компонентой пары $(z, t)$, являющейся решением (1) при подходящем $d$.
Тогда все решения с $x=z^2$ исчерпываются парами: $(x, \frac{(dtv)^2}{x+1})$, где $v$ - вторая компонента любого решения (2) с тем же значением $d$.

Отмечу, что способ построения решений, описанный в первом случае, пригоден и для второго. Но это не приведет к получению новых пар.

PS: Внес очередное уточнение. Относительно разрешимости уравнения (1). Спасибо RIP'у

[Батороев]

Xenia1996 в сообщении #368778 писал(а):

Найдите общую формулу для x и y из системы:

\left {xy + x = k^2
\\xy + y = m^2 \right

Не знаю, поможет ли чем-нибудь эквивалентная запись:
$ a^2-b^2=k^2$
$ a^2-(b-1)^2=m^2$,

где $a=\dfrac{x+y+1}{2}$
$b=\dfrac {y+1-x}{2}$
$y>x$

[VAL]

Как и ожидалось, "очередной окончательный вариант" вновь оказался промежуточным :)
Дело в том, что случая, который я называл первым, не существует. Каждое $z$ является первой комнентой решения уравнения $z^2-dt^2=-1$ при подходящем $d$. В самом деле, $z^2+1$ после освобождения от квадратов годится в качестве $d$.

[Батороев]

Батороев в сообщении #369448 писал(а):

Не знаю, поможет ли чем-нибудь эквивалентная запись:
$ a^2-b^2=k^2$
$ a^2-(b-1)^2=m^2$

Отсюда
$a^2=b^2+k^2=(b-1)^2+m^2$
и приходим к разложению некоторого числа в виде суммы квадратов двух чисел.
Далее, по-видимому, каким-то образом следует повозиться с гауссовыми множителями, но как именно, не знаю.

[VAL]

Батороев в сообщении #369607 писал(а):

Батороев в сообщении #369448 писал(а):

Не знаю, поможет ли чем-нибудь эквивалентная запись:
$ a^2-b^2=k^2$
$ a^2-(b-1)^2=m^2$

Отсюда
$a^2=b^2+k^2=(b-1)^2+m^2$
и приходим к разложению некоторого числа в виде суммы квадратов двух чисел.
Далее, по-видимому, каким-то образом следует повозиться с гауссовыми множителями, но как именно, не знаю.

А Вы обратили внимание, что Ваши a и b не обязательно целые?

PS: А чем Вас мое решение не устраивает?
Обоснование и меня не устраивает (в некоторых местах). Но решение-то правильное :)

[Батороев]

VAL в сообщении #369634 писал(а):

А Вы обратили внимание, что Ваши a и b не обязательно целые?

PS: А чем Вас мое решение не устраивает?
Обоснование и меня не устраивает (в некоторых местах). Но решение-то правильное :)

То, что a и b не всегда целые, я знаю, но тем не менее хотелось посмотреть, что получится при целых. Некоторое время казалось, что двойное разложение числа на сумму квадратов с участием квадратов соседних чисел довольно интересно. Сейчас интерес потихоньку ушел - завтра выходной, поэтому расслабляюсь.

Ваше решение всем устраивает, за исключением того, что оно - не мое (шутка).