Осталось доказать самую "малость": что других решений нет.
Оказалось, что таки есть.
Ниже приведен "очередной окончательный вариант" :)
Опишем все пары натуральных чисел

, таких, что

и

являются квадратами.
Рассмотрим уравнения

и

, где

- натуральное, свободное от квадратов, а

- неизвестные.
Известно, что второе уравнение имеет бесконечно много решений при любом

. Причем все они легко строятся, его известно первое нетривиальное (отличное от пары (1, 0)) решение. Аналогично обстоит дело и с первым уравнением, с той разницей, что оно не всегда разрешимо. Например, когда в разложении

есть простые множители, сравнимые с тройкой по модулю 4, уравнение (1) не разрешимо.
Приступим к описанию искомых пар.
Ровно одно из чисел пары является полным квадратом. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что это

.
Возьмем произвольное натуральное число

и положим

. Возможны два случая.
1. Число

не является первой компонентой решения (1).
Тогда все решения с

строятся так:


.
Соответствующая пара -

.
2. Число

является первой компонентой пары

, являющейся решением (1) при подходящем

.
Тогда все решения с

исчерпываются парами:

, где

- вторая компонента любого решения (2) с тем же значением

.
Отмечу, что способ построения решений, описанный в первом случае, пригоден и для второго. Но это не приведет к получению новых пар.
PS: Внес очередное уточнение. Относительно разрешимости уравнения (1). Спасибо
RIP'у