Найти общую формулу (система двух уравнений)

[Xenia1996]

Найдите общую формулу для $x$ и $y$ из системы:

$xy + x = k^2$
$xy + y = m^2$

[Виктор Викторов]

Вычтите второе из первого. Используйте полученное уравнение для подстановки и, получив квадратное уравнение, проанализируйте при каких условиях что случится.

[Xenia1996]

Виктор Викторов в сообщении #368787 писал(а):

Вычтите второе из первого. Используйте полученное уравнение для подстановки и, получив квадратное уравнение, проанализируйте при каких условиях что случится.

Простите, я имела в виду целочисленные решения, просто забыла это упомянуть

Вопрос возник из опубликованной мной олимпиадной задачи "икс и игрек" (вот ссылка: topic37895.html )

[MrDindows]

DEL

[Xenia1996]

MrDindows в сообщении #368795 писал(а):

DEL

Уж не имели ли Вы в виду оператор набла?

[MrDindows]

Я имел ввиду, что я стёр свой пост=)
зы. натуральные решения однако надо?)

[Xenia1996]

MrDindows в сообщении #368802 писал(а):

натуральные решения однако надо?)

Типа да

[Виктор Викторов]

Xenia1996 в сообщении #368791 писал(а):

Простите, я имела в виду целочисленные решения, просто забыла это упомянуть

Моя рекомендация остается той же самой.

Виктор Викторов в сообщении #368787 писал(а):

Вычтите второе из первого. Используйте полученное уравнение для подстановки и, получив квадратное уравнение, проанализируйте при каких условиях что случится.

Там получается очень интересный дискриминант.

[Xenia1996]

Виктор Викторов в сообщении #368829 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #368791 писал(а):

Простите, я имела в виду целочисленные решения, просто забыла это упомянуть

Моя рекомендация остается той же самой.

Виктор Викторов в сообщении #368787 писал(а):

Вычтите второе из первого. Используйте полученное уравнение для подстановки и, получив квадратное уравнение, проанализируйте при каких условиях что случится.

Там получается очень интересный дискриминант.

Вы хотите сказать, что эта формула известна?
Просто на "исайенс" мне написали, что это - открытая проблема (вот ссылка: http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=24907 ).
Во всяком случае, я так поняла.

[MrDindows]

Из промежутка 1..10000, общую формулу хз даже...)
1;8
1;288
1;9800
4;80
8;49
8;1681
9;360
16;1088
25;2600
36;5328
49;288
49;9800
80;1444
288;1681
1681;9800

Добавлено: опоздал, вам это уже на исайнс написали)

[Виктор Викторов]

Xenia1996 в сообщении #368778 писал(а):

Найдите общую формулу для x и y из системы:

\left {xy + x = k^2
\\xy + y = m^2 \right

$x-y = k^2 - m^2$
Подставляем $x =y+k^2 - m^2$ в первое уравнение $xy + x = k^2$: $(y+k^2 - m^2)y + y+k^2 - m^2 = k^2$
Получаем $y^2 + (k^2 - m^2+1)y - m^2 = 0$ Это квадратное уравнение, а Вы напишите его дискриминант.

[Xenia1996]

Виктор Викторов в сообщении #368844 писал(а):

а Вы напишите его дискриминант.

$4096 k^4 (k^4+2 k^2+1)$?

[MrDindows]

вообщем заметил такую закономерность для решений где х=1 :
$\sqrt{y+1}=k$:3, 17, 99, 577, 3363, 19601, 114214 и тд.
тоесть $k_{i+1}=k_i*5.828$ приблизительно...

[Виктор Викторов]

Xenia1996 в сообщении #368846 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #368844 писал(а):

а Вы напишите его дискриминант.

$4096 k^4 (k^4+2 k^2+1)$?

Так дело не пойдет. $ay^2 + by + c= 0$ $D=b^2 - 4ac$ В Вашем уравнении $a= 1$, $b = k^2 - m^2+1$, $c = - m^2$. Где мой (уравнения) дискриминант?

[Xenia1996]

Виктор Викторов в сообщении #368849 писал(а):

Где мой (уравнения) дискриминант?

$k^4-2 k^2 m^2+2 k^2+m^4+2 m^2+1$?