Экстремумы функций от двух переменных.

[Алексей К.]

vvvv в сообщении #368868 писал(а):

Вообще говоря, ваше задание сформулировано не точно, а именно:

Задача простая, и точно сформулирована. Вы просто её не понимаете.

vvvv в сообщении #368868 писал(а):

Сейчас у меня Маткада нет - вечером, если не разберетесь - вышлю в личку. На форум нельзя.

Да, мне тоже вспоминается --- правила где-то запрещали писать ахинею под видом решения.
Ахинею --- только в личку!

kvadratnt в сообщении #368808 писал(а):

Решил такую систему:
........
Потом ещё вот такую решил:
$ \left\{ \begin{array}{l} x = 0,\\ y = 4-x^{2}, \end{array} \right. $

Зачем Вы потом ещё решали вторую систему? Откуда она взялась?

Ваши подозрительные точки нарисованы ниже:

$$\begin{picture}(80,80)(-40,-20) \thinlines\color{blue} \multiput(-40,0)(0,9){5}{\line(1,0){80}} \multiput(-18,-20)(9,0){5}{\line(0,1){80}} \thicklines\color{black} \put(-40,0){\vector(1,0){80}} \put(0,-20){\vector(0,1){80}} \put(38,2){$x$}\put(2,60){$y$} \put(17,-10){2}\put(-22,-10){-2} \color{green} \qbezier(-18,0)(-9,36)(0,36)\qbezier(18,0)(9,36)(0,36)\qbezier(-18,0)(0,0)(18,0) \color{magenta} \put(0,0){\circle*{4}} \put(-12,20){\circle*{3}} \put(9,27){\circle*{3}} \put(-18,0){\circle*{3}} \put(18,0){\circle*{3}} \end{picture}$$

Три из них, в нижнем ряду, Вы как-то нашли.
Две другие, на параболе, пытались найти, но не смогли, запутались. Надо распутаться и найти.
Теперь надо вычислить значения функции $Z(x,y)$ в этих точках и найти среди них максимум и минимум. И всё. И всё. И всё.

Без всяких там сёдел, гиперболических параболоидов и Маткадов. Впрочем, пусть Маткад Вам поможет взять производные, решить квадратные уравнения, вычислить значения функции. Заодно и меня проверим, а то я ручечкой на бумажечке... не по-современному.

-- 01 ноя 2010, 21:30 --

kvadratnt в сообщении #368349 писал(а):

$Z_x^' = 8-6x^2-2x=0$;

Чтобы избежать таких штук, пишите просто Z'; не надо писать Z^'; если очень хочется, то Z^{ ' }.

[vvvv]

Где Вы такой "разумный" взялись - после того как все разжеванно.

[kvadratnt]

Цитата:

Зачем Вы потом ещё решали вторую систему? Откуда она взялась?

Я подумал раз y мы приравняли к нулю почему бы и не приравнять x к нолю.

Цитата:

Ваши подозрительные точки нарисованы ниже:

Три из них, в нижнем ряду, Вы как-то нашли.
Две другие, на параболе, пытались найти, но не смогли, запутались. Надо распутаться и найти.
Теперь надо вычислить значения функции в этих точках и найти среди них максимум и минимум. И всё. И всё. И всё.

С двухмерным графиком всё стало ясно, нужные точки нашлись, но у меня когнитивный диссонанс, почему у одного график трёхмерный у другого двухмерный?

[vvvv]

kvadratnt в сообщении #369068 писал(а):

Цитата:

Зачем Вы потом ещё решали вторую систему? Откуда она взялась?

Я подумал раз y мы приравняли к нулю почему бы и не приравнять x к нолю.

Цитата:

Ваши подозрительные точки нарисованы ниже:

Три из них, в нижнем ряду, Вы как-то нашли.
Две другие, на параболе, пытались найти, но не смогли, запутались. Надо распутаться и найти.
Теперь надо вычислить значения функции в этих точках и найти среди них максимум и минимум. И всё. И всё. И всё.

С двухмерным графиком всё стало ясно, нужные точки нашлись, но у меня когнитивный диссонанс, почему у одного график трёхмерный у другого двухмерный?

Двумерный -это толко область, в которой нужно найти экстремум - трехмерный - это графики заданных функций , естественно, там видна и
область.

[Алексей К.]

kvadratnt в сообщении #369068 писал(а):

Я подумал раз y мы приравняли к нулю почему бы и не приравнять x к нолю.

У нас были серьёзные основания приравнять $y$ к нулю (или к нолю). Эти основания явно прописаны в Вашем условии задачи. На рисунке своём я эти основания тоже зелёным изобразил.
Могло быть, скажем, $1\le y \le 4-x^2$. И тогда бы мы приравнивали $y$ к единице (или к одному).
А вот повода искать что-то с $x=0$ (т.е. искать точку на параболе, где $x=0$) нам никто не давал. Разве что из любопытства, чтоб картинку поаккуратнее нарисовать.

kvadratnt в сообщении #369068 писал(а):

С двухмерным графиком всё стало ясно, нужные точки нашлись, но у меня когнитивный диссонанс, почему у одного график трёхмерный у другого двухмерный?

Теперь надо (точнее, можно) двумерный график положить на деревянный стол, и навтыкать в него иголочек. С переменной высотой. Высоту для каждой иголки вычислять по формуле $Z(x,y)$. В частности, на параболе вычислять по формуле $h_1(x)=Z(x,4-x^2)$ (якобы Вы с этим разобрались), на отрезке прямой --- по формуле $h_2(x)=Z(x,0)$. Ну а внутри --- чисто по $Z(x,y)$. Соответствующие картинки Вам и впаривал vvvv.

(Про диссонанс)

Не знаю, как избавиться от диссонанса. Может, читать кого-то одного. Мне кажется, что я дую в одну дудку с ewertом. Увидел, что Вы не совсем поняли его объяснения --- попытался детализировать. А vvvv --- маньяк рисования картинок по любому поводу. Вот Вы неправильно решили квадратное уравнение --- ему до лампочки. Картинка, мол, всё разжуёт. Вот Вы придумали (от фонаря) совсем ненужную систему --- ему до лампочки, что человек наобум действует, не понимая. Признаться, мои текущие условия не сильно позволяют участвовать в обсуждениях; просто меня возмутило очередное вмешательство этого художника, и я как-то напрягся и встрял.

Вы и правда нашли те две точки на параболе?

[Toucan]

vvvv, замечание за избыточное цитирование.

[kvadratnt]

Цитата:

Вы и правда нашли те две точки на параболе?

Да, решив систему:
$ \left\{ \begin{array}{l} 10+2xy-x^{2},\\ y=4-x^{2}, \end{array} \right. $
И приравняв производную по x к 0
$Z'_{x}=8-6x^{2}-2x=0$
решив получившееся квадратное уравнение и подставив получившиеся иксы в функцию нашёл игреки.
Только меня смутила точка с дробями и я зачеркнул это решение как неверное.
Но с точками на двухмерном графике всё стало ясно.

[Алексей К.]

Нет, любезный, не так Вы их нашли.

kvadratnt в сообщении #369373 писал(а):

Да, решив систему:
$ \left\{ \begin{array}{l} 10+2xy-x^{2},\\ y=4-x^{2}, \end{array} \right. $

Никакую систему Вы для этого не решали. Тем более, что процитированное никак не есть система уравнений. Первое выражение есть незнамо что, но никак не уравнение: там нет даже знака уравнивания одной величины и другой.

Нет, Вы просто подставили $y=4-x^2$ в выражение $Z(x,y)$, и получили высоту иголок на параболе как функцию $x$, т.е. функцию от абсциссы точки на параболе (мне лень искать ссылку с первой страницы, но точно помню --- Вы это проделывали). Потом --- да, Вы поискали экстремумы, для чего взяли производную; нашли корни, $x_{1,2}$ (правильные, не те, что в первом сообщении о них). Потом --- помните, Вы как раз чай пили и думали об этом! --- Вы убедились, что оба корня лежат в диапазоне $-2<x_{1,2}<+2$, т.е. оба Вам нужны! Вы ещё тогда откусили печенюшку и задумались --- а не выбросить ли одного из них? Нет, не выбросить, оба нужны!

Вот как Вы решали эту часть задачи: без всяких там систем.

[Yu_K]

Маленький камешек в огород из картинок, которые я показываю на лекциях.

Линии уровня и сама фунция z в области допустимых значений. Остается понять, что вдоль любой кривой x(t), y(t), функция двух переменных z(x,y) может быть рассмотрена, как функция одной переменной t.