Равенство множеств

[arseniiv]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #368433 писал(а):

Ну, формализация интуитивных понятий - дело вообще тёмное. Но у меня соображения такие. Пусть имеется какая-нибудь теория с каким угодно набором аксиом, только непротиворечивая и потому имеющая модель. "Раздвоим" все объекты модели, считая, например, объектами теории не элементы модели, а упорядоченные пары $(x,\alpha)$ и $(x,\beta)$, причём, $(((x,\alpha)=(y,\beta))\Leftrightarrow(x=y))$, где $x,y$ - элементы теории, а $\alpha$ и $\beta$ - некие метки, доступные нам (в метатеории), но недоступные в (предметной) теории просто в силу определения равенства.

Вот я почти то же сказал, а Виктору Викторову не понравилось.

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #368150 писал(а):

$D$ и $F$, конечно, разные имена, но они имеют разные определения: $D=\{x:\Phi(x)\}$ и $F=\{x:\Psi(x)\}$. Вопрос об эквивалентности различных определений может быть весьма сложным. Фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$", кстати, не является высказыванием в языке теории множеств, поэтому ни откуда не следует, что, заменяя в ней одно имя на другое, мы должны получить что-то осмысленное. Аксиомы равенства работают внутри теории, но не обязаны работать вне её.

Someone в сообщении #368433 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #368351 писал(а):

С интересом жду Вашей реакции на пятую страницу книги Френкеля.

Мне кажется, что я на неё уже отреагировал. Давая определения множествам $D$ и $F$, мы, вообще говоря, можем не знать, что эти определения эквивалентны, и что на самом деле $D=F$. Пока эквивалентность определений не доказана, мы не можем делать каких-либо обоснованных выводов из этого равенства, и если это равенство нам для чего-то понадобилось, то должны явно указывать это предположение (например:
Теорема ($[V=L]$). Для каждого бесконечного кардинала $\tau$ выполняется $2^{\tau}=\tau^+$).
А когда равенство $D=F$ будет доказано, мы будем знать, что определения эквивалентны, а $D$ и $F$ - два имени одного и того же множества.

Я хотел быть уверенным, что после прочтения всей страницы Ваша точка зрения не изменилась.

Someone в сообщении #368433 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #368351 писал(а):

Someone в сообщении #368280 писал(а):

... нельзя полностью формализовать интуитивное понятие "конечное множество".

В той же книге Френкеля на странице 29: "a set $F$ finite if the existence of mapping of $F$ onto a subset $F'$ of $F$ implies $F'=F$."

Это просто определение конечного множества (если не ошибаюсь, принадлежащее Дедекинду; кроме того, здесь, вероятно, имелось в виду взаимно однозначное отображение или ещё какое-то условие, иначе непонятно, что делать с постоянным отображением $F\to F'=\{x_0\}$, $x_0\in F$).
Существует другое определение, которому в настоящее время отдают предпочтение: множество конечно, если оно равномощно отрезку натурального ряда (пустой отрезок тоже допустим; имеется в виду стандартная модель натурального ряда, определяемая в теории множеств).
Оба определения равносильны, если справедлива аксиома выбора (хотя бы счётная), но без аксиомы выбора возможны конечные в смысле Дедекинда множества, которые не равномощны никакому отрезку натурального ряда. Это выглядит очень занятно: в множестве можно найти сколько угодно попарно различных элементов, но составить из них бесконечную последовательность нельзя.

Вот об этом в "Set Theory and Logic" подробно.

(Оффтоп)

Книга будет через несколько недель.

Огромное Вам спасибо, Someone! Меня сдвинула с мертвой точки Ваша фраза "Имея в виду утверждение 2) и эту аксиому, и говорят "множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы", причём, "одни и те же" означает всего лишь "соответственно равные"."

(Оффтоп)

arseniiv! До фразы ""Имея в виду утверждение 2) и эту аксиому, и говорят "множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы", причём, "одни и те же" означает всего лишь "соответственно равные"." разговаривать в таком духе со мной было бессмысленно. Правда, от Вашей фразы: "Равенство — это такая эквивалентность, точнее которой нам сейчас ничего не нужно" меня ещё долго будет дергать током.

[Alexey Romanov]

Someone в сообщении #368433 писал(а):

кроме того, здесь, вероятно, имелось в виду взаимно однозначное отображение или ещё какое-то условие

"mapping onto" переводится как "сюръекция".

[Someone]

Alexey Romanov в сообщении #369147 писал(а):

"mapping onto" переводится как "сюръекция".

Да, конечно. Только по смыслу определения требуется инъекция. А "mapping onto a subset" - это вообще никакое не условие, поскольку любое отображение есть сюръекция на (некоторое) подмножество. Если, конечно, термин "mapping" у Френкеля означает именно (произвольное) отображение, а не что-нибудь другое (например, в работах по топологии часто термин "mapping" означает "continuous map").

[Alexey Romanov]

Да, действительно

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #369189 писал(а):

Alexey Romanov в сообщении #369147 писал(а):

"mapping onto" переводится как "сюръекция".

Да, конечно. Только по смыслу определения требуется инъекция. А "mapping onto a subset" - это вообще никакое не условие, поскольку любое отображение есть сюръекция на (некоторое) подмножество. Если, конечно, термин "mapping" у Френкеля означает именно (произвольное) отображение, а не что-нибудь другое (например, в работах по топологии часто термин "mapping" означает "continuous map").

"A one-to-one correspondence of the members of $T$ to those of $S$ is also called a mapping of $T$ onto $S$, or beetwen $S$ and $T$." Стр. 8

[Someone]

Тогда понятно.

[Виктор Викторов]

"Определение IIа. $x$ называется равным $y$ ($x = y$) тогда и только тогда, когда для всех $z$ $x\in z$ влечет $y\in z$, и обратно, $y\in z$ влечет $x\in z$, т. е. если каждое множество, содержащее одно из множеств $x$ и $y$, содержит также и другое. Если $x$ не равно $y$, оно называется отличным от $y$ ($x\neq y$) (или множества $x$ и $y$ называются различными)."
Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 47.

А если заменить это определение на такое:

Определение IIа'. $x$ называется отличным от $y$ ($x\neq y$) тогда и только тогда, когда существует $z$ для которого $x\in z$ влечет $y\notin z$, или $y\in z$ влечет $x\notin z$, то есть существует множество, которое содержит одно из множеств $x$ или $y$, но не содержит другое. И если $x$ не отличен от $y$, то $x$ называется равным $y$ ($x = y$) (или множества $x$ и $y$ называются равными).

Выводимо ли первое из второго и обратно? Мне кажется, что выводимо.

[Alexey Romanov]

Рассмотрим в IIa' $x = y = z = \varnothing$. Тогда имеем $x \notin z$, так что $x \in z$ влечёт $y \notin z$. Если в IIa' "$z$ для которого $x \in z$ и $y \notin z$, или $x \notin z$ и $y \in z$", тогда равносильно исходному.

[Виктор Викторов]

Alexey Romanov в сообщении #369274 писал(а):

Рассмотрим в IIa' $x = y = z = \varnothing$. Тогда имеем $x \notin z$, так что $x \in z$ влечёт $y \notin z$. Если в IIa' "$z$ для которого $x \in z$ и $y \notin z$, или $x \notin z$ и $y \in z$", тогда равносильно исходному.

Вы правы, но не кажется ли Вам, что это опасно и для IIa. Рассмотрим в IIa $x = y = z = \varnothing$. Тогда имеем $x \notin z$, но $x \in z$ влечёт $y \in z$. Если в IIa "$z$ для которого $x \in z$ и $y \in z$. но т. к. не существует $y \in z$, то $z$ пусто и непусто одновременно? И если с IIa этот номер не проходит, то нет ли у Вас соображений как исправить ситуацию с IIa'?

[Alexey Romanov]

Так в IIa "для всех $z$", а не "существует".

[Виктор Викторов]

Alexey Romanov!
Нет ли у Вас соображений как исправить ситуацию с IIa'? Должно же существовать противоположное утверждение.

[Alexey Romanov]

Alexey Romanov в сообщении #369274 писал(а):

$z$ для которого $x \in z$ и $y \notin z$, или $x \notin z$ и $y \in z$

[Виктор Викторов]

Alexey Romanov в сообщении #369300 писал(а):

Alexey Romanov в сообщении #369274 писал(а):

$z$ для которого $x \in z$ и $y \notin z$, или $x \notin z$ и $y \in z$

Определение IIа'. $x$ называется отличным от $y$ ($x\neq y$) тогда и только тогда, когда существует $z$ для которого $x\in z$ и $y\notin z$, или $y\in z$ и $x\notin z$, то есть существует множество, которое содержит одно из множеств $x$ или $y$, но не содержит другое. И если $x$ не отличен от $y$, то $x$ называется равным $y$ ($x = y$) (или множества $x$ и $y$ называются равными).

Теперь без вранья?

[Alexey Romanov]

Да.