2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 01:03 


22/10/09
404
Виктор Викторов!
Неужели мне надо определять понятие внутри!Под ним я вовсе не понимал ни чего экстравагантного.Чем Вам не нравится такой элемент множества Земля как Меркурий?В данном случае под отношением "содержать в качестве элемента" понимается - находиться внутри указанной выше сферы.Согласен,что такое понимание выражения "быть элементом" весьма необычно.Ну а почему бы и нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 01:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Lyosha в сообщении #368154 писал(а):
Неужели мне надо определять понятие внутри!Под ним я вовсе не понимал ни чего экстравагантного.Чем Вам не нравится такой элемент множества Земля как Меркурий?В данном случае под отношением "содержать в качестве элемента" понимается - находиться внутри указанной выше сферы.Согласен,что такое понимание выражения "быть элементом" весьма необычно.Ну а почему бы и нет?

Вот множество $LV$. Мне нужен критерий, как определить объект $d$ принадлежит этому множеству или нет? И от этого никуда не уйти. Нет критерия — нет множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 01:58 


22/10/09
404
Объект $d$принадлежит множеству $LV$ если его расстояние до центра Солнца не превосходит радиуса орбиты Венеры.Для простоты будем считать,что орбиты планет - окружности,а их центры - в центре Солнца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 02:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Lyosha в сообщении #368163 писал(а):
Объект $d$принадлежит множеству $LV$ если его расстояние до центра Солнца не превосходит радиуса орбиты Венеры.Для простоты будем считать,что орбиты планет - окружности,а их центры - в центре Солнца.

Хорошо, что делаем дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 02:27 


22/10/09
404
Берём планету Земля,берём Меркурий,вводим отношение "находиться не дальше радиуса орбиты Венеры $R_v$ от ценра орбиты Земли",переименовываем его "быть элементом" множества Земля и Меркурий оказывается элементом множества Земля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 02:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Lyosha в сообщении #368165 писал(а):
Берём планету Земля,берём Меркурий,вводим отношение "находиться не дальше радиуса орбиты Венеры $R_v$ от ценра орбиты Земли",переименовываем его "быть элементом" множества Земля и Меркурий оказывается элементом множества Земля.

Что такое Ваше "переименовываем" в аксиомах ZFC? Какое отношение "находиться не дальше радиуса орбиты Венеры" имеет к "Объект $d$принадлежит множеству $LV$ если его расстояние до центра Солнца не превосходит радиуса орбиты Венеры"? Учтите, что я возьму элементы первого множества и проверю являются ли они элементами второго, а потом возьму элементы второго множества и проверю являются ли они элементами первого. А если Вы не дадите мне этой возможности, то сделка не состоится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 03:36 


22/10/09
404
Виктор Викторов в сообщении #368166 писал(а):
Что такое Ваше "переименовываем" в аксиомах ZFC?
Это значит,что ZFC не занимается ни какими конкретными множествами,элементами,отношениями.Она не изучает ни какие конкретные свойства натуральных чисел:коммутативность,ассоциативность,простоту чисел и т.д. и т.п. Я всего лишь построил модель в которой Земля и Марс оказались множествами(не в понимании "наивной" ТМ),а их элементами - всё,что находится не дальше $R_v$от центра Солнца(орбит Земли,Марса).Эти два множества неразличимы с точки зрения ТМ,но как объекты изучения астрономии они различны. Кажется,что-то вроде этого отписал Вам Someone.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 03:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Lyosha в сообщении #368168 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #368166 писал(а):
Что такое Ваше "переименовываем" в аксиомах ZFC?
Это значит,что ZFC не занимается ни какими конкретными множествами,элементами,отношениями.Она не изучает ни какие конкретные свойства натуральных чисел:коммутативность,ассоциативность,простоту чисел и т.д. и т.п. Я всего лишь построил модель в которой Земля и Марс оказались множествами(не в понимании "наивной" ТМ),а их элементами - всё,что находится не дальше $R_v$от центра Солнца(орбит Земли,Марса).Эти два множества неразличимы с точки зрения ТМ,но как объекты изучения астрономии они различны. Кажется,что-то вроде этого отписал Вам Someone.

То, что написал Someone, я прекрасно понимаю. От Вас же мне нужно только одно: возможность проверить являются ли элементы первого множества элементами второго, и элементы второго множества элементами первого. А моё ощущение, что Ваши элементы Ваших множеств не вполне определены. Например, берем какой-нибудь астероид, расположенный так, что Земля находится между этим астероидом и Солнцем. Астероид входит в "земное" множество, а вот в "солнечное" вроде бы нет? И вообще можно ли было бы переехать поближе? Мы же пытаемся что-то понять, а не задурить друг другу голову.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 07:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
"Аксиома ($D_1$) называется аксиомой объемности. Она утверждает, что два множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы." Е.Расёва, Р.Сикорский. Математика метаматематики. "Наука", Москва, 1972. Глава V, §13, стр. 230.

Someone в сообщении #368150 писал(а):
Смысл отношения равенства состоит в том, что равные объекты полностью взаимозаменяемы в данной теории.

Так "взаимозаменяемы в данной теории" или "когда у них одни и те же элементы"? Это одно и то же множество или нет? Провокационный пример: рассмотрим все континуальные подмножества вещественных чисел с топологией, индуцированной числовой прямой. Среди них есть гомеоморфные (множество вещественных чисел и открытый интервал $(3, 18)$) и не гомеоморфные ($(3, 18)$ и множество, состоящее из двух интервалов $(3, 18)$ и $(1, 2)$). Могу ли я называть в рамках этого примера множество вещественных чисел и открытый интервал $(3, 18)$ равными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 13:23 


22/10/09
404
Виктор Викторов в сообщении #368169 писал(а):
А моё ощущение, что Ваши элементы Ваших множеств не вполне определены. Например, берем какой-нибудь астероид, расположенный так, что Земля находится между этим астероидом и Солнцем. Астероид входит в "земное" множество, а вот в "солнечное" вроде бы нет?
Астероид в "земное" множество как раз и не входит,ибо его расстояние от центра Солнца и,что то же самое согласно моим упрощениям,центра орбиты Земли больше $R_v$.Разве раньше я не дал достаточно ясного определения рассматриваемым множествам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 13:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
Не следует путать само множество и способ его задания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 13:55 


22/10/09
404
Виктор Викторов в сообщении #368175 писал(а):
Могу ли я называть в рамках этого примера множество вещественных чисел и открытый интервал $(3, 18)$ равными?
Нет,согласно Вами же приведённой аксиоме объёмности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Виктор Викторов в сообщении #368175 писал(а):
"Аксиома ($D_1$) называется аксиомой объемности. Она утверждает, что два множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы." Е.Расёва, Р.Сикорский. Математика метаматематики. "Наука", Москва, 1972. Глава V, §13, стр. 230.

Я просил посмотреть аксиомы равенства. Ладно, приведу их здесь - и для других интересующихся вопросом.

$(e'_1)$ Рефлексивность:
$$(x=x)\text{.}$$
$(e'_2)$ Симметричность:
$$((x=y)\Rightarrow(y=x))\text{.}$$
$(e'_3)$ Транзитивность:
$$((x=y)\Rightarrow((y=z)\Rightarrow(x=z)))\text{.}$$
$(e'_4)$ Если $\varphi$ - $m$-местный функтор ($m=1,2,\ldots$), то
$$((x_1=y_1)\Rightarrow((x_2=y_2)\Rightarrow(\ldots(x_m=y_m)\Rightarrow(\varphi(x_1,x_2,\ldots,x_m)=\varphi(y_1,y_2,\ldots,y_m))\ldots)))\text{.}$$
($e'_5$) Если $\rho$ - $m$-местный предикат ($m=1,2,\ldots$), то
$$((x_1=y_1)\Rightarrow((x_2=y_2)\Rightarrow(\ldots(x_m=y_m)\Rightarrow(\rho(x_1,x_2,\ldots,x_m)=\rho(y_1,y_2,\ldots,y_m))\ldots)))\text{.}$$
Аксиомы (точнее, схемы аксиом) $(e'_4)$ и $(e'_5)$ формализуют то, что я называл словом "взаимозаменяемы".

В случае теории множеств, помимо равенства, имеется только один "первичный" предикат ("является элементом"), и нет никаких "первичных" функторов, поэтому схемы $(e'_4)$ и $(e'_5)$ сводятся к одной аксиоме
$$((x_1=y_1)\Rightarrow((x_2=y_2)\Rightarrow((x_1\in x_2)\Rightarrow(y_1\in y_2))))\text{.}$$
Из неё, например, следует, что
1) если $x=y$ и $x\in z$, то $y\in z$ и
2) если $x=y$ и $z\in x$, то $z\in y$.

Аксиома объёмности формулируется так:
$$(\bigcap_{\xi}((\xi\in x)\Leftrightarrow(\xi\in y))\Rightarrow(x=y))$$
(в этой книге "$\bigcap\limits_{\xi}$" используется вместо "$\forall\xi$").
Имея в виду утверждение 2) и эту аксиому, и говорят "множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы", причём, "одни и те же" означает всего лишь "соответственно равные".
Вообще, мне кажется, что интуитивное понятие "один и тот же объект" нельзя полностью формализовать, как нельзя полностью формализовать интуитивное понятие "конечное множество".

Виктор Викторов в сообщении #368175 писал(а):
Так "взаимозаменяемы в данной теории" или "когда у них одни и те же элементы"? Это одно и то же множество или нет? Провокационный пример: рассмотрим все континуальные подмножества вещественных чисел с топологией, индуцированной числовой прямой. Среди них есть гомеоморфные (множество вещественных чисел и открытый интервал $(3, 18)$) и не гомеоморфные ($(3, 18)$ и множество, состоящее из двух интервалов $(3, 18)$ и $(1, 2)$). Могу ли я называть в рамках этого примера множество вещественных чисел и открытый интервал $(3, 18)$ равными?

Нет, не можете. Если Вы рассмотрите высказывание $0\in x$ и замените в нём свободную переменную $x$ в одном случае константой $\mathbb R$ (именем множества действительных чисел), а в другом случае - именем интервала $(3, 18)$, то в первом случае Вы получите истинное высказывание, а во втором - ложное, что противоречит приведённому выше утверждению 2), вытекающему из аксиом равенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Someone в сообщении #368280 писал(а):
Из неё, например, следует, что
1) если $x=y$ и $x\in z$, то $y\in z$ и
2) если $x=y$ и $z\in x$, то $z\in y$.

Аксиома объёмности формулируется так:
$$(\bigcap_{\xi}((\xi\in x)\Leftrightarrow(\xi\in y))\Rightarrow(x=y))$$
(в этой книге "$\bigcap\limits_{\xi}$" используется вместо "$\forall\xi$").
Имея в виду утверждение 2) и эту аксиому, и говорят "множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы", причём, "одни и те же" означает всего лишь "соответственно равные".
Вообще, мне кажется, что интуитивное понятие "один и тот же объект" нельзя полностью формализовать

Я, кажется, начинаю что-то понимать. Не нужно понимать слова "одни и те же" буквально, а только как следствие из аксиом. В этом смысле Ваше "взаимозаменяемы" аккуратнее. Разверните, пожалуйста, слова "...мне кажется, что интуитивное понятие "один и тот же объект" нельзя полностью формализовать". С интересом жду Вашей реакции на пятую страницу книги Френкеля.

Someone в сообщении #368280 писал(а):
... нельзя полностью формализовать интуитивное понятие "конечное множество".

В той же книге Френкеля на странице 29: "a set $F$ finite if the existence of mapping of $F$ onto a subset $F'$ of $F$ implies $F'=F$."

(Оффтоп)

Lyosha в сообщении #368268 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #368169 писал(а):
А моё ощущение, что Ваши элементы Ваших множеств не вполне определены. Например, берем какой-нибудь астероид, расположенный так, что Земля находится между этим астероидом и Солнцем. Астероид входит в "земное" множество, а вот в "солнечное" вроде бы нет?
Астероид в "земное" множество как раз и не входит,ибо его расстояние от центра Солнца и,что то же самое согласно моим упрощениям,центра орбиты Земли больше $R_v$.Разве раньше я не дал достаточно ясного определения рассматриваемым множествам?

Lyosha! Я старый человек и мне бегать по галактике; кости болят.

Lyosha в сообщении #368279 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #368175 писал(а):
Могу ли я называть в рамках этого примера множество вещественных чисел и открытый интервал $(3, 18)$ равными?
Нет,согласно Вами же приведённой аксиоме объёмности.

Я и написал, что это провокация. Это, конечно, эквивалентность.

Droog_Andrey в сообщении #368270 писал(а):
Не следует путать само множество и способ его задания.

С этим лозунгом - на баррикады!

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Виктор Викторов в сообщении #368351 писал(а):
Разверните, пожалуйста, слова "...мне кажется, что интуитивное понятие "один и тот же объект" нельзя полностью формализовать".

Ну, формализация интуитивных понятий - дело вообще тёмное. Но у меня соображения такие. Пусть имеется какая-нибудь теория с каким угодно набором аксиом, только непротиворечивая и потому имеющая модель. "Раздвоим" все объекты модели, считая, например, объектами теории не элементы модели, а упорядоченные пары $(x,\alpha)$ и $(x,\beta)$, причём, $(((x,\alpha)=(y,\beta))\Leftrightarrow(x=y))$, где $x,y$ - элементы теории, а $\alpha$ и $\beta$ - некие метки, доступные нам (в метатеории), но недоступные в (предметной) теории просто в силу определения равенства.

Виктор Викторов в сообщении #368351 писал(а):
С интересом жду Вашей реакции на пятую страницу книги Френкеля.

Мне кажется, что я на неё уже отреагировал. Давая определения множествам $D$ и $F$, мы, вообще говоря, можем не знать, что эти определения эквивалентны, и что на самом деле $D=F$. Пока эквивалентность определений не доказана, мы не можем делать каких-либо обоснованных выводов из этого равенства, и если это равенство нам для чего-то понадобилось, то должны явно указывать это предположение (например:
Теорема ($[V=L]$). Для каждого бесконечного кардинала $\tau$ выполняется $2^{\tau}=\tau^+$).
А когда равенство $D=F$ будет доказано, мы будем знать, что определения эквивалентны, а $D$ и $F$ - два имени одного и того же множества.

Виктор Викторов в сообщении #368351 писал(а):
Someone в сообщении #368280 писал(а):
... нельзя полностью формализовать интуитивное понятие "конечное множество".

В той же книге Френкеля на странице 29: "a set $F$ finite if the existence of mapping of $F$ onto a subset $F'$ of $F$ implies $F'=F$."

Это просто определение конечного множества (если не ошибаюсь, принадлежащее Дедекинду; кроме того, здесь, вероятно, имелось в виду взаимно однозначное отображение или ещё какое-то условие, иначе непонятно, что делать с постоянным отображением $F\to F'=\{x_0\}$, $x_0\in F$).
Существует другое определение, которому в настоящее время отдают предпочтение: множество конечно, если оно равномощно отрезку натурального ряда (пустой отрезок тоже допустим; имеется в виду стандартная модель натурального ряда, определяемая в теории множеств).
Оба определения равносильны, если справедлива аксиома выбора (хотя бы счётная), но без аксиомы выбора возможны конечные в смысле Дедекинда множества, которые не равномощны никакому отрезку натурального ряда. Это выглядит очень занятно: в множестве можно найти сколько угодно попарно различных элементов, но составить из них бесконечную последовательность нельзя.

Но я имел в виду другое. К сожалению, я не могу вспомнить, где я об этом читал, и подробностей тоже не помню. Смысл, если не ошибаюсь, состоял в том, что для любого набора аксиом, определяющих конечные множества в некоторой модели, можно построить другую модель, в которой выполняются те же аксиомы, но некоторые "конечные" множества оказываются бесконечными.
Например, арифметика Пеано равносильна теории, полученной из $ZFC$ заменой аксиомы бесконечности её отрицанием и добавлением схемы аксиом индукции. Все множества в этой теории конечны. Однако известно, что арифметика имеет нестандартные (даже несчётные) модели, в которых есть "бесконечные" натуральные числа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 156 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group