Равенство множеств

[Droog_Andrey]

Ещё раз:

Droog_Andrey в сообщении #368270 писал(а):

Не следует путать само множество и способ его задания.

Множества $D$ и $F$ заданы по-разному (и это отражено в обозначениях), т.е. даны разные алгоритмы их построения, но получается один и тот же результат.

Это как разные маршруты, приводящие в один и тот же конечный пункт. Можно утверждать, что маршруты эквивалентны в этом смысле, но нельзя утверждать, что они тождественны.

Этот артефакт определений связан с последовательностью машины Тьюринга.

[Mathusic]

Виктор Викторов в сообщении #381261 писал(а):

Во-первых, фраза принадлежит не мне, а Френкелю. ("Set Theory and Logic" стр. 5). Теперь по сути: множество $D$ равно множеству $F$, но Френкель хочет показать, что это не значит, что $F$ и $D$ одно и тоже множество. Об этом и вся тема.

Виктор Викторов, у вас есть формализация понятия "одно и то же множество"? Это же не то же самое ( ), что "равны"?
По-вашему, например, равны ли множества $\{1,2,3,4\}$ и $\{1,2, \textcolor{red} 3,4\}$?

[Виктор Викторов]

Mathusic в сообщении #382644 писал(а):

Виктор Викторов, у вас есть формализация понятия "одно и то же множество"? Это же не то же самое ( ), что "равны"?

У меня нет формализации понятия "одно и то же множество". Думаю, что может обсуждаться только вопрос равны множества или нет. Один из вариантов возможного определения равенства множеств представлен Френкелем так: "Этой позиции, по существу, придерживается Цермело. Он считает $x$ и $y$ равными, если "они обозначают одну и ту же вещь"...". Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 43. (Жирный шрифт мой).

Mathusic в сообщении #382644 писал(а):

По-вашему, например, равны ли множества $\{1,2,3,4\}$ и $\{1,2, \textcolor{red} 3,4\}$?

Думаю, что вопрос надо переадресовать Вам. Дело, в том, что множество определено своими элементами. Если и в первом и во втором множестве натуральные числа, то множества, несомненно, равны. Если же Вы подразумеваете под различными цветами нечто другое, то объявите это. В любом случае рекомендую Вам прочесть "§2. Первоначальное отношение. Равенство и экстенсиональность." (Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 41.)

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #368280 писал(а):

Имея в виду утверждение 2) и эту аксиому, и говорят "множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы", причём, "одни и те же" означает всего лишь "соответственно равные".
Вообще, мне кажется, что интуитивное понятие "один и тот же объект" нельзя полностью формализовать, как нельзя полностью формализовать интуитивное понятие "конечное множество".

Прочитав этот отрывок, я подумал, что кое-что понял. Но моё понимание начало иссякать, когда я вспомнил о теореме существования и единственности пустого множества.
«ТЕОРЕМА 1. Существует в точности одно пустое множество.» Α. Α. ФРЕНКЕЛЬ И. БАР-ХИЛЛЕЛ «ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ» страница 60.
И после доказательства существования на странице 60 сказано: «... его [пустого множества] единственность следует из аксиомы объемности.» Лезем в аксиому объемности в варианте 1a (страница 48). «Аксиома Ia. $x \subseteq y$ и $y\subseteq x$ вместе влекут $x=y{;}$ иначе говоря, множества, содержащие одни и те же члены, равны.» Таким образом, всё, что мы получаем из аксиомы объёмности, это равенство пустых множеств. Если же эта точка зрения неприемлема, то почему из равенства двух непустых множеств не следует, что существует одно множество, а не два равных?

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #420539 писал(а):

Таким образом, всё, что мы получаем из аксиомы объёмности, это равенство пустых множеств. Если же эта точка зрения неприемлема, то почему из равенства двух непустых множеств не следует, что существует одно множество, а не два равных?

Я не понял, какую Вы углядели разницу в понимании равенства для пустых и непустых множеств. "Равные объекты" - это "один и тот же объект". Равенство - это формализация понятия "одно и то же". В формальной теории, наверное, ничего другого и не придумать. Не забывайте ещё, что в формальной теории мы имеем дело не с самими объектами, а с их именами, просто мы обычно имеем в виду некоторую более или менее содержательную интерпретацию (модель), и проецируем всё на эту интерпретацию.

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #420999 писал(а):

"Равные объекты" - это "один и тот же объект". Равенство - это формализация понятия "одно и то же". В формальной теории, наверное, ничего другого и не придумать. Не забывайте ещё, что в формальной теории мы имеем дело не с самими объектами, а с их именами, просто мы обычно имеем в виду некоторую более или менее содержательную интерпретацию (модель), и проецируем всё на эту интерпретацию.

Если бы речь шла об именах, то все было бы легко и просто. Есть один объект и у него различные имена. Но Френкель отстаивает именно позицию двух множеств:

Виктор Викторов в сообщении #367776 писал(а):

Он рассмотрел в книге "Set Theory and Logic" множество $F=\left\{1, 2, 3, 4\right\}$ и множество $D$ всех степеней алгебраических уравнений разрешимых в радикалах. Очевидно, что $F=D$. Но также справедлива фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$". А заменив в этой фразе букву D на букву F, получаем абсурд (absurdity).

Это в "Set Theory and Logic" на странице 5. А теперь представим себе, что выше приведенный пример переделан так, что множества $F$ и $D$ пусты, тогда по смыслу их должно быть два. Это я и имел в виду.
Теперь к Вашей фразе: «В формальной теории, наверное, ничего другого и не придумать.» А почему вместо рассмотрения равных множеств не рассмотреть неравные? Например, так:

Виктор Викторов в сообщении #369307 писал(а):

Определение IIа'. $x$ называется отличным от $y$ ($x\neq y$) тогда и только тогда, когда существует $z$ для которого $x\in z$ и $y\notin z$, или $y\in z$ и $x\notin z$, то есть существует множество, которое содержит одно из множеств $x$ или $y$, но не содержит другое. И если $x$ не отличен от $y$, то $x$ называется равным $y$ ($x = y$) (или множества $x$ и $y$ называются равными).

В существовании двух неравных множеств сомневаться не приходится, а то, что называется «равными множествами» объявить «в точности» одним множеством.

Но у меня есть и более радикальная идея. Рассмотрим, что вводится в системе $Z$ до определения равенства и аксиомы объемности. «В нашей системе, которую мы отныне будем называть ${‘}Z{’}$, имеется, таким образом, лишь один конкретный <specific> неопределяемый предикат(ный символ) ${‘}\in{‘.}$ Все ее атомарные предложения имеют вид ${'}x \in y{‘.}$ Вместо ${'}\sim x \in y{‘}$ мы будем обычно писать ${‘}\notin{‘.}$

Определение I ... Если для всех $x$ $x\in y$ влечет $x\in z{,}$ мы будем говорить, что $y$ есть подмножество $z$ (или включено в $z{);}$ если к тому же есть по крайней мере одно такое $w{,}$ что $w\in z{,}$ но $w\notin y{,}$ то мы будем говорить, что $y$ есть собственное подмножество $z{.}$ (Отношение включения.) Соответствующие символы суть $y\subseteq z$ и $y\subset z{.}$

Из определения I немедленно следует

Теорема. Каждое множество есть подмножество самого себя ${(}x\subseteq x{);}$ $x\subseteq y$ и $y\subseteq z$ влечет $x\subseteq z{.}$ Иными словами, отношение $\subseteq $ рефлексивно и транзитивно. В то же время отношение $\subset $ иррефлексивно, асимметрично и транзитивно» Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 46.

Практически введен предикат принадлежности и рассмотрены его немедленные последствия. Причем множеств у нас ещё нет и даже, определив их равенство, и, введя аксиому объемности, мы все еще не увидим ни одного множества. А теперь вместо определения равенства и аксиомы объемности введем аксиому выделения. Докажем с её помощью теорему о существовании общих элементов и с помощью пересечения множеств рассмотрим в какие возможны соотношения множества.

«Аксиома (V) выделения <Axiom of subsets>. Для любого множества $a$ и любого одноместного предиката $P{,}$ имеющего смысл («определенного» <definite>) для всех членов $x$ множества $a{,}$ существует вполне определенное множество, содержащее в точности те члены $x$ множества $a{,}$ которые удовлетворяют предикату $P$ (для которых выполнено условие $P(x){).}$» "Основания теории множеств". Страница 55.

По-моему эта аксиома может быть введена первой и от четырех предыдущих не зависит (поправьте меня, если я вру).

А теперь теорема об общих элементах. «Теорема 3. Для любых двух множеств $a$ и $b$ существует вполне определенное множество членов, содержащихся как в $a{,}$ так и в $b{.}$... Доказательство. $a\cap b$ может быть определено как подмножество множества $a{,}$ соответствующее условию $x\in b$ в аксиоме V.» "Основания теории множеств". Страница 61.

Для доказательства в две строчки ничего кроме аксиомы выделения и предикатного символа принадлежности не понадобилось. И теперь можно определить неравные множества как множества $a$ и $b{,}$ по крайней мере в одном из которых найдется хотя бы один член, не входящий в их пересечение. Если же такого не найдется, то пересечение и есть множество $a$ и $b$ одновременно (один и тот же объект).

[man]

По моему, Определение IIа', радикальней второго. Во втором случае, речь идет о минимальности системы аксиом, а в первом о пересмотре определения равенства.
При таком определении, равенство множеств придется доказывать по индукции, не забывая, о ее неполноте.

[Виктор Викторов]

man в сообщении #421041 писал(а):

По моему, Определение IIа', радикальней второго. Во втором случае, речь идет о минимальности системы аксиом, а в первом о пересмотре определения равенства.

Ничего радикального в определении IIа' я не вижу. Просто начали с неравных множеств вместо равных. Придется показать откуда это все выползает:

Френкель писал(а):

«Относительно того, какое место в нашей системе занимает отношение равенства, можно занять одну из следующих трех позиций.
a) Отношение равенства считается принадлежащим к лежащей в основе логике. В нашем случае в качестве лежащей в основе теории может быть, очевидно, взято функциональное исчисление первого порядка с равенством.
Этой позиции, по существу, придерживается Цермело. Он считает $x$ и $y$ равными, если «они обозначают одну и ту же вещь», что иногда приводит к смещению употребления и упоминания знаков; от этой путаницы можно избавиться при помощи тавтологического замечания, что $x$ и $y$ равны, если они суть одна и та же вещь.
b) Равенство наряду с прочими отношениями рассматривается в качестве одного из первоначальных отношений системы. В нашем случае знак равенства ' = ' можно было бы взять в качестве второго первоначального двуместного предикат(ного символ)а. При этом следовало бы обеспечить при помощи соответствующих аксиом рефлексивность, симметричность и транзитивность равенства, т. е. что равенство является отношением эквивалентности, а также его подстановочностъ <substituitiveness> по отношению к другому первоначальному отношению, т. е. что из $x\in y$ и $x=x’$ следует $x’\in y$, а из $x\in y$ и $y=y’$ следует $x\in y’$.
c) Знак равенства вводится посредством определения. В нашем случае это можно сделать двумя различными способами: либо в соответствии с традицией, идущей по крайней мере от Лейбница (identitas indiscernibilium), согласно которой два предмета считаются равными, если каждый предмет, содержащий один из них в качестве члена, содержит и другой, либо же предметы считаются равными, если они содержат одни и те же члены. Очевидно, что второй способ приводит к тому, что в универсуме рассуждения существует самое большее один «индивид» (не-множество); поэтому он непригоден для таких систем, универсум рассуждения которых в подразумеваемой интерпретации содержит различные предметы, не являющиеся множествами (в обычном понимании слова 'множество') и ipso facto не содержащие членов. Куайн пришел к интересному выводу, что это обстоятельство не является неизбежным. Он слегка видоизменяет обычную трактовку индивидов, а именно рассматривает их как особого рода множества, или, вернее, классы (классы, единственным членом которых являются они сами), и таким образом успешно вводит равенство обычным путем (согласно методу b)), не отказываясь в своей онтологии от индивидов. Согласно Куайну, ситуация может быть описана по-иному, а именно $\in $ - отношение интерпретируется как 'есть член (чего-либо) или равен (чему-либо)' — в зависимости от того, является ли второй предмет классом или нет.»

Это страница 43 в книге Френкеля "Основания теории множеств". Столь длинная цитата понадобилась чтобы показать, какие варианты перебирал Френкель, и понять откуда вылезли два равных множества. Френкель: «Мы примем здесь точку зрения с)». А если принять точку зрения a), то вполне уместно Определение IIа''. $x$ называется отличным от $y$ ($x\neq y$) тогда и только тогда, когда существует $z$ для которого $x\in z$ и $y\notin z$, или $y\in z$ и $x\notin z$, то есть существует множество, которое содержит одно из множеств $x$ или $y$, но не содержит другое. И если $x$ не отличен от $y$, то $x$ и $y$ два различных имени одного и того же множества и записывать мы это будем так $x = y$. Конечно, мы можем говорить, что два множества равны, но именно в смысле двух имен одного и того же множества.
По моему, это именно то, что написал Someone: «"Равные объекты" - это "один и тот же объект". Равенство - это формализация понятия "одно и то же"... Не забывайте ещё, что в формальной теории мы имеем дело не с самими объектами, а с их именами,...».
Френкель же пошел другим путем. В результате мы получили, что пустое множество единственно на основании того, что «множества, содержащие одни и те же члены равны». Сколько в этой цитате множеств?
А вот другой пример на странице 50: «По аксиоме объемности все множества, содержащие в точности $a$ и $b{,}$ равны между собой; поэтому мы можем говорить о вполне определенном множестве с членами $a$ и $b{.}$» Сколько здесь множеств «все множества, содержащие в точности $a$ и $b{,}$» или «вполне определенное множество с членами $a$ и $b{?}$»
Видимо, вопросы возникли не только у меня и поэтому во втором издании Френкель серьёзно модифицировал свою позицию, но прежде чем я об этом напишу, хотелось бы понять как съесть, то, что сделано в первом издании.

[BapuK]

ваше определение равенства интересное, но вот как теперь, например, доказывать теоретико-множественные равенства типа $A\cap B=B\cap A$
Со стандартным определением берем элемент из первого множества показываем, что лежит во втором, ну и обратно.
А с вашим определением как, что то не пойму?

[Виктор Викторов]

Давайте сравнивать подобное с подобным.
Я получил определение IIа'': $x$ называется отличным от $y$ ($x\neq y$) тогда и только тогда, когда существует $z$ для которого $x\in z$ и $y\notin z$, или $y\in z$ и $x\notin z$, то есть существует множество, которое содержит одно из множеств $x$ или $y$, но не содержит другое. И если $x$ не отличен от $y$, то $x$ и $y$ два различных имени одного и того же множества и записывать мы это будем так $x = y$.
Переделав "Определение IIа. $x$ называется равным $y$ ($x = y$) тогда и только тогда, когда для всех $z$ $x\in z$ влечет $y\in z$, и обратно, $y\in z$ влечет $x\in z$, т. е. если каждое множество, содержащее одно из множеств $x$ и $y$, содержит также и другое. Если $x$ не равно $y$, оно называется отличным от $y$ ($x\neq y$) (или множества $x$ и $y$ называются различными." Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 47.
А Вы обычно пользуетесь для доказательства равенства множеств определением IIb.
"Определение IIb. $x$ называется равным $y$ тогда и только тогда, когда $x\subseteq y$ и $y\subseteq x$ одновременно, т. е. каждое из множеств $x$ и $y$ есть подмножество другого. Иначе говоря (формулируя в первоначальных терминах), $x = y$, если каждый член одного из этих множеств есть также и член другого. В противном случае $x$ отлично от $y$ (или $x$ и $y$ различны)." "Основания теории множеств". Страница 47.
Теперь давайте сделаем из него определение IIb'': $x$ называется отличным от $y$ тогда и только тогда, когда $x\nsubseteq y$ или $y\nsubseteq x{,}$ т. е. одно из множеств $x$ и $y$ не является подмножеством другого. Иначе говоря, $x\neq y$, если найдется такой член одного из этих множеств, который не является членом другого. И если $x$ не отличен от $y$, то $x$ и $y$ два различных имени одного и того же множества и записывать мы это будем так $x = y$.
Думаю, что теперь у Вас проблем со сравнением не будет.

[man]

Вы подняли вопрос о минимальности системы аксиом $Z$, предложив, как я понял, исключить аксиому равенства в любом из ее определений. (Ваша радикальная идея).
Могу лишь высказать свое мнение.
Вы считаете, что исключили только рассмотренные Френкелем определения. Но Вы так же исключили и любые другие возможные определения равенства (не равенства), которые Френкель даже не рассматривал.
Конечно, они могут быть далеки от интуиции и экзотичны, но как формулы, присоединенные к Z непротиворечиво, имеют право на существование.
В общем, теория без равенства, будет менее категорична и возможны нестандартные модели с каким-нибудь экзотическими равенствами / неравенствами.
Это будет выглядеть не менее забавным, чем нестандартное конечное множество Someone.
Мне кажется, аксиома равенства введена не случайно.
Чисто логическое равенство нечто другое, чем равенство множеств, и аксиома равенства, в любой из этих формулировок, не выводится из других аксиом ТМ.

Виктор Викторов в сообщении #421680 писал(а):

Видимо, вопросы возникли не только у меня и поэтому во втором издании Френкель серьёзно модифицировал свою позицию, но прежде чем я об этом напишу, хотелось бы понять как съесть, то, что сделано в первом издании.

По Вашим словам, предполагаю, что сам Френкель размышлял над эквивалентностью этих определений, но почему же все -таки вариант $b$ ?
Интересно, что скажет Someone и Френкель.

[Виктор Викторов]

man в сообщении #421841 писал(а):

По Вашим словам, предполагаю, что сам Френкель размышлял над эквивалентностью этих определений, но почему же все -таки вариант $b$ ?

man! Боюсь, что мы с Вами запутались в номенклатуре. Френкель выбрал вариант $c$. Причины он подробно излагает сразу после той длиннющей цитаты, которую я привел.
Теперь по поводу «радикальной идеи». Я просто предлагаю поставить аксиому выделения на первое место и, воспользовавшись ею (и теоремой о пересечении), дать определение неравных множеств, а вместо равных множеств иметь в виду, что это одно и то же множество возможно с разными именами (это ровно вариант a) по номенклатуре Френкеля). Поэтому ничего более экзотичного, чем то, что уже есть в ZFC я не ожидаю.

man в сообщении #421841 писал(а):

Чисто логическое равенство нечто другое, чем равенство множеств, и аксиома равенства, в любой из этих формулировок, не выводится из других аксиом ТМ.

Что Вы понимаете под логическим равенством? Равенство - чисто математическое творение. В природе никакого равенства нет – есть эквивалентность.

[man]

Виктор Викторов в сообщении #421870 писал(а):

man в сообщении #421841 писал(а):

По Вашим словам, предполагаю, что сам Френкель размышлял над эквивалентностью этих определений, но почему же все -таки вариант $b$ ?

man! Боюсь, что мы с Вами запутались в номенклатуре. Френкель выбрал вариант $c$. Причины он подробно излагает сразу после той длиннющей цитаты, которую я привел.
Теперь по поводу «радикальной идеи». Я просто предлагаю поставить аксиому выделения на первое место и, воспользовавшись ею (и теоремой о пересечении), дать определение неравных множеств, а вместо равных множеств иметь в виду, что это одно и то же множество возможно с разными именами (это ровно вариант a) по номенклатуре Френкеля). Поэтому ничего более экзотичного, чем то, что уже есть в ZFC я не ожидаю.

Я понял. Мое мнение - это другое определение (другое равенство). Т.е. саму аксиому объемности в ее формулировке формально не вывести из аксиомы выделения + логика предикатов.
Дело в формальном определении.

Виктор Викторов в сообщении #421809 писал(а):

Переделав "Определение IIа. $x$ называется равным $y$ ($x = y$) тогда и только тогда, когда для всех $z$ $x\in z$ влечет $y\in z$, и обратно, $y\in z$ влечет $x\in z$, т. е. если каждое множество, содержащее одно из множеств $x$ и $y$, содержит также и другое.

$\forall x\forall y (\forall z (x\in z \leftrightarrow y \in z) \rightarrow x=y)$

Виктор Викторов в сообщении #421809 писал(а):

"Определение IIb. $x$ называется равным $y$ тогда и только тогда, когда $x\subseteq y$ и $y\subseteq x$ одновременно, т. е. каждое из множеств $x$ и $y$ есть подмножество другого. Иначе говоря (формулируя в первоначальных терминах), $x = y$, если каждый член одного из этих множеств есть также и член другого. В противном случае $x$ отлично от $y$ (или $x$ и $y$ различны).

$\forall x\forall y (\forall z(z \in x \leftrightarrow z \in y) \rightarrow x=y)$

Доказать равенство пустых множеств по второму определению не составит труда. По определению пустого множества и логике $(a_1 \notin x \land a_2 \notin y) \rightarrow (a_1 \in x \leftrightarrow a_2 \in y) \rightarrow a_1=a_2$. Из определения пустых и аксиомы объемности немедленно следует их равенство.
А вот по-первому…
Не зря же есть "ограничительные" аксиомы и индукция.

Виктор Викторов в сообщении #421870 писал(а):

man в сообщении #421841 писал(а):

Чисто логическое равенство нечто другое, чем равенство множеств, и аксиома равенства, в любой из этих формулировок, не выводится из других аксиом ТМ.

Что Вы понимаете под логическим равенством? Равенство - чисто математическое творение. В природе никакого равенства нет – есть эквивалентность.

В ZF(C) "эквивалентность это такое особое равенство"...
Вы имеете в виду записи
Математическую $(a\subseteq b \land b\subseteq a) \rightarrow a=b$
и логическую $(a\rightarrow b \land b\rightarrow a) \rightarrow a \leftrightarrow b$
Я имел в виду, что помимо стандартной математики над логикой (и вообще разными логиками) можно надстроить кучу других формальных теорий, в которых определение равенства можно задать как угодно.

[Виктор Викторов]

По первой части Ваших соображений посмотрите у Френкеля на страницах 47-48. Определение IIa там идет вместе с аксиомой Ia, и, соответственно, определение IIb вместе с аксиомой Ib. Все, что можно доказать с помощью первой пары можно доказать и с помощью второй пары и наоборот.

man в сообщении #421889 писал(а):

В ZF(C) "эквивалентность это такое особое равенство"...

Откуда цитата? С эквивалентность всё легко и просто. Разбиваем множество на попарно непересекающиеся подмножества (помня при этом историю брадобрея). Каждый элемент некоторого подмножества эквивалентен любому другому элементу этого же подмножества. Тот же это самый элемент? Может быть, да (элемент эквивалентен сам себе), а может быть и нет.

[man]

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #421898 писал(а):

По первой части Ваших соображений посмотрите у Френкеля на страницах 47-48. Определение IIa там идет вместе с аксиомой Ia, и, соответственно, определение IIb вместе с аксиомой Ib. Все, что можно доказать с помощью первой пары можно доказать и с помощью второй пары и наоборот.

Понятно…
Не трудно ссылку вставить на источник (если у Вас в электронном виде) ?

Виктор Викторов в сообщении #421898 писал(а):

man в сообщении #421889 писал(а):

В ZF(C) "эквивалентность это такое особое равенство"...

Откуда цитата? С эквивалентность всё легко и просто.

Отсюда:

Виктор Викторов в сообщении #368125 писал(а):

Эквивалентность и равенство различные понятия. Эквивалентность - "равенство" в некотором смысле.

Виктор Викторов в сообщении #421898 писал(а):

Разбиваем множество на попарно непересекающиеся подмножества (помня при этом историю брадобрея). Каждый элемент некоторого подмножества эквивалентен любому другому элементу этого же подмножества. Тот же это самый элемент? Может быть, да (элемент эквивалентен сам себе), а может быть и нет.

Похоже, мы говорим об одном и том же.