Острые углы

[ИСН]

Я понял, между чем, но вспыхивает ехидный вопрос: а всегда ли такое можно сделать?

[ewert]

Сделать-то можно всегда (если я тоже понял), да только вот беда: в ту диагональ может вклиниться хвостик того многоугольника, и -- оговорки, оговорки...

[Sasha2]

Да ничего туда не вклиниться. Там нечему вклиниваться, так как эти вершины идут подряд.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #367345 писал(а):

Да ничего туда не вклиниться. Там нечему вклиниваться, так как эти вершины идут подряд.

Речь ведь о том, что Вы предлагали способ сведения случая произвольного количества "невыпуклых" вершин к случаю одной такой вершины. Но если количество таких вершин произвольно -- то многоугольник запросто может завернуться своим хвостиком внутрь выбранного Вами уголка, и резвиться там как угодно.

[Sasha2]

Я честно говоря не понял даже каким таким хвостиком, что куда должно завернуться.
Проводя эту процедуру, мы всякий раз уменьшаем число сторон и (углов) на 1 и параллельно с этим получаем многоугольник, в котором сумма его внутренних углов меньше суммы углов исходного многоугольника на 2d. Что куда завернется ну непонятно. Если бы оно должно завернуться, то оно завернется на каком-то шаге, то есть без ограничения общности, уже на первом, но это не так. В конечном счете, сделав конечно число раз эту процедуру, мы получим на каком-то шаге или выпуклый многоугольник, либо придем к треугольнику, а невыпуклых треугольников, как известно не бывает. Вот и все доказательство.

Ну хорошо, Вы хоть согласны с тем, что каждый шаг данной процедуры приводит к тому, что число углов (и сторон) уменьшается на 1.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #367370 писал(а):

Вы хоть согласны с тем, что каждый шаг данной процедуры приводит к тому,

Я пока что даже не понял (строго говоря), что Вы, собственно, предлагаете.

Я понял это так. Предположим, что у нас есть многоугольник с энным количеством "невыпуклых" вершин. Берём одну из них. И соединяем отрезком две соседних с ней вершины, удаляя её саму. Сумма углов при этом изменяется как положено, а количество невыпуклых вершин уменьшится на единичку. Тем самым в конце концов сводим дело к случаю с одной нехорошей вершиной (с которой действительно всё более-менее ясно).

Но. Во-первых -- всё это если и работает, то только в случае, когда тот отрезок между двумя соседними вершинами не пересекает других участков границы. Что вовсе не факт.

А во-вторых (мне почему-то не пришло сразу в голову). Ну пусть даже и не пересекает. Даже и в этом случае количество "невыпуклых" вершин вовсе не обязательно уменьшится. Может запросто даже и увеличиться.

[Sasha2]

Просто начинать надо эту процедуру с того угла, внутри которого нет уже других вершин.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #367398 писал(а):

Просто начинать надо эту процедуру с того угла, внутри которого нет уже других вершин.

а откуда Вы знаете, что таковой существует?...

(и, кстати, даже если мы и убедимся, что существует -- это не снимает моего второго вопроса из предыдущего поста)

[Sasha2]

Почему снимает. Если между ними нет вершин, то разумеется нет и сторон.
Что же касается второго вопроса. Я и не утверждал, что количество выпуклых вершин уменьшаетя. Просто уменьшается общее суммарное количество сторон и углов. И мы, в конечном счете, придем либо к многоугольнику, который выпуклый, либо к треугольнику, который точной выпуклый.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #367406 писал(а):

Я и не утверждал, что количество выпуклых вершин уменьшаетя. Просто уменьшается общее суммарное количество сторон и углов.

Ну допустим. Это хоть и несколько заковыристая (что не совсем хорошо), но -- тоже индукция. Однако в любом случае Вы не отвели первую претензию.

[Sasha2]

Почему, отверг. В любом случае число углов и сторон конечно. И мы всегда можем найти такой угол, внутри которого нет других вершин, ибо в противном случае невыпуклость нарушится. Но вообще, конечно, я и сам вижу, что Вы поправляя меня, прекрасно показывете, что это док-во (я его и сам провел в первый раз импровизированно) полно недостатков. Одним словом, до лоска тут еще очень далеко и не очень то я уверен, что если его привести к строгому виду оно будет лучше стандартного док-ва этой теоремы.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #367410 писал(а):

И мы всегда можем найти такой угол, внутри которого нет других вершин, ибо в противном случае невыпуклость нарушится.

Нет, ну это неправильный аргумент. Только из наличия вершин внутри любого "невыпуклого угла"-- никак не следует отсутствие невыпуклости, ни в каком смысле.

[Sasha2]

Но ведь тогда мы соберем все остальные стороны по одну и ту же сторону от сторон данного угла, а это означает, что (при отсутствии пересечений), что этот угол на самом деле "хороший", а отнюдь не тот, из-за которого нарушается выпуклость.

[Батороев]

arqady в сообщении #367090 писал(а):

Хорошая ссылка! Обратите внимание, невыпуклый случай либо обходится молчанием, либо утверждается, что $180^{\circ}(n-2)$ получается для любого многоугольника.
Создаётся впечатление, что это $180^{\circ}(n-2)$ является чем-то типа священной коровы, к которой запрещено прикасаться.

На мой взгляд, формула суммы внутренних углов многоугольника верна во всех случаях. В этом можно убедиться, если на сторонах, прилежащих к внутренним углам многоугольника, превышающим $180^0$, построить параллелограммы.

-- 29 окт 2010 12:23 --

arqady в сообщении #366955 писал(а):

venco, по Вашей ссылке из Википедии нашёл:
"Многоуго́льником называется геометрическая фигура, состоящая из n(n больше или равно 3) точек плоскости, не лежащих на одной прямой и попарно соединённых не пересекающимися отрезками. Многоугольник-это замкнутая ломаная линия."
Безграмотное определение. Возьмите треугольник и точку на его стороне. Согласно указанному определению получился четырёхугольник.

Не получится, т.к. в определении написано "не лежащих на одной прямой".

[ewert]

Sasha2 в сообщении #367438 писал(а):

Но ведь тогда мы соберем все остальные стороны по одну и ту же сторону от сторон данного угла,

Кто сказал, что именно все остальные. А может, они раскиданы по разным невыпуклым углам, притом так, что внутрь каждого такого угла хоть одна вершинка да попадает. Может такое быть?... -- заранее совершенно не очевидно. Строго говоря, я даже и не знаю (а думать неохота). Во всяком случае, пока с этим не разобрались -- Ваше доказательство не проходит.

(ну т.е. его можно спасти, просто обойдя эту проблему -- но для её обхода тоже понадобится много слов)

Батороев в сообщении #367494 писал(а):

На мой взгляд, формула суммы внутренних углов многоугольника верна во всех случаях.

Что значит "на Ваш". Она просто очевидно верна, причём всем. Из чего (в частности, хотя и не только) и следует абсолютная необходимость понимания "угла многоугольника" как именно внутреннего. Другое дело, что для невыпуклого случая усилий требуется всё-таки больше, чем для выпуклого. (При чём тут параллелограммы -- вообще не понял.)

Батороев в сообщении #367494 писал(а):

Не получится, т.к. в определении написано "не лежащих на одной прямой".

Нет, это определение действительно никуда не годится. Как минимум потому, что не сказано, кто конкретно не должен лежать на одной прямой. Но и хуже того -- не сказано даже, кто с кем соединяется отрезками. Короче говоря -- полнейшее разгильдяйство, не имеющее хоть сколько-то формального смысла.