существование обратной матрицы

[Padawan]

betta в сообщении #364932 писал(а):

А без знания,что такое полином и теорема Жордана,нельзя решить?

Можно. Спасибо neo66 и RIP'у http://dxdy.ru/topic30387.html

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #364957 писал(а):

предельным переходом

Для нашей задачи предельный переход, похоже, не нужен.

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #364983 писал(а):

Padawan в сообщении #364957 писал(а):

Так как корни у хар.многочленов совпадают, то они и сами совпадают.

Вот этот момент непонятен.
У многочленов $x^2(x-1)$ и $x(x-1)^2$ корни совпадают, а сами многочлены различны.

Ваша правда. Лопухнулся

Профессор Снэйп
Я хотел узнать, как доказывается, что $|AB-\lambda E|=|BA-\lambda E|$?

А, понял, просто в той цепочке надо равенство понимать с учетом порядка нуля$\lambda$. Т.е. если $\lambda_0$ -- нуль $n$-того порядка для $|AB'-\lambda E|$, то он будет нулём такого же порядка и для $|B'A-\lambda E|$.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #364975 писал(а):

определитель -- значение хар.многочлена в нуле = произведение собственных чисел

Произведение собственных чисел, взятых с учётом их кратности

Впрочем, очевидно, что это подразумевалось.

[moscwicz]

Padawan в сообщении #364990 писал(а):

Я хотел узнать, как доказывается, что $|AB-\lambda E|=|BA-\lambda E|$?

если одна из матриц $A,B$ невырождена, то $AB$ и $BA$ подобны: $A^{-1}ABA=BA$. Поэтому формула
$|AB-\lambda E|=|BA-\lambda E|$ верна. Нсли обе матрицы вырождены, то предельным переходом в данной формуле.

[betta]

Понятия собственного числа в курсе тоже еще не было

[Padawan]

betta
я Вам ссылку http://dxdy.ru/topic30387.html указал, какие еще могут быть вопросы? Только вместо $b$ подставьте там $-b$.

[Профессор Снэйп]

moscwicz в сообщении #364999 писал(а):

Если обе матрицы вырождены, то предельным переходом в данной формуле.

А если матрицы над произвольным полем?

[Padawan]

Профессор Снэйп
Раз формула верна над полем $\mathbb R$, то $|AB-\lambda E|$ и $|BA-\lambda E|$ равны как многочлены от коэффициентов матриц $A$, $B$ и $\lambda$. Значит, эта формулы верна и для матриц над любым коммутативным и ассоциативным кольцом.
Интересно получается

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #365014 писал(а):

Раз формула верна над полем $\mathbb R$, то $|AB-\lambda E|$ и $|BA-\lambda E|$ равны как многочлены от коэффициентов матриц $A$, $B$ и $\lambda$. Значит, эта формулы верна и для матриц над любым коммутативным и ассоциативным кольцом.

Не понимаю Почему это так?

[Padawan]

Профессор Снэйп
Допустим у нас есть два многочлена $P(x_1,\ldots, x_n)$, $Q(x_1,\ldots,x_n)$ с целыми коэффициентами. Известно, что они принимают одинаковые значения при всех вещественных $x_1,\ldots,x_n$. Можно ли утверждать, что коэффициенты при одинковых степенях $x^k=x_1^{k_1}\cdot\ldots\cdot x_n^{k_n}$ равны? Можно -- формула Тейлора.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #365038 писал(а):

Профессор Снэйп
Допустим у нас есть два многочлена $P(x_1,\ldots, x_n)$, $Q(x_1,\ldots,x_n)$ с целыми коэффициентами. Известно, что они принимают одинаковые значения при всех вещественных $x_1,\ldots,x_n$. Можно ли утверждать, что коэффициенты при одинковых степенях $x^k=x_1^{k_1}\cdot\ldots\cdot x_n^{k_n}$ равны? Можно -- формула Тейлора.

У нас тут для $\mathrm{det}(AB - \lambda E) = P(a_{1,1}, \ldots, a_{n,n}, b_{1,1}, \ldots, b_{n,n}, \lambda)$ и $\mathrm{det}(BA - \lambda E) = Q(a_{1,1}, \ldots, a_{n,n}, b_{1,1}, \ldots, b_{n,n}, \lambda)$ известно, что при $\mathrm{det}(AB) \neq 0$ многочлены $P$ и $Q$ совпадают как многочлены от $\lambda$.

Может этого, конечно, и достаточно для равенства $P = Q$...

[Ales]

Профессор Снэйп в сообщении #365054 писал(а):

Padawan в сообщении #365038 писал(а):

Профессор Снэйп
Допустим у нас есть два многочлена $P(x_1,\ldots, x_n)$, $Q(x_1,\ldots,x_n)$ с целыми коэффициентами. Известно, что они принимают одинаковые значения при всех вещественных $x_1,\ldots,x_n$. Можно ли утверждать, что коэффициенты при одинковых степенях $x^k=x_1^{k_1}\cdot\ldots\cdot x_n^{k_n}$ равны? Можно -- формула Тейлора.

У нас тут для $\mathrm{det}(AB - \lambda E) = P(a_{1,1}, \ldots, a_{n,n}, b_{1,1}, \ldots, b_{n,n}, \lambda)$ и $\mathrm{det}(BA - \lambda E) = Q(a_{1,1}, \ldots, a_{n,n}, b_{1,1}, \ldots, b_{n,n}, \lambda)$ известно, что при $\mathrm{det}(AB) \neq 0$ многочлены $P$ и $Q$ совпадают как многочлены от $\lambda$.

Может этого, конечно, и достаточно для равенства $P = Q$...

Вроде бы совпадают как многочлены от $a$ и $b$, тогда все доказано.

[moscwicz]

Профессор Снэйп в сообщении #365010 писал(а):

А если матрицы над произвольным полем?

а над произвольным полем линейной алгеброй одни извращенцы занимаются

[Joker_vD]

moscwicz
Что, и теория кодирования — извращение?