существование обратной матрицы

[betta]

Как доказать, что если E+AB обратима,то и E+BA также обратима.Подскажите,пожалуйста

[ИСН]

короче надо что-то с собственными числами мутить

[moscwicz]

у матриц $AB$ и $BA$ одинаковый характеристический полином. Далее теорема Жордана вам поможет.

[ewert]

moscwicz в сообщении #364849 писал(а):

у матриц $AB$ и $BA$ одинаковый характеристический полином. Далее теорема Жордана вам поможет.

Это правда, только Жордан-то тут при чём.

[paha]

ewert в сообщении #364857 писал(а):

только Жордан-то тут при чём

с Жорданом легче увидеть, что сходимость ряда $\sum (-1)^n(AB)^n$ равносильна сходимости ряда $\sum (-1)^n(BA)^n$

суммы по $n\ge 0$

[moscwicz]

ужос!

[ewert]

да ни к чему вся эта лирика. Как было метко замечено:

moscwicz в сообщении #364849 писал(а):

у матриц $AB$ и $BA$ одинаковый характеристический полином

, и всё, и этого вполне достаточно, чего ещё и суетиться-то, какие ещё Жорданы.

[paha]

ewert в сообщении #364886 писал(а):

и этого вполне достаточно, чего ещё и суетиться-то, какие ещё Жорданы

для этого надо знать спектральную теорему... нет?

-- Пт окт 22, 2010 19:19:38 --

конечно же, это уже вкусовщина, как говорит {\bf Padawan}

[betta]

А без знания,что такое полином и теорема Жордана,нельзя решить?У нас в курсе еще не было такого, и предполагается ,что решение не должно опираться на эти понятия

[Dan B-Yallay]

Если матрица обратима, то ее определитель не равен нулю. И наоборот.
Как вы думаете, сильно отличаются определители у матриц $(E+AB)$ и $(E +BA)$?

[Padawan]

(Оффтоп)

paha в сообщении #364887 писал(а):

конечно же, это уже вкусовщина, как говорит {\bf Padawan}

Это не я говорил, а ewert по-моему.

ewert, moscwicz
А как доказывается, что $|AB-\lambda E|=|BA-\lambda E|$?
Мое доказательство.
Пусть $|B'|\neq 0$, тогда

$$|AB'-\lambda E|=0\iff |B'|\cdot|AB'-\lambda E|=0\iff $$

$$|B'AB'-\lambda B'|=0\iff |B'A-\lambda E|\cdot |B'|\iff $$

$$|B'A-\lambda E|\cdot|B'|=0\iff |B'A-\lambda E|=0\; .$$

Так как корни у хар.многочленов совпадают, то они и сами совпадают.
Дальше из равенства $|AB'-\lambda E|=|B'A-\lambda E|$ предельным переходом $B'\to B$ получаем равенство $|AB-\lambda E|=|BA-\lambda E|$ при произвольной матрице $B$.
Так?

[ИСН]

Без знания теоремы Жордана я не вижу, как из равенства собственных чисел (и что это такое вообще? мы ведь тоже не должны знать, наверное) вытекает равенство определителей. Надо как-то...

-- Пт, 2010-10-22, 21:03 --

Padawan вон опять мутит через многочлен. Дак с многочленом-то ясно...

[Padawan]

ИСН в сообщении #364960 писал(а):

Без знания теоремы Жордана я не вижу, как из равенства собственных чисел вытекает равенство определителей.

Ну раз собственные числа равны, то хар.многочлены равны. А определитель -- значение хар.многочлена в нуле = произведение собственных чисел (по формулам Виета).
Или я иронии Вашей не понял?

[ИСН]

Дык

betta в сообщении #364932 писал(а):

А без знания,что такое полином и теорема Жордана,нельзя решить?

Цитата:

что такое полином

Цитата:

полином

[Профессор Снэйп]

Жордан --- это, наверное, слишком круто для такой задачи. Матрица вырождена тогда и только тогда, когда $0$ является её собственным числом. Очевидный факт, для которого не нужно никаких жордановых форм.

-- Сб окт 23, 2010 00:36:04 --

Padawan в сообщении #364957 писал(а):

Так как корни у хар.многочленов совпадают, то они и сами совпадают.

Вот этот момент непонятен.

У многочленов $x^2(x-1)$ и $x(x-1)^2$ корни совпадают, а сами многочлены различны.

Тут, правда, совпадения многочленов и не требуется, лишь бы набор корней был одинаков.