все-таки на пустом месте:) от заявленной темы отклонились
я еще раз по пунктам
1)

-- векторное пространство над

,
на котором
можно ввести2) структуру (коммутативной, ассоциативной) алгебры следующим образом: выбрать два неколлинеарных вектора

и определить умножение таблицей

,

,

. Это и будет

(все алгебры, полученные таким образом, изоморфны)
3)
Скалярное произведение в

, т.е. евклидова структура (как правильно заметил
Maslov) -- это то, чего в

как векторном пространстве вовсе нет
4) На

, введенном как выше, есть естественное скалярное и кососкалярное произведение (задающие евклидову и симплектическую структуры соответственно):
![$$
w\cdot \bar{u}=(w,u)a+[w,u]b
$$ $$
w\cdot \bar{u}=(w,u)a+[w,u]b
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/e/08eb86e08f05c57cb406199a9d07376e82.png)
(надо только сопряжение определить).
5) а уж как комплексные числа
вводить -- да вводите как хотите)))