Введение комплексных чисел

[Maslov]

ewert в сообщении #248349 писал(а):

зато есть другой аксиоматический объект -- "мнимая единица"

А как надо вводить комплексные числа, чтобы $i$ была "аксиоматическим" объектом?
Насколько я знаю, обычно схема такая:
- вводится комплексное число как упорядоченная пара действительных (a, b)
- аксиоматически определяются сложение как (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) и умножение (a,b) * (c,d) = (ac-bd, ad+bc)
- $i$ по определению - это комплексное число (0, 1).
Осюда по правилу умножения
$i^2 = -1$
$(-i)^2 = -1$

[ewert]

Maslov в сообщении #248374 писал(а):

А как надо вводить комплексные числа, чтобы $i$ была "аксиоматическим" объектом?
Насколько я знаю, обычно схема такая:

Ну да, обычно так. Аксиоматически же комплексные числа -- это вроде бы минимальное поле, удовлетворяющее дополнительно двум аксиомам: полноты и существования мнимой единицы (т.е. такого элемента, квадрат которого равен минус обычной единице). Правда, сам я никогда с этим подходом дела тоже не имел, но почему бы и нет?

[bot]

Maslov в сообщении #248374 писал(а):

А как надо вводить комплексные числа, чтобы была $i$ "аксиоматическим" объектом?

Варианты конечно есть. Про поле разложения $x^2+1$ говорить не стану, хотя нижеследующее оно и есть.
Рассматриваем двумерную линейную алгебру над полем $\mathbb R$ с базисом $\{1, i\}$ и таблицей умножения базисных элементов $1\cdot 1=1, \ 1\cdot i=i=i\cdot 1, i\cdot i=-1$.
Для начинающих это должно излагаться примерно так:
1. Вместо пар $(a, b)$ сразу рассматриваем формальные суммы $a+bi$ с естественным отождествлением $a+0i=a$
2. На полученное расширение множества $\mathbb R$ распространяем операции сложения и умножения исходя из стремления сохранить их известные свойства и с учётом равенства $i\cdot i=-1$. Вопрос из зала: а почему так? Ответ: не почему, а зачем - чтобы $x^2+1$ имел корень.
3. Проверяем, что желаемые свойства при таком определении действительно сохранились.
4. Далее уже как обычно - при подходе через пары на этом этапе форма $a+bi$ уже тоже есть.

Другой вариант - рассмотреть множество матриц вида $aE+bI$ и договориться писать вместо этого $a+bi$. Здесь $E$ - единичная матрица, а $I=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0\end{pmatrix}$. Сложение и умножение по матричным правилам. Этот подход конечно хорош в случае, если слушатели знакомы с матрицами хотя бы второго порядка, а ещё лучше, если знакомы с матрицей поворота.

[ewert]

Я всегда использую только вариант, который упомянул Maslov. Но -- с обязательной подготовкой:

1) сперва тупо решаем квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом, потому что ну очень хочется;

2) выводим правила сложения/умножения, исходя из их привычных свойств, как если бы запись $i=\sqrt{-1}$ имела смысл;

3) обращаем внимание на: что бы комплексное число собой ни представляло -- оно в любом случае задаётся двумя вещественными;

4) ну а теперь придаём всей этой лирике точный смысл, переходя к формальным парам.

Собственно, большинство так и поступают.

[Maslov]

bot в сообщении #248401 писал(а):

Варианты конечно есть...

Спасибо. Посмотрел книжки - первым способом (через расширение поля действительных чисел корнем многочлена $x^2 + 1$) у ван дер Вардена комплексные числа вводятся, второй у Кострикина рассматривается.

Мне не для слушателей. Так, для себя разобраться

[bot]

Maslov в сообщении #248374 писал(а):

А как надо вводить комплексные числа, чтобы $i$ была "аксиоматическим" объектом?

С этого вопроса началась другая тема.

Предлагаю переместиться сюда

Методически что важнее и как быстрее (тоже немало важно)?
1) Выложить готовый вариант, а его прелести оставить на потом.
2) Начать с мотивации - чего мы хотим и как этого можно добиться?

[ewert]

bot в сообщении #248480 писал(а):

Методически что важнее и как быстрее (тоже немало важно)? 1) Выложить готовый вариант, а его прелести оставить на потом.2) Начать с мотивации - чего мы хотим и как это можно сделать?

Второе -- безусловно важнее (да и нисколько не дольше, если не заморачиваться никому не нужной вознёй с формальной проверкой аксиоматики, в которой и так никто не сомневается).

[Maslov]

ewert в сообщении #248482 писал(а):

если не заморачиваться никому не нужной вознёй с формальной проверкой аксиоматики, в которой и так никто не сомневается

Я не преподаватель и сужу с другой стороны процесса, поэтому могу отвечать только за себя, но мне "возня с проверкой аксиоматики", которой нас мучали в школе (спец ), дала гораздо больше, чем конкретные результаты этой возни. Имеется в виду, дала в смысле мироощущения, культуры мышления и т.п. Тем более, что ни один предмет, кроме математики, строгости мышления научить просто не может. (IMHO )

[ewert]

Maslov в сообщении #248491 писал(а):

"возня с проверкой аксиоматики", которой нас мучали в школе, дала гораздо больше, чем конкретные результаты этой возни.

Всем дала, но не в этом месте. Формально корректное определение -- необходимо. Проверка же аксиом (которые при таком подходе будут уже, естественно, не аксиомами, а как бы в некотором смысле теоремами) -- явно бессмысленна.

Что реально необходимо (и подразумевается, хотя я этого и не упомянул) -- так это "отождествление" соотв. подмножества пар с уже имеющимися вещественными числами; и, как следствие -- алгебраическая (т.е. естественная) форма записи комплексного числа.

[Maslov]

А зачем для этого что-то отождествлять? Нельзя просто сказать, что с этого момента $a$ - это сокращенная запись для $(a, 0)$
На а дальше, как обычно
$(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a,0) + (0, 1) (b, 0) = a + i b$

[master]

Maslov в сообщении #248512 писал(а):

А зачем для этого что-то отождествлять? Нельзя просто сказать, что с этого момента $a$ - это сокращенная запись для $(a, 0)$
На а дальше, как обычно
$(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a,0) + (0, 1) (b, 0) = a + i b$

Ага и детям со второго класа давать вместе с таблицей умножения.

[ewert]

Maslov в сообщении #248512 писал(а):

Нельзя просто сказать, что с этого момента $a$ - это сокращенная запись для $(a, 0)$

Нельзя. Потому, что для "а" есть свой набор операций, а для "(а,0)" -- свой. И мы обязаны доказать, что эти операции согласованы -- раз уж мы собираемся хоть в каком-то смысле (а ведь надо ещё оговорить, в каком) рассматривать их как элементы одного и того же множества. Так вот это и есть "отождествление". А точнее -- изоморфизм, т.е. взаимно однозначное соответствие, сохраняющее алгебраические операции.

[Yarkin]

Maslov в сообщении #248512 писал(а):

А зачем для этого что-то отождествлять? Нельзя просто сказать, что с этого момента $a$ - это сокращенная запись для $(a, 0)$

Нельзя. Такие, как я могут не понять: вектор превратился в число.

[Maslov]

ewert в сообщении #248520 писал(а):

раз уж мы собираемся хоть в каком-то смысле (а ведь надо ещё оговорить, в каком) рассматривать их как элементы одного и того же множества

А это зачем? У нас же нет ни одной операции, определенной на $\mathbb{C}\times$\mathbb{R}$ или $\mathbb{R}\times$\mathbb{C}$. Мы всегда указываем, с каким именно полем работаем.
Ну а аксиомы поля и другие свойства действительных чисел все равно придется явно проверять, причем для всего $\mathbb{C}$, а не только для подполя, изоморфного $\mathbb{R}$

[ewert]

Maslov в сообщении #248528 писал(а):

У нас же нет ни одной операции, определенной на $\mathbb{C}\times$\mathbb{R}$ или $\mathbb{R}\times$\mathbb{C}$. Мы всегда указываем, с каким именно полем работаем.

Нет. Мы собираемся именно объявить $\mathbb R$ подмножеством $\mathbb C$. Поскольку все практически именно так и считают, и отказываться от этого -- никому не нужное пижонство. Но тогда мы обязаны сказать, в каком смысле мы это объявляем.