Комплексная плоскость и RxR

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #357564 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #357547 писал(а):

В комплексном пространстве определено умножение по формуле $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$, а в $\[{\mathbb{R}^2}\]$ скалярное произведение $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=x_1x_2+y_1y_2$.

Нет, вот так не хорошо говорить, тем более студентам. Эти два предлога "в" имеют совершенно разные смыслы.

Конечно, нужно при этом объяснить различие между двумя "в". В одном случае, выбросив ноль, получаем абелеву группу по умножению, а в другом произведение -- двух векторов не есть вектор, а только вещественное число и даже ассоциативности нет.

[Maslov]

Виктор Викторов в сообщении #357547 писал(а):

В комплексном пространстве определено умножение по формуле $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$, а в $\[{\mathbb{R}^2}\]$ скалярное произведение $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=x_1x_2+y_1y_2$.

Это ж совсем разные умножения. И если Вы под $\mathbb {R}^2$ понимаете "обычное векторное пространство на плоскости", то скалярного произведения как бы ещё и нет. Введя скалярное произведение, получим евклидово пространство $\mathbb{E}^2}$.

Виктор Викторов в сообщении #357547 писал(а):

ewert, конечно, прав: вводить таким образом комплексные числа нельзя.

А почему нельзя-то. Вполне можно. Вот здесь обсуждали: Введение комплексных чисел

[Виктор Викторов]

Maslov в сообщении #357575 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #357547 писал(а):

В комплексном пространстве определено умножение по формуле $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$, а в $\[{\mathbb{R}^2}\]$ скалярное произведение $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=x_1x_2+y_1y_2$.

Это ж совсем разные умножения. И если Вы под $\mathbb {R}^2$ понимаете "обычное векторное пространство на плоскости", то скалярного произведения как бы ещё и нет. Введя скалярное произведение, получим евклидово пространство $\mathbb{E}^2}$.

Конечно, правильнее сказать "Введя скалярное произведение, получим евклидово пространство $\mathbb{E}^2}$".

Maslov в сообщении #357575 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #357547 писал(а):

ewert, конечно, прав: вводить таким образом комплексные числа нельзя.

А почему нельзя-то. Вполне можно. Вот здесь обсуждали: Введение комплексных чисел

Это какая артподготовка нужна. Представьте себе тем, кто никогда не видел комплексных чисел, сказать: Возьмем обычное векторное пространство на плоскости и зададим на нем произведение по формуле $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$. Это и есть множество комплексных чисел. Отпаивать деток валерианой придется. А вот наличие такой развилки: налево от векторного пространства множество комплексных чисел, а направо евклидово пространство -- вещь интересная.

[Maslov]

Виктор Викторов в сообщении #357605 писал(а):

Представьте себе тем, кто никогда не видел комплексных чисел, сказать: Возьмем обычное векторное пространство на плоскости и зададим на нем произведение по формуле $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$. Это и есть множество комплексных чисел. Отпаивать деток валерианой придется.

Почти так нам в 9-м классе и сказали Про плоскость только не упоминали, ибо при таком подходе это лишнее.
Правда, это ФМШ была.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #357605 писал(а):

Это какая артподготовка нужна.

Вот какая: http://dxdy.ru/post248416.html#p248416

На это требуется минут пятнадцать, наверное (можно бы и меньше, но -- нельзя, не успеют свыкнуться).

Виктор Викторов в сообщении #357605 писал(а):

Возьмем обычное векторное пространство на плоскости

Не "векторное пространство", и даже не "декартово произведение" (хотя это, конечно, и оно, но к чему лишние слова), а просто "упорядоченные пары вещественных чисел". Никакой предварительной информации не требуется, ничего линейно-алгебраического, нужно лишь предварительно объяснить на пальцах цель, которая преследуется таким определением.

[paha]

все-таки на пустом месте:) от заявленной темы отклонились
я еще раз по пунктам

1) $\mathbb{R}^2$ -- векторное пространство над $\mathbb{R}$,
на котором можно ввести

2) структуру (коммутативной, ассоциативной) алгебры следующим образом: выбрать два неколлинеарных вектора $a,b\in\mathbb{R}^2$ и определить умножение таблицей $a\cdot a=-b$, $a\cdot b=a$, $b\cdot b=b$. Это и будет $\mathbb{C}$ (все алгебры, полученные таким образом, изоморфны)

3) Скалярное произведение в $\mathbb{R}^2$, т.е. евклидова структура (как правильно заметил Maslov) -- это то, чего в $\mathbb{R}^2$ как векторном пространстве вовсе нет

4) На $\mathbb{C}$, введенном как выше, есть естественное скалярное и кососкалярное произведение (задающие евклидову и симплектическую структуры соответственно):

$$ w\cdot \bar{u}=(w,u)a+[w,u]b $$

(надо только сопряжение определить).

5) а уж как комплексные числа вводить -- да вводите как хотите)))

[BapuK]

Виктор Викторов в сообщении #357605 писал(а):

Maslov в сообщении #357575 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #357547 писал(а):

ewert, конечно, прав: вводить таким образом комплексные числа нельзя.

А почему нельзя-то. Вполне можно. Вот здесь обсуждали: Введение комплексных чисел

Это какая артподготовка нужна. Представьте себе тем, кто никогда не видел комплексных чисел, сказать: Возьмем обычное векторное пространство на плоскости и зададим на нем произведение по формуле $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$. Это и есть множество комплексных чисел. Отпаивать деток валерианой придется. А вот наличие такой развилки: налево от векторного пространства множество комплексных чисел, а направо евклидово пространство -- вещь интересная.

Нам на 1ом курсе(на физфаке) на линейной алгебре именно так и вводили комплексные числа... вроде все понятно большинству было...

[ewert]

paha в сообщении #357633 писал(а):

2) структуру (коммутативной, ассоциативной) алгебры следующим образом: выбрать два неколлинеарных вектора $a,b\in\mathbb{R}^2$ и определить умножение таблицей $a\cdot a=-b$, $a\cdot b=a$, $b\cdot b=b$. Это и будет $\mathbb{C}$

Вообще это издевательство какое-то, ну да ладно (формально сойдёт). А принципиально вот что: что побуждает вводить алгебраическую структуру именно так?... Как Вы объясните это нормальному человеку, а не махровому математику?...

[paha]

ewert в сообщении #357637 писал(а):

Вообще это издевательство какое-то, ну да ладно (формально сойдёт). А принципиально вот что: что побуждает вводить алгебраическую структуру именно так?

Я не ввожу) Я говорю про отличия $\mathbb{R}^2$ от $\mathbb{C}$. А как определять $\mathbb{C}$ -- это в "Вопросы преподавания"

-- Чт сен 30, 2010 16:57:41 --

я лично никогда $\mathbb{C}$ не определял на лекциях

[ewert]

(Оффтоп)

paha в сообщении #357653 писал(а):

А как определять $\mathbb{C}$ -- это в "Вопросы преподавания"

а я с самого начала ровно так и сказал: что всей этой ветке -- место ровно там. Невозможно (в принципе невозможно) отделить вопрос об отличии просто Эр квадрат от воистину Цэ -- от вопросов сугубо методических.

[paha]

(Оффтоп)

Кстати, вот этому

paha в сообщении #357633 писал(а):

структуру (коммутативной, ассоциативной) алгебры следующим образом: выбрать два неколлинеарных вектора $a,b\in\mathbb{R}^2$ и определить умножение таблицей $a\cdot a=-b$, $a\cdot b=a$, $b\cdot b=b$. Это и будет $\mathbb{C}$ (все алгебры, полученные таким образом, изоморфны)

место в примерах после определения понятия алгебра над $\mathbb{R}$

Ну, а у меня этот пример появлялся в курсе как пример тензора ранга $(2,1)$ (структурные константы алгебры)

Конечно, человека, которому комплексные числа нужны для фазы и импеданса, не стоит обманывать алгебрами:)

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #357553 писал(а):

Maslov в сообщении #357531 писал(а):

На мой взгляд, немного странная постановка вопроса.

Чем странна постановка вопроса? Комплексное пространство и $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ оба векторные пространства над полем вещественных чисел. Определение умножения, как комплексного, так и скалярного не входит в определение линейного пространства, а умножение вектора на вещественное число работает и в $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ и в комплексном пространстве.

И эти векторные пространства различны. Они не только не изоморфны, а просто над разными полями.
А причём тут всякие дополнительные структуры, которые можно определить на этих пространствах? Вроде скалярного произведения или структуры алгебры.

[paha]

Someone в сообщении #357813 писал(а):

И эти векторные пространства различны. Они не только не изоморфны, а просто над разными полями.
А причём тут всякие дополнительные структуры, которые можно определить на этих пространствах? Вроде скалярного произведения или структуры алгебры.

$\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}^2$ изоморфны как в.п. над $\mathbb{R}$... тут не поспоришь

Структуру алгебры на $\mathbb{C}$ не надо определять -- она там есть, и это -- кардинальное отличие от ${\mathbb R}^2$, а скалярное произведение -- да, ни при чем

[Someone]

paha в сообщении #357814 писал(а):

$\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}^2$ изоморфны как в.п. над $\mathbb{R}$... тут не поспоришь

Извините, но сравниваются $\mathbb C$ как векторное пространство над $\mathbb C$ и $\mathbb R^2$ как векторное пространство над $\mathbb R$. Причём тут $\mathbb C$ как векторное пространство над $\mathbb R$?
Аддитивные группы там действительно изоморфны, но аддитивная группа - это ещё не векторное пространство.

paha в сообщении #357814 писал(а):

Структуру алгебры на $\mathbb{C}$ не надо определять -- она там есть

На каком "$\mathbb C$"? Есть совершенно разные объекты: поле $\mathbb C$, векторное пространство $\mathbb C$ над полем $\mathbb C$, алгебра $\mathbb C$ над полем $\mathbb C$. Они различаются набором операций. Операция умножения есть в первом и третьем случаях, но её нет во втором. Просто по определению векторного пространства.

(Исправил опечатку.)

[paha]

Someone в сообщении #357834 писал(а):

Извините, но сравниваются $\mathbb C$ как векторное пространство над $\mathbb C$ и $\mathbb R^2$ как векторное пространство над $\mathbb R$. Причём тут $\mathbb C$ как векторное пространство над $mathbb R$?
Аддитивные группы там действительно изоморфны, но аддитивная группа - это ещё не векторное пространство.

я сравнивал именно как векторные пространства над $\mathbb{R}$ -- со сложением и умножением на скаляры основного поля

Someone в сообщении #357834 писал(а):

На каком "$\mathbb C$"? Есть совершенно разные объекты: поле $\mathbb C$, векторное пространство $\mathbb C$ над полем $\mathbb C$, алгебра $\mathbb C$ над полем $\mathbb C$. Они различаются набором операций.

В старте топика прозвучало: комплексные числа в сравнении с $\mathbb{R}^2$... я имел ввиду умножение в $\mathbb{C}$ как алгебре над $\mathbb{R}$