Определители

[ewert]

e7e5 в сообщении #354728 писал(а):

как же доказывать, что для других слагаемых в определителе, будет также меняться?

Допустим, мы переставляем именно строки. Упорядочим в каждом произведении сомножители в порядке возрастания вторых индексов (т.е. номеров столбцов). И отслеживаем для каждого произведения количество инверсий в его перестановке первых индексов.

Так вот: на какую величину изменится каждое такое количество инверсий, если все строки (т.е. все первые индексы) переставить в обратном порядке?...

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #354727 писал(а):

Пардоньте

Пардоним.

[e7e5]

Если переставить две строки, то определитель меняет знак.
Если строки переставить в обратном порядке, то число инверсий изменится
$n(n-1)/2$ - уже ранее считал.

Но почему эти комбинации будут соответствовать повороту матрицы не $90^\circ}$ не очень понятно.

[Утундрий]

$n=2:$
$\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array} } \right) \] $
транспонируем
$\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{array} } \right) \] $
переставляем строки
$\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} } \right) \] $

Оно?

P.S. Со случаем $n>2$ разберитесь сами.

[ewert]

e7e5 в сообщении #355580 писал(а):

Но почему эти комбинации будут соответствовать повороту матрицы

Так ведь Утундрий же честно предложил скомбинировать поворот из отражения и транспонирования. А что происходит с определителем при транспонировании?...

[Утундрий]

ewert в сообщении #355609 писал(а):

А что происходит с определителем при транспонировании?

ewert, не озобляйте меня! Конечно ничего, но не мешайтеп процессу!

[e7e5]

Замена в определителе строк столбцами при сохранении порядка чередования называют определителем.
Если например в исходном определеителе верхняя строка:
$a_{11}, a_{12}, ..., a_{1n}$, то при транспонировании из горизонтальной становится столбцом
$a_{11}$
$a_{12}$
...
$a_{1n}$

Теперь придется переставлять строки в получившемся определеителе ( после транспонирования), чтобы вторые индексы образовывали ряд:
$1, 2, 3, ..., n$, тогда в аккурат получится исходная матрица повернутая на $90^{\circ}$.

А где здесь отражение присутствует ( и как определить "отражение" матрицы)?

[Утундрий]

e7e5 в сообщении #356075 писал(а):

А где здесь отражение присутствует

Вот оно:

e7e5 в сообщении #356075 писал(а):

Теперь придется переставлять строки в получившемся определеителе ( после транспонирования), чтобы вторые индексы образовывали ряд:

[e7e5]

4) Решить уравнение
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1\\ 1 & 1-x & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1 & 2-x & ...& 1 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & 1 & 1 & ... & n-x \end{vmatrix}=0$

[Утундрий]

e7e5 в сообщении #356181 писал(а):

Решить уравнение

$x=0,1,2,...,n-1$

P.S. Нужно кого-то из кого-то вычесть...

[e7e5]

Утундрий в сообщении #356186 писал(а):

P.S. Нужно кого-то из кого-то вычесть...

Задача находится в разделе, где допускается использование понятия определителя и его простейших свойств. Вероятно, нужен другой подход.

вот, смотря на ответ, можно было бы решать уравнение
$1(1-x)(2-x)...(n-x)=0$, но переход непонятен, если рассматривать определение определителя. Хотя,... везде же единицы, кроме главной диагонали. Такой подход работает в этом случае?

[Утундрий]

e7e5 в сообщении #356206 писал(а):

допускается использование понятия определителя и его простейших свойств

К любой строке определителя, не меняя его значения, можно прибавить... что?

[e7e5]

Определитель n-го порядка не меняет своего значения от прибавления ко всем элементам какой-нибудь строки соответствующих элементов лругой строки, умноженных на одно и то же число.

[ewert]

Утундрий в сообщении #356210 писал(а):

К любой строке определителя, не меняя его значения, можно прибавить... что?

Не только. После этого ещё из любого его столбца можно вынести как множитель -- что?...

Но вообще это напоминает некоторое жульничество. Надо ещё знать или разложение по столбцу -- или определитель треугольной матрицы. Ну или хотя бы что прибавлять можно не только строчки, но с тем же успехом ещё и столбцы. Что в число "элементарных свойств" всё-таки не входит. Но знать кого-либо из них (для данной конкретной задачки) -- конечно, необходимо.

[Утундрий]

ewert в сообщении #356216 писал(а):

Но вообще это напоминает некоторое жульничество.

Почему? Стандартная тактика в борьбе с определителями. Называется "Создайте как можно больше нулей!".

[ewert]

e7e5 в сообщении #356215 писал(а):

Определитель n-го порядка не меняет своего значения от прибавления ко всем элементам какой-нибудь строки соответствующих элементов лругой строки, умноженных на одно и то же число.

А теперь замените слово "прибавлять" на слово "вычитать" -- смысл-то утверждения от этого никак не изменится.

-- Сб сен 25, 2010 22:39:20 --

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #356218 писал(а):

ewert в сообщении #356216 писал(а):

Но вообще это напоминает некоторое жульничество.

Почему? Стандартная тактика в борьбе с определителями. Называется "Создайте как можно больше нулей!".

Это Вы так говорите. Поскольку не математик (по роду преподавания), но притом привыкши к определителям. А что детишкам-то делать?... Что конкретно им в качестве "основных свойств" втюхивали и в каком конкретно порядке?...