О распределении простых чисел

[e7e5]

Droog_Andrey в сообщении #352674 писал(а):

А какая, собственно, разница? Возьмите цепочку рациональных приближений $\pi$ и пустите $n$ по знаменателям - всего делов-то.

Как раз и пытаюсь понять. $\pi$ трансцендентное, как ни приближай дробями, не приблизишь.
По существу для простых чисел $p_1,p_2, ...p_n$ вычисляются $\sin p_k$, $k\le n$, подсчитывается число простых $P$, для которых $\sin p_k>0$, количество простых $N$, для которых $\sin p_k<0$. Встает вопрос о существовании предела
$\lim_{n \to \infty} \frac {P} {N} =s$, чему равно $s$? в какую сторону смещение?
Конечно, чтобы не вычислять напрямую $\sin \p_k$ приходится рассматривать разность, как описывается в начале.

[Droog_Andrey]

Предел с очевидностью равен единице. Разность $P-N$ колеблется вокруг нуля.

Об этом говорилось ещё на первой странице: post347553.html#p347553

[e7e5]

maxal в сообщении #351468 писал(а):

Иррегулярности в распределении простых не редкость

Подскажите пожалуйста код PARI/GP, чтобы сгенерировать последовательность чисел в задаче

У меня получались $31, 101, 167, 229, 269, 271, 307, 311, 313, 317, 331, 359, 439, 479, 487, 491, 691, 787, 797, 3739, 3761, 3821, …$
venco получил несколько иную последовательность.
29,101,163,229,263,271,293,359,433,491,683,3821,4013,4093,4139,6367...[/quote]

Какой результат верный? Думается, все дело в том, как учитывать нули.

[maxal]

e7e5 в сообщении #355257 писал(а):

Подскажите пожалуйста код PARI/GP, чтобы сгенерировать последовательность чисел в задаче

Сначала нужно дать чёткое определение. Вот одна из трактовок:

? s=0; forprime(p=2,10^5, s += (-1)^(p\Pi); if(s==0, print1(p,", "))  )
29, 101, 163, 229, 263, 271, 281, 293, 311, 317, 359, 433, 479, 491, 577, 613, 619, 659, 683, 787, 3739, 3821, 3907, 4013, 4093, 4139, 4231, 4243, 5839, 5857, 6367, 6427, 6451, 6473, 6551, 6637, 6673, 7121, 7129, 7213, 7297, 7309, 7331, 7349, 7561, 7577, 7603, 7681, 7789, 8297, 10099, 10111, 10223, 10247, 10369, 10399, 10477, 10499, 10567, 10597, 12979, 14669, 14699, 14717, 14731, 19219, 19273, 19417, 19423, 19429, 19441, 19457, 42709, 42727, 42841, 42899, 42923, 42937, 42953, 43037, 43051, 43067, 43159, 43499, 43891, 43933, 43951, 44041, 44101, 44119, 44263, 44269, 44357, 44381, 44449, 44617, 45053, 45077, 45119, 45137, 45161, 45181, 45307, 45319, 45337, 45343, 45377, 45403, 45767, 45817, 45949, 54269, 54311, 54323, 54347, 54377, 54403, 67651, 67699, 67801, 67867, 67891, 67993, 68059, 68087, 68141, 68161, 68207, 68213, 68227, 68261, 68281, 68329, 68371, 69779, 71011, 71039, 71069, 71089, 71209, 71237, 72679, 73477, 73517, 73553, 73571, 73643, 73673, 73681, 73721, 73751, 73771, 73847, 73939, 73951, 74051, 74099, 74131, 74197, 74203, 74219, 74317, 74363, 74713, 74759, 74771, 89119, 89137, 89189, 89227, 89293, 89779, 89797, 89819, 89891, 89963, 90031, 91807, 92707, 93059, 93281, 94573, 94597, 94613, 94649, 94687, 94709, 94727, 94819, 94847, 94903, 94933, 95581, 95713, 95737, 95789, 95801, 95813, 95891, 95971, 95989, 96013, 96059, 96149, 96167, 96181, 96211, 96269, 96757, 96823, 96847, 96959, 97021, 97073, 97103, 97127,

[venco]

maxal в сообщении #355264 писал(а):

Сначала нужно дать чёткое определение.

Это точно.

Цитата:

29, 101, 163, 229, 263, 271, 281, 293, 311, 317, 359, 433

Я пропустил те места, где последовательность разностей касается нуля и возвращается обратно.

[e7e5]

Пытаюсь дать определение, которое описало бы разные трактовки:

Droog_Andrey в сообщении #353219 писал(а):

Разность $P-N$ колеблется вокруг нуля.

Интересуют трактовки именно разности. Если пропускать те места, где последовательность касается нуля и возвращается обратно, то в этом случае последовательность может касаться нуля ( $P-N \ge 0$) и давать положительные значения.

Например: для ряда простых:
$257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331,337, ...$
будут получаться такие разности:
$1, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 0, -1, 0, -1, -2, ...$
видно, что в выделенном фрагменте последовательность (0,1,0,1,0) колеблется в " положительной" области. А в исходной трактовке интересовали именно переходы.
Т.е, если нарисовать прямую, на ней нарисовать интервалы ( как для неравенств рисуют в школе), то получится слева направо:
+ область... переход в ноль исключаем, берем первое отрицательное (31);
- область... переход в ноль включаем (101);
+ область... переход в ноль исключаем, берем первое отрицательное (167);
- область...ноль включаем ( 229);
+ область ... ноль исключаем, первое отрицательное (269)
- область... ноль включаем (271)
+ область... переход в ноль исключаем, первое отрицательное берем ( 307) и.т.д.
Как задать определение такой последовательности, и пожалуйста помогите с кодом на PARI/GP?

Какая из трактовок более полная, плюсы и минусы?

[e7e5]

$\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 & 1 & 1 \\ 3&1&2 \\ 5&-1&1 \\ 7&1&2 \\ 11&-1&1 \\ 13&1&2 \\ 17&-1&1 \\ 19&1&2 \\ 23&-1&1 \\ 29&-1&0 \\ 31&-1&-1 \\ 37&-1&-2 \\ 41&-1&3 \\ 43&-1&-4 \\ 47&1&-3 \\ 53&1&-2 \\ 59&1&-1 \\ 61&-1&-2 \\ 67&-1&-3 \\ 71&1&-2 \\ 73&-1&-3 \\ 79&-1&-4 \\ 83&1&-3 \\ 89&1&-2 \\ 97&1&-1 \\ 101&1&0 \\ \end{array} } \right) \] $
для матрицы видно, что в третьем столбце каждый следующий элемент равен предыдущему в этом столбце плюс элемент во втором столбце.
Например, для третьей строки
$1=2+(-1)=1$

-- Чт сен 23, 2010 22:40:09 --

$a_{i3}=a_{(i-1)3}+a_{i2}$, $i \ge 2$

[e7e5]

При помощи такого кода генерятся элементы $a_{i3}$

? s=0;forprime(p=2,2000,s+=(-1)^(p\Pi);print1(s,", "))
1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -3, -2, -1, -2, -3, -2, -3, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 0, -1, -2, -1, -2, -1, -2, -1, -2, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, -2, -1, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 0, -1, -2, -1, -2, -1, -2, -1, 0, -1, 0, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -2, -3, -4, -5, -4, -5, -4, -3, -2, -1, 0, -1, -2, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -6, -7, -6, -7, -6, -7, -6, -5, -6, -5, -6, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -9, -8, -9, -10, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -6, -5, -6, -5, -4, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, -10, -11, -10, -9, -10, -11, -12, -11, -10, -11, -12, -13, -14, -15, -16, -15, -14, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -9, -8, -7, -8, -9, -10, -11, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -6, -5, -4, -3, -4, -3, -4, -5, -6, -7, -6, -5, -6, -7, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -4, -3, -4, -5, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, -10, -11, -10, -9, -8, -9, -10, -9, -10, -9, -8, -9, -10, -11, -12, -11, -12, -13, -12, -11, -10, -11, -10, -9, -10, -9, -10, -9, -10, -11, -12, -11, -10, -11, -10, -11, -10, -11, -10, -9, -10, -9,

Теперь в этой последовательноси нужно выделять числа перехода, как описал выше. Как это сделать в коде?

[e7e5]

Если двигаться из положительной области в отрицательную, то для искомого
$a_{i(j+1)}$ выполняется
$a_{i(j-1)}>a_{ij}>a_{i(j+1)}$ и $a_{i(j-1)}+a_{ij}+a_{i(j+1)}= 0$
$a_{ij}=0$.

[e7e5]

? s=0;forprime(p=2,1000000000,s+=(-1)^(p\Pi);if(s<=-7568,print1(p,", ")))
994759639, 994759657

Больше вычислить простых не удается

[maxal]

e7e5
Замените на следующее (хотя будет работать чуть медленнее):

s=0; p=0; while(1, p=nextprime(p+1); s+=(-1)^(p\Pi); if(s<=-7568,print1(p,", ")))

[e7e5]

Программу пришлось прервать, для $s<-7568$ слишком много простых
Например такие: $1067245097, 1067245099, 1067245117$

Как оценить $s$, так чтобы соответствующих простых было немного?

[e7e5]

Например, для $s<-11000$ так же "на лету" много простых находится:
$4107454591, 4107454601, 4107454613$

[e7e5]

e7e5 в сообщении #355363 писал(а):

Интересуют трактовки именно разности. Если пропускать те места, где последовательность касается нуля и возвращается обратно, то в этом случае последовательность может касаться нуля ( $P-N \ge 0$) и давать положительные значения.

Например: для ряда простых:
$257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331,337, ...$
будут получаться такие разности:
$1, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 0, -1, 0, -1, -2, ...$
видно, что в выделенном фрагменте последовательность (0,1,0,1,0) колеблется в " положительной" области. А в исходной трактовке интересовали именно переходы.
Т.е, если нарисовать прямую, на ней нарисовать интервалы ( как для неравенств рисуют в школе), то получится слева направо:
+ область... переход в ноль исключаем, берем первое отрицательное (31);
- область... переход в ноль включаем (101);
+ область... переход в ноль исключаем, берем первое отрицательное (167);
- область...ноль включаем ( 229);
+ область ... ноль исключаем, первое отрицательное (269)
- область... ноль включаем (271)
+ область... переход в ноль исключаем, первое отрицательное берем ( 307) и.т.д.

Как математически наиболее правильнее описать ряд, выделяемых таким образом простых чисел: $31, 101, 167, 229,...$?

[e7e5]

Этот ряд получается так:
$p_1, p_2, ... p_n$ - простые числа, $p_1=2$,

$P$- количество простых чисел, для которых $\sin p_k >0$,
$N$ - количество простых, для которых $\sin p_k <0$, здесь $k \le n$
Вычисляется разность $P-N$
Искомый ряд образуют простые числа, при переходе через которые разность
$P-N$ меняет знак.

Как это определение облечь в более строгую форму?