2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 О распределении простых чисел
Сообщение14.08.2010, 12:10 


08/05/08
954
MSK
На окружности единичного радиуса отмечаются точки, которые соответствуют дугам, образующим ряд простых чисел.

В положительной или отрицательной полуплоскости окажется больше точек на окружности?

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение14.08.2010, 15:09 


02/11/08
1193
А "двойке", "тройке" и т.д. какие дуги окружности соответствуют? И в какую сторону идем по часовой или против?

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение14.08.2010, 15:27 


08/05/08
954
MSK
Yu_K в сообщении #344288 писал(а):
А "двойке", "тройке" и т.д. какие дуги окружности соответствуют? И в какую сторону идем по часовой или против?

Против часовой.
$2$ - угол примерно $114,6^{\circ}$, т.е. 2 радиан, ставится точка на окружности.
$3$ - угол примерно $179,1^{\circ}$, 3 радиан, ставится точка на оружности
$5$ - аналогично ставим точку ( в отрицательной полуплоскости, $~286,5^{\circ}$, 5 радиан) и.т.д против часовой продолжаем ставить точки соответвтующие простым числам.

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение17.08.2010, 20:55 


08/05/08
954
MSK
Какие-нибудь есть идеи?
Например, может каждое число делить на $\pi$, выделить целое.
Если целое - четное, обозначить буквой P, иначе N.

PPNPNPNPNNNNNNPPPN.......

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение17.08.2010, 21:31 


23/05/09
192
e7e5, извините может за глупый вопрос, а что значит больше? А если такой оператор будет хаотическим с плотной орбитой, где тогда будет больше?

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение17.08.2010, 22:25 


08/05/08
954
MSK
CowboyHugges в сообщении #344951 писал(а):
e7e5, извините может за глупый вопрос, а что значит больше? А если такой оператор будет хаотическим с плотной орбитой, где тогда будет больше?


Есть подозрение, что в смысле класса отклонения Чебышева и нарушений Литвулда.

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение26.08.2010, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2087
Минск, Беларусь
Если откладывать в радианах, то распределение будет равномерным. Если в рациональных долях окружности - зависит от того, где окажется больше степеней простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение28.08.2010, 13:48 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Моделирование на Wolfram действительно показывает равномерную плотность, по крайней мере для первых 10 000 простых.
Но, Droog_Andrey, откуда такая уверенность?

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение28.08.2010, 15:43 
Модератор
Аватара пользователя


30/06/10
980
Какое-то обобщение теоремы Дирихле (о простых в арифметических прогрессиях).

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение29.08.2010, 18:48 


08/05/08
954
MSK
Простое $p$ делил на $\pi$, брал целую часть, в зависимости от результата ( чет, нечет) отмечал результат P ( положительное), $N$ - отрицательный.
Далее вычисляется $P-N$ по всем P,N ( чтобы понять, в какой полуплоскости попадает чисел больше):
например, для первых 15 простых
$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$
получается такой ряд
$PPNPNPNPNNNNNN$
Из него уже видно, что простые оказываются в отрицательной части полуплоскости.
Далее, вычисляем разности, получается:
$1,2,1,2,1,2,1,2,1,0,-1,-2,-3,-4$
Видно, что до $p=29$ разность остается положительной, при $p=31$ разность
$P-N$ становится отрицательной и остается отрицательной до $p=97$.
Есть интересный факт, что чем дальше будем перебирать $p$, то тем более длинными будут получаться отрицательные разности.
Например, для $p=797...  3739$ $P-N$ остается отрицательной величиной.
Продвигаясь далее по простым числам начинают встречаться еще более длинные последовательности, когда разность отрицательно:
При $p=7697993$ $P-N<0$ и возвращается к положительном результату при
$p=72277813$. И чем далее продвигаемя вглубь, тем более длинные такие отрицательные последовательности.

Как объяснить этот факт?

-- Вс авг 29, 2010 19:59:12 --

Lesobrod в сообщении #347880 писал(а):
Моделирование на Wolfram действительно показывает равномерную плотность, по крайней мере для первых 10 000 простых.

Пожалуйста, поясните, как у Вас получилась равномерная плотность.?

-- Вс авг 29, 2010 20:36:13 --

Вот пример в файле для первых десяти тысяч простых, но повторюсь далее, когда счет идет на миллионы, дело начинает принимать более интересный оборот
http://migvnk.narod.ru/Primes_radian.txt

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение29.08.2010, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2087
Минск, Беларусь
Lesobrod в сообщении #347880 писал(а):
откуда такая уверенность?

http://www.expmath.org/restricted/3/3.3/rubinstein.ps

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение11.09.2010, 22:05 


08/05/08
954
MSK
Droog_Andrey в сообщении #348233 писал(а):
Lesobrod в сообщении #347880 писал(а):
откуда такая уверенность?

http://www.expmath.org/restricted/3/3.3/rubinstein.ps


И все-таки, в какой полуплоскоти окажется больше чисел?
Можно ли говорить о пределе отношения числа чисел в верхней полуплоскости к числу чисел в ниженей полуплоскости?

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение12.09.2010, 05:20 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
Иррегулярности в распределении простых не редкость - вот, например, феномен, подмеченный ещё Чебышевым, что простых вида $4k+3$ в некотором смысле больше чем вида $4k+1$:
http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevBias.html

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение12.09.2010, 09:12 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Пусть $f(x)$ периодическая функция с периодом 1 с нулевой средней, т.е. $$\int_0^1f(x)dx=0.$$
Пусть a параметр. Определим функцию $g(p)$ ставящую простым числам, число из интервала от нуля до 1, например $g(p)=\{\frac{p}{a}\}$ дробная часть при делении простого числа на а. Тогда действительно могут быть отклонения от среднего
$S(x)=\sum_{p\le x} f(g(p))$ даже возможно стремление S(x) к плюс бесконечности со скоростью не быстрее чем $x^{0.5+\epsilon}.$
В приведенных фактах $$f(x)=(-1)^{[2x]+1}, \ g_a(p)=\{\frac{p}{a}\}, a=\pi \ or 4.$$
Было бы интересно найти такие функции $f,g$, для которых можно доказать стремление $S(x)$ или хотя бы его среднего $$\frac 1x \int_0^x S(y)dy$$ к бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение12.09.2010, 10:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
--

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group