О распределении простых чисел

[e7e5]

На окружности единичного радиуса отмечаются точки, которые соответствуют дугам, образующим ряд простых чисел.

В положительной или отрицательной полуплоскости окажется больше точек на окружности?

[Yu_K]

А "двойке", "тройке" и т.д. какие дуги окружности соответствуют? И в какую сторону идем по часовой или против?

[e7e5]

Yu_K в сообщении #344288 писал(а):

А "двойке", "тройке" и т.д. какие дуги окружности соответствуют? И в какую сторону идем по часовой или против?

Против часовой.
$2$ - угол примерно $114,6^{\circ}$, т.е. 2 радиан, ставится точка на окружности.
$3$ - угол примерно $179,1^{\circ}$, 3 радиан, ставится точка на оружности
$5$ - аналогично ставим точку ( в отрицательной полуплоскости, $~286,5^{\circ}$, 5 радиан) и.т.д против часовой продолжаем ставить точки соответвтующие простым числам.

[e7e5]

Какие-нибудь есть идеи?
Например, может каждое число делить на $\pi$, выделить целое.
Если целое - четное, обозначить буквой P, иначе N.

PPNPNPNPNNNNNNPPPN.......

[CowboyHugges]

e7e5, извините может за глупый вопрос, а что значит больше? А если такой оператор будет хаотическим с плотной орбитой, где тогда будет больше?

[e7e5]

CowboyHugges в сообщении #344951 писал(а):

e7e5, извините может за глупый вопрос, а что значит больше? А если такой оператор будет хаотическим с плотной орбитой, где тогда будет больше?

Есть подозрение, что в смысле класса отклонения Чебышева и нарушений Литвулда.

[Droog_Andrey]

Если откладывать в радианах, то распределение будет равномерным. Если в рациональных долях окружности - зависит от того, где окажется больше степеней простых чисел.

[Lesobrod]

Моделирование на Wolfram действительно показывает равномерную плотность, по крайней мере для первых 10 000 простых.
Но, Droog_Andrey, откуда такая уверенность?

[zhoraster]

Какое-то обобщение теоремы Дирихле (о простых в арифметических прогрессиях).

[e7e5]

Простое $p$ делил на $\pi$, брал целую часть, в зависимости от результата ( чет, нечет) отмечал результат P ( положительное), $N$ - отрицательный.
Далее вычисляется $P-N$ по всем P,N ( чтобы понять, в какой полуплоскости попадает чисел больше):
например, для первых 15 простых
$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$
получается такой ряд
$PPNPNPNPNNNNNN$
Из него уже видно, что простые оказываются в отрицательной части полуплоскости.
Далее, вычисляем разности, получается:
$1,2,1,2,1,2,1,2,1,0,-1,-2,-3,-4$
Видно, что до $p=29$ разность остается положительной, при $p=31$ разность
$P-N$ становится отрицательной и остается отрицательной до $p=97$.
Есть интересный факт, что чем дальше будем перебирать $p$, то тем более длинными будут получаться отрицательные разности.
Например, для $p=797... 3739$ $P-N$ остается отрицательной величиной.
Продвигаясь далее по простым числам начинают встречаться еще более длинные последовательности, когда разность отрицательно:
При $p=7697993$ $P-N<0$ и возвращается к положительном результату при
$p=72277813$. И чем далее продвигаемя вглубь, тем более длинные такие отрицательные последовательности.

Как объяснить этот факт?

-- Вс авг 29, 2010 19:59:12 --

Lesobrod в сообщении #347880 писал(а):

Моделирование на Wolfram действительно показывает равномерную плотность, по крайней мере для первых 10 000 простых.

Пожалуйста, поясните, как у Вас получилась равномерная плотность.?

-- Вс авг 29, 2010 20:36:13 --

Вот пример в файле для первых десяти тысяч простых, но повторюсь далее, когда счет идет на миллионы, дело начинает принимать более интересный оборот
http://migvnk.narod.ru/Primes_radian.txt

[Droog_Andrey]

Lesobrod в сообщении #347880 писал(а):

откуда такая уверенность?

http://www.expmath.org/restricted/3/3.3/rubinstein.ps

[e7e5]

Droog_Andrey в сообщении #348233 писал(а):

Lesobrod в сообщении #347880 писал(а):

откуда такая уверенность?

http://www.expmath.org/restricted/3/3.3/rubinstein.ps

И все-таки, в какой полуплоскоти окажется больше чисел?
Можно ли говорить о пределе отношения числа чисел в верхней полуплоскости к числу чисел в ниженей полуплоскости?

[maxal]

Иррегулярности в распределении простых не редкость - вот, например, феномен, подмеченный ещё Чебышевым, что простых вида $4k+3$ в некотором смысле больше чем вида $4k+1$:
http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevBias.html

[Руст]

Пусть $f(x)$ периодическая функция с периодом 1 с нулевой средней, т.е.

$$\int_0^1f(x)dx=0.$$

Пусть a параметр. Определим функцию $g(p)$ ставящую простым числам, число из интервала от нуля до 1, например $g(p)=\{\frac{p}{a}\}$ дробная часть при делении простого числа на а. Тогда действительно могут быть отклонения от среднего
$S(x)=\sum_{p\le x} f(g(p))$ даже возможно стремление S(x) к плюс бесконечности со скоростью не быстрее чем $x^{0.5+\epsilon}.$
В приведенных фактах

$$f(x)=(-1)^{[2x]+1}, \ g_a(p)=\{\frac{p}{a}\}, a=\pi \ or 4.$$

Было бы интересно найти такие функции $f,g$, для которых можно доказать стремление $S(x)$ или хотя бы его среднего

$$\frac 1x \int_0^x S(y)dy$$

к бесконечности.

[meduza]

--