2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение16.09.2010, 20:20 


08/05/08
954
MSK
Droog_Andrey в сообщении #352674 писал(а):
А какая, собственно, разница? Возьмите цепочку рациональных приближений $\pi$ и пустите $n$ по знаменателям - всего делов-то.


Как раз и пытаюсь понять. $\pi$ трансцендентное, как ни приближай дробями, не приблизишь.
По существу для простых чисел $p_1,p_2, ...p_n$ вычисляются $\sin p_k$, $k\le n$, подсчитывается число простых $P$, для которых $\sin p_k>0$, количество простых $N$, для которых $\sin p_k<0$. Встает вопрос о существовании предела
$\lim_{n \to \infty} \frac {P} {N} =s$, чему равно $s$? в какую сторону смещение?
Конечно, чтобы не вычислять напрямую $\sin \p_k$ приходится рассматривать разность, как описывается в начале.

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение16.09.2010, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2087
Минск, Беларусь
Предел с очевидностью равен единице. Разность $P-N$ колеблется вокруг нуля.

Об этом говорилось ещё на первой странице: post347553.html#p347553

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение22.09.2010, 21:50 


08/05/08
954
MSK
maxal в сообщении #351468 писал(а):
Иррегулярности в распределении простых не редкость

Подскажите пожалуйста код PARI/GP, чтобы сгенерировать последовательность чисел в задаче

У меня получались $31, 101, 167, 229, 269, 271, 307, 311, 313, 317, 331, 359, 439, 479, 487, 491, 691, 787, 797, 3739, 3761, 3821, …$
venco получил несколько иную последовательность.
29,101,163,229,263,271,293,359,433,491,683,3821,4013,4093,4139,6367...[/quote]

Какой результат верный? Думается, все дело в том, как учитывать нули.

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение22.09.2010, 22:06 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
e7e5 в сообщении #355257 писал(а):
Подскажите пожалуйста код PARI/GP, чтобы сгенерировать последовательность чисел в задаче

Сначала нужно дать чёткое определение. Вот одна из трактовок:
Код:
? s=0; forprime(p=2,10^5, s += (-1)^(p\Pi); if(s==0, print1(p,", "))  )
29, 101, 163, 229, 263, 271, 281, 293, 311, 317, 359, 433, 479, 491, 577, 613, 619, 659, 683, 787, 3739, 3821, 3907, 4013, 4093, 4139, 4231, 4243, 5839, 5857, 6367, 6427, 6451, 6473, 6551, 6637, 6673, 7121, 7129, 7213, 7297, 7309, 7331, 7349, 7561, 7577, 7603, 7681, 7789, 8297, 10099, 10111, 10223, 10247, 10369, 10399, 10477, 10499, 10567, 10597, 12979, 14669, 14699, 14717, 14731, 19219, 19273, 19417, 19423, 19429, 19441, 19457, 42709, 42727, 42841, 42899, 42923, 42937, 42953, 43037, 43051, 43067, 43159, 43499, 43891, 43933, 43951, 44041, 44101, 44119, 44263, 44269, 44357, 44381, 44449, 44617, 45053, 45077, 45119, 45137, 45161, 45181, 45307, 45319, 45337, 45343, 45377, 45403, 45767, 45817, 45949, 54269, 54311, 54323, 54347, 54377, 54403, 67651, 67699, 67801, 67867, 67891, 67993, 68059, 68087, 68141, 68161, 68207, 68213, 68227, 68261, 68281, 68329, 68371, 69779, 71011, 71039, 71069, 71089, 71209, 71237, 72679, 73477, 73517, 73553, 73571, 73643, 73673, 73681, 73721, 73751, 73771, 73847, 73939, 73951, 74051, 74099, 74131, 74197, 74203, 74219, 74317, 74363, 74713, 74759, 74771, 89119, 89137, 89189, 89227, 89293, 89779, 89797, 89819, 89891, 89963, 90031, 91807, 92707, 93059, 93281, 94573, 94597, 94613, 94649, 94687, 94709, 94727, 94819, 94847, 94903, 94933, 95581, 95713, 95737, 95789, 95801, 95813, 95891, 95971, 95989, 96013, 96059, 96149, 96167, 96181, 96211, 96269, 96757, 96823, 96847, 96959, 97021, 97073, 97103, 97127,

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение22.09.2010, 22:12 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
maxal в сообщении #355264 писал(а):
Сначала нужно дать чёткое определение.
Это точно. ;-)

Цитата:
29, 101, 163, 229, 263, 271, 281, 293, 311, 317, 359, 433
Я пропустил те места, где последовательность разностей касается нуля и возвращается обратно.

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение23.09.2010, 10:09 


08/05/08
954
MSK
Пытаюсь дать определение, которое описало бы разные трактовки:
Droog_Andrey в сообщении #353219 писал(а):
Разность $P-N$ колеблется вокруг нуля.


Интересуют трактовки именно разности. Если пропускать те места, где последовательность касается нуля и возвращается обратно, то в этом случае последовательность может касаться нуля ( $P-N \ge 0$) и давать положительные значения.

Например: для ряда простых:
$257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331,337, ...$
будут получаться такие разности:
$1, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 0, -1, 0, -1, -2, ...$
видно, что в выделенном фрагменте последовательность (0,1,0,1,0) колеблется в " положительной" области. А в исходной трактовке интересовали именно переходы.
Т.е, если нарисовать прямую, на ней нарисовать интервалы ( как для неравенств рисуют в школе), то получится слева направо:
+ область... переход в ноль исключаем, берем первое отрицательное (31);
- область... переход в ноль включаем (101);
+ область... переход в ноль исключаем, берем первое отрицательное (167);
- область...ноль включаем ( 229);
+ область ... ноль исключаем, первое отрицательное (269)
- область... ноль включаем (271)
+ область... переход в ноль исключаем, первое отрицательное берем ( 307) и.т.д.
Как задать определение такой последовательности, и пожалуйста помогите с кодом на PARI/GP?

Какая из трактовок более полная, плюсы и минусы?

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение23.09.2010, 21:36 


08/05/08
954
MSK
$\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 & 1 & 1  \\
3&1&2  \\
5&-1&1  \\
7&1&2  \\
11&-1&1  \\
13&1&2  \\
17&-1&1  \\
19&1&2  \\
23&-1&1  \\
29&-1&0  \\
31&-1&-1  \\
37&-1&-2  \\
41&-1&3  \\
43&-1&-4  \\
47&1&-3  \\
53&1&-2  \\
59&1&-1  \\
61&-1&-2  \\
67&-1&-3  \\
71&1&-2  \\
73&-1&-3  \\
79&-1&-4  \\
83&1&-3  \\
89&1&-2  \\
97&1&-1  \\
101&1&0  \\

 \end{array} } \right)
\]
$
для матрицы видно, что в третьем столбце каждый следующий элемент равен предыдущему в этом столбце плюс элемент во втором столбце.
Например, для третьей строки
$1=2+(-1)=1$

-- Чт сен 23, 2010 22:40:09 --

$a_{i3}=a_{(i-1)3}+a_{i2}$, $i \ge 2$

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение24.09.2010, 21:31 


08/05/08
954
MSK
При помощи такого кода генерятся элементы $a_{i3}$

Код:
? s=0;forprime(p=2,2000,s+=(-1)^(p\Pi);print1(s,", "))
1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -3, -2, -1, -2, -3, -2, -3, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 0, -1, -2, -1, -2, -1, -2, -1, -2, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, -2, -1, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 0, -1, -2, -1, -2, -1, -2, -1, 0, -1, 0, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -2, -3, -4, -5, -4, -5, -4, -3, -2, -1, 0, -1, -2, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -6, -7, -6, -7, -6, -7, -6, -5, -6, -5, -6, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -9, -8, -9, -10, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -6, -5, -6, -5, -4, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, -10, -11, -10, -9, -10, -11, -12, -11, -10, -11, -12, -13, -14, -15, -16, -15, -14, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -9, -8, -7, -8, -9, -10, -11, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -6, -5, -4, -3, -4, -3, -4, -5, -6, -7, -6, -5, -6, -7, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -4, -3, -4, -5, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, -10, -11, -10, -9, -8, -9, -10, -9, -10, -9, -8, -9, -10, -11, -12, -11, -12, -13, -12, -11, -10, -11, -10, -9, -10, -9, -10, -9, -10, -11, -12, -11, -10, -11, -10, -11, -10, -11, -10, -9, -10, -9,

Теперь в этой последовательноси нужно выделять числа перехода, как описал выше. Как это сделать в коде?

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение25.09.2010, 08:54 


08/05/08
954
MSK
Если двигаться из положительной области в отрицательную, то для искомого
$a_{i(j+1)}$ выполняется
$a_{i(j-1)}>a_{ij}>a_{i(j+1)}$ и $a_{i(j-1)}+a_{ij}+a_{i(j+1)}= 0$
$a_{ij}=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение25.09.2010, 20:30 


08/05/08
954
MSK
Код:
? s=0;forprime(p=2,1000000000,s+=(-1)^(p\Pi);if(s<=-7568,print1(p,", ")))
994759639, 994759657

Больше вычислить простых не удается :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение25.09.2010, 20:38 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
e7e5
Замените на следующее (хотя будет работать чуть медленнее):
Код:
s=0; p=0; while(1, p=nextprime(p+1); s+=(-1)^(p\Pi); if(s<=-7568,print1(p,", ")))

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение25.09.2010, 21:02 


08/05/08
954
MSK
Программу пришлось прервать, для $s<-7568$ слишком много простых
Например такие: $1067245097, 1067245099, 1067245117$

Как оценить $s$, так чтобы соответствующих простых было немного?

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение25.09.2010, 22:05 


08/05/08
954
MSK
Например, для $s<-11000$ так же "на лету" много простых находится:
$4107454591, 4107454601, 4107454613$

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение08.10.2010, 20:05 


08/05/08
954
MSK
e7e5 в сообщении #355363 писал(а):
Интересуют трактовки именно разности. Если пропускать те места, где последовательность касается нуля и возвращается обратно, то в этом случае последовательность может касаться нуля ( $P-N \ge 0$) и давать положительные значения.

Например: для ряда простых:
$257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331,337, ...$
будут получаться такие разности:
$1, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 0, -1, 0, -1, -2, ...$
видно, что в выделенном фрагменте последовательность (0,1,0,1,0) колеблется в " положительной" области. А в исходной трактовке интересовали именно переходы.
Т.е, если нарисовать прямую, на ней нарисовать интервалы ( как для неравенств рисуют в школе), то получится слева направо:
+ область... переход в ноль исключаем, берем первое отрицательное (31);
- область... переход в ноль включаем (101);
+ область... переход в ноль исключаем, берем первое отрицательное (167);
- область...ноль включаем ( 229);
+ область ... ноль исключаем, первое отрицательное (269)
- область... ноль включаем (271)
+ область... переход в ноль исключаем, первое отрицательное берем ( 307) и.т.д.


Как математически наиболее правильнее описать ряд, выделяемых таким образом простых чисел: $31, 101, 167, 229,...$?

 Профиль  
                  
 
 Re: О распределении простых чисел
Сообщение09.10.2010, 08:15 


08/05/08
954
MSK
Этот ряд получается так:
$p_1, p_2, ... p_n$ - простые числа, $p_1=2$,

$P$- количество простых чисел, для которых $\sin p_k >0$,
$N$ - количество простых, для которых $\sin p_k <0$, здесь $k \le n$
Вычисляется разность $P-N$
Искомый ряд образуют простые числа, при переходе через которые разность
$P-N$ меняет знак.

Как это определение облечь в более строгую форму?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group