Основания математики - элементарное рассмотрение

[vek88]

Нет уж - давайте сначала разберемся в Вами. Вот с этим для начала.

epros в сообщении #355437 писал(а):

vek88 в сообщении #355433 писал(а):

Я говорю об определении, применимом к любой канонической системе.

Это слишком сильное требование: "любой" канонической системой может оказаться нечто такое, в котором рассматривать любые логические связки будет бессмысленно. Ваш пример с определением дизъюнкции это тоже хорошо иллюстрирует (см. ниже).

vek88 в сообщении #355433 писал(а):

Попробую пояснить на примере. Вот я определяю в канонической системе связку $\vee$ посредством правил вывода

$$\frac{x}{x\vee y},$$

$$\frac{y}{x\vee y}.$$

Это означает следующее. Пусть дана произвольная каноническая система $E$, не содержащей в алфавите знака $\vee$. Строим новую каноническую систему приписыванием к $E$ этих двух правил.

Угу. И если в этой произвольной канонической системе $E$ выводится пустое слово, то получаем в качестве выводов такие вещи, как $\vee \vee$ или $\vee \vee\vee$, что вообще неизвестно что означает.

Итак, для наглядности пустое слово обозначим знаком □.

Пример. Дана каноническая система:
Алфавит A
Аксиома □

Т.е. правил вывода нет, есть только единственная аксиома. Приписываем к ней вышеприведенные два правила, вводящие связку $\vee$. В полученной системе выводимы слова □, □$\vee$□,□$\vee$□$\vee$□, ... - что же здесь криминального. Это означает ровно то, что все эти слова выводимы в построенной системе.

Да, это не интересно, но столь же корректно (и не интересно) как в случае, когда всюду в этом примере мы заменим пустое слово, например, на слово A.

Уважаемый epros. Объясните, пожалуйста, общественности, в чем конкретно пафос Вашего возмущения по поводу пустого слова в этом примере.

[epros]

Ну и? У Вас там выше был пример канонической системы, в которой выводимо пустое слово. Она не подходит для упражнений со связкой $\vee$?

[vek88]

epros в сообщении #355489 писал(а):

Ну и? У Вас там выше был пример канонической системы, в которой выводимо пустое слово. Она не подходит для упражнений со связкой $\vee$?

Вы о чем? В моем последнем посте пустое слово выводимо (т.к. это аксиома).

Разберитесь, пожалуйста, а пока НЕЗАЧЕТ.

[vek88]

Пока отстающие готовятся к пересдаче зачета, поясню общественности некоторые потенциальные заблуждения, которые могут возникнуть вследствие традиционного порядка изучения формальных теорий. Эти заблуждения связаны с понятием формулы.

Так, при рассмотрении математической логики мы обычно говорим о (правильно построенных) формулах, а не о произвольных словах. См., например, post293825.html#p293825.

При таком подходе, разумеется, пустое слово не является формулой.

Но это, как говорится, наша селедка - что хотим, то и делаем. В моих записках этой темы меня интересует представление истины вообще, поэтому при рассмотрении канонических систем и К-систем я рассматриваю слова в тех или иных алфавитах, а не формулы в каких-то языках. В этом я следую изложению Мартин-Лёфа Очерки по конструктивной математике.

Так, например, говоря о канонических системах я считаю истинными в точности те слова, которые выводимы в рассматриваемых канонических системах. А, следовательно, я могу применять логические связки и кванторы к словам.

А в К-системах понятия истинности и ложности слов (в заданном алфавите) вообще являются базовыми, следовательно, применение к этим словам логических связок и кванторов вполне оправдано в рамках общего рассмотрения.

Разумеется, некий примитивный синтаксис все-таки требуется - а именно, при рассмотрении кванторов необходимо использовать $n$-ки слов. Но общее понятие формулы не является обязательным.

[epros]

vek88 в сообщении #355550 писал(а):

Так, при рассмотрении математической логики мы обычно говорим о (правильно построенных) формулах, а не о произвольных словах.

Ха, наконец-то здравая мысль. Почитайте теперь что-нибудь про формальные грамматики, может быть тогда отпадёт желание изобретать "нетрадиционные" подходы.

vek88 в сообщении #355550 писал(а):

Но это, как говорится, наша селедка - что хотим, то и делаем.

Ну, ну. Если хотите рассматривать генераторы слов типа $73 \vee \text{красное} \vee$, то дело хозяйское. Только не надо нас уверять, что подобные выражения имеют смысл дизъюнкции. А то ведь я тогда скажу, что в выражениях типа $\neg \text{труляля}$ смысла не меньше, так что Ваше заявление:

vek88 в сообщении #355433 писал(а):

Определить подобным образом отрицание невозможно.

окажется ... как бы так сказать помягче ... не совсем точным: вот ведь Вам выше пример "отрицания", радуйтесь.

vek88 в сообщении #355550 писал(а):

В этом я следую изложению Мартин-Лёфа Очерки по конструктивной математике.

Вы явно ни фига не поняли у Мартин-Лёфа. Или просто недочитали. Описываемые Вами системы Поста - это не более чем генераторы определённых классов слов. Чтобы эти слова имели смысл высказываний, которые можно объединять логическими связками, эти генераторы должны удовлетворять определённым требованиям.

Кстати, в конструктивном анализе рассмотрение алгоритмов, генерирующих объекты теории (например, натуральные числа), это только первый шаг. Чтобы перейти к следующему шагу - утверждениям об объектах теории и логическим операциям над ними (утверждениями), нужно ... э-эээ ... малость мозгами пораскинуть.

vek88 в сообщении #355550 писал(а):

я считаю истинными в точности те слова, которые выводимы

Офигеть. Вы вообще не путаете высказывания с объектами теории? Как может быть истинным или ложным число 4 (объект арифметики)? Можно говорить о том, что утверждение о его чётности является истинным или ложным. Или иначе: можно говорить о его принадлежности или не принадлежности к "множеству нечётных чисел". Так Вы просто множество слов определяете или формальную теорию?

[vek88]

epros

Вы умеете только учить других, как надо и как не надо. Кстати, Ваша логика - это женская логика (по выражению Колмогорова) - если Вам что-то нравится, это истинно, а если не нравится, то ложно.

Времени на рассмотрение Вашей хамской графомании у меня нет, так что наш в Вами диалог закончен.
vek88

[epros]

vek88 в сообщении #355607 писал(а):

Вы умеете только учить других, как надо и как не надо.

Больно нужно мне Вас учить. Сами учитесь, если желание есть. Я хотел только выяснить есть ли какой-то смысл в том обширном тексте, который Вы запостили. И, увы, в результате обсуждения с Вами убедился, что место всему этому в пургатории. Если Вы сами этого не хотите замечать, то с Вами действительно обсуждать нечего.

[vek88]

Позволю себе сделать следующий комментарий по текущему состоянию данной темы.

Тема развивалась зимой прошлого года и практически исчерпалась в апреле сего года. Где-то в середине темы мы подошли собственно к основаниям математики. При этом я обратился к общественности с просьбой о конструктивном (в человеческом плане) подходе - см. post283539.html#p283539. И вплоть до окончания рассмотрения темы в апреле тема действительно развивалась вполне конструктивно (без базара), за что я благодарен всем участникам темы.

Несколько дней назад эта тема снова ожила, но, к сожалению, теперь обсуждение пошло в стиле полемики ради полемики на грани троллинга. В подобных обсуждениях я не собираюсь участвовать.

Если же у кого-либо из участников форума возникли вопросы по теме, всегда готов участвовать в конструктивном их обcуждении. Разумеется, профессионалы при желании во всем разберутся и без моей помощи. В то же время этой темой (с учетом элементарности рассмотрения) могут интересоваться участники форума, не имеющие профессиональной подготовки по рассматриваемым в теме вопросам - таким участникам всегда готов помочь.

С уважением,
vek88

[epros]

(Оффтоп)

Я 15 минут ржал вот над этим:

vek88 в сообщении #355733 писал(а):

И вплоть до окончания рассмотрения темы в апреле тема действительно развивалась вполне конструктивно (без базара), за что я благодарен всем участникам темы.

ибо из конструктивных вопросов нашёл только несколько постов от AlexDem. Кстати, если у него сложилось какое-то мнение об изложенном, то хотелось бы услышать. От топикстартера я уже ничего не жду, ибо при первых же трудных вопросах он продемонстрировал свою неспособность к восприятию критики и обсуждению.

[vek88]

(Оффтоп)

epros в сообщении #355736 писал(а):

Я 15 минут ржал вот над этим:

vek88 в сообщении #355733 писал(а):

И вплоть до окончания рассмотрения темы в апреле тема действительно развивалась вполне конструктивно (без базара), за что я благодарен всем участникам темы.

ибо из конструктивных вопросов нашёл только несколько постов от AlexDem. Кстати, если у него сложилось какое-то мнение об изложенном, то хотелось бы услышать. От топикстартера я уже ничего не жду, ибо при первых же трудных вопросах он продемонстрировал свою неспособность к восприятию критики и обсуждению.

Смех без причины - признак дурачины. А один дурачина может задать столько вопросов, что и сто мудрецов не ответят. Шутка.

Для неискушенных в полемике участников форума разъясню свою позицию. Чтобы доминировать в споре на какую-угодно тему, надо постоянно задавать как можно больше вопросов и придираться ко всему, к чему только можно придраться. При этом совсем не обязательно разбираться в сути вопроса, как в случае уважаемого epros. Достаточно вести себя как элементарный бот - просто выхватывать из контекста отдельные слова - переставлять их в другом порядке - и обильно снабжать хамскими оценками в расчете вывести других участников дискуссии из равновесия.

И даже если при этом выдается глупость за глупостью - это не страшно. Эту глупость надо быстро-быстро спрятать за новые вопросы и хамские комментарии.

Разумеется, подобное поведение не поощряется в научном сообществе, но в семье не без уродов.

С учетом сказанного мне жаль тратить время на обсуждение множества мелких и второстепенных, а порой глупых, вопросов и комментариев. Поэтому я и отказался от продолжения диалога с уважаемым epros. Впрочем, еще раз подтверждаю, что готов отвечать на любые серьезные вопросы участников форума.

[vek88]

hurtsy в сообщении #283586 писал(а):

vek88

Цитата:

Итак, если я попрошу кого-то решить систему уравнений , $x=0, x=1$

Есть такой метод наименьших квадратов. В математической обработке измерений, в экономических исследованиях и в финансовой математике широко используется. В Вашем профиле видно, что Вы этим интересуетесь.
С уважением,

hurtsy

Просматривал эту тему и заметил, что в этом месте мне следовало бы ответить Вам. Отвечаю, хоть и с некоторым опозданием.

Вы правы в том смысле, что лучше бы я просто говорил о булевой переменной $x$, требуя от нее одновременно быть истоинной и ложной. Впрочем и здесь Вы смогли бы, кивнув на нечеткие логики, вставить свое замечание о возможности применения МНК.

Или мне бы следовало сказать, что речь идет об обычной системе уравнений в обычном (точном) смысле.

Короче, уверен, Вы меня поняли и ... лучше меня сможете формализовать, что же я, е-мое, имел в виду.

С уважением,
vek88

[vek88]

Недавно мне напомнили об AlexDem, а дальше по ассоциации вспомнил Curry's paradox, которым он меня в свое время озадачил.

AlexDem в сообщении #293028 писал(а):

На этот случай у меня нашлась заначка:

J.F. писал(а):

Существуют и более сложные парадоксы теории множеств, не связанные напрямую с какой либо логической операцией типа отрицания
Curry's paradox
http://en.wikipedia.org/wiki/Curry's_paradox

Там вроде как нет исключений, а парадокс - есть. Как можно описать ситуацию и решить парадокс в терминах К-систем?

Дык вот что подумал в связи с этим. Конефно, я прекрасно знаю, что К-система представляет собой модель мышления, позволяющую понять и объяснить парадоксы и все такое. Напомню, что в К-системах нам разрешается давать произвольные определения, в том числе, определения множеств. С одним только ограничением (если мы хотим остаться в классической двузначной логике) - нельзя нарушать полноту К-системы.

Но одно дело знать в теории, а другое дело - видеть как это клево работает на практике. И вот парадокс Карри дал мне новый, неизвестный ранее, пример. В посте post293094.html#p293094 я попытался в лоб разобраться с эти парадоксом. А в посте post293151.html#p293151 сделал это короче.

Итак, чтобы разобраться с каким-то определением чего-то, мы поступаем так:

1. Представляем это определение в К-системе.

2. Проверяем полноту этой К-системы.

3. Если она полна, то наше определение корректно. В противном случае это определение некорректно с точки зрения классической логики.

См. в связи с этим несколько неудачное начало этой темы: post277162.html#p277162

В post277198.html#p277198 я уже пытался сформулировать некий подход к корректности определений. Но на той стадии это было вряд ли возможно. А теперь, зная формальный аппарат К-систем, мы можем его использовать в качестве универсального и совершенно формального средства для формулировки определений.

А к чему завел разговор? Дык захотелось набить руку на технике представления парадоксов в К-системе.

Короче, кто какие парадоксы знает - давайте попробуем представить их в К-системе.

[vek88]

Подам личный пример, начав с парадокса Рассела. Итак, мы определяем множество $R$, образованное множествами, не являющимися членами самих себя. В К-системе это представляется схемой

$$\frac{x \notin x}{x \in R}.$$

Напомню, что в К-системе отрицание вводится схемой

$$\frac{\ominus x}{\neg x}.$$

Разумеется,

$$\frac{\neg (x \in x)}{x \notin x}.$$

Нетрудно видеть, что определение множества $R$ нарушает полноту К-системы в следующем смысле.

Каково бы не было полное (в смысле К-систем) определение бинарного отношения $x \in y$, не содержащее знака $R$, добавление к нему вышеприведенного определения множества $R$ приводит к нарушению полноты, т.к. выражение $R \in R$ оказывается неразрешимым. Следовательно, наше определение множества $R$ некорректно, а $R$ не может быть множеством.

Надо ли доказывать неразрешимость $R \in R$, или это очевидно?

[vek88]

Позволю себе кратко напомнить основные понятия К-систем: вывод, И-вывод, Л-вывод, истинность и ложность слов.

Вывод в К-системе определен в post284210.html#p284210. Это определение обобщает традиционное понятие вывода в финитных формальных системах, см. post283784.html#p283784.

Далее на множестве всех выводов вводится бинарное отношение исключения. Из множества всех выводов мы выделяем И-выводы и Л-выводы. Первые используются для вывода истинных слов, вторые - для вывода ложных. См. post284468.html#p284468.

С помощью этих определений легко показать, что слово $R \in R$ из предыдущего поста имеет единственный вывод $P$, причем $P < P$ (он сам из себя исключение). Отсюда следует, что вывод $P$ не является ни И-выводом, ни Л-выводом. Следовательно, слово $R \in R$ неразрешимо (ни истинно, ни ложно).

А значит определение множества $R$ выводит за пределы полных К-систем и поэтому некорректно.

[vek88]

А вот еще прикол по поводу парадокса Рассела. А давайте определим множество $R$ той же схемой

$$\frac{x \notin x}{x \in R}.$$

И добавим аксиому $R \in R$.

Другими словами, мы сказали, что множество $R$ образовано всеми несамосодержащими множествами, отличными от $R$, а само множество $R$ по определению самосодержащее.

С точки зрения К-систем здесь все OK. Слово $R \in R$ наряду с выводом $P$ из предыдущего поста имеет также вывод, полученный применением аксиомы $R \in R$. Этот вывод не имеет исключений, следовательно он является И-выводом. А значит слово $R \in R$ имеет И-вывод и поэтому истинно. Таким образом, для любого определения бинарного отношения $x \in y$ в полной К-системе добавление этого определения множества $R$ сохраняет полноту, т.е. определение множества $R$ корректно.

ИМХО и в плане наивной теории множеств, на защиту которой я встал в этой теме, получилось очень даже хорошее множество. Предлагаю назвать его множеством vek88.

Как, господа, множество vek88 имеет право на существование?

А как, интересно, с точки зрения здравого смысла? Или, например, с точки зрения традиционных аксиоматизаций теории множеств? Множество vek88 приемлемо?