ВТФ и дискретная геометрия

[serval]

У $P$-
$\begin{array}{cccccc} &\multicolumn{1}{|c}{1}&2&3&4&5\\ \hline 1&\multicolumn{1}{|c}{1}&0&0&0&0\\ 2&\multicolumn{1}{|c}{1}&1&0&0&0\\ 3&\multicolumn{1}{|c}{1}&2&1&0&0\\ 4&\multicolumn{1}{|c}{1}&3&3&1&0\\ 5&\multicolumn{1}{|c}{1}&4&6&4&1 \end{array}$

и $Q$-
$\begin{array}{cccccc} &\multicolumn{1}{|c}{1}&2&3&4&5\\ \hline 0&\multicolumn{1}{|c}{1}&0&0&0&0\\ 1&\multicolumn{1}{|c}{1}&1&0&0&0\\ 2&\multicolumn{1}{|c}{1}&3&2&0&0\\ 3&\multicolumn{1}{|c}{1}&7&12&6&0\\ 4&\multicolumn{1}{|c}{1}&15&50&60&24 \end{array}$

треугольников обнаружилось любопытное общее свойство. Оно почти очевидно для $P$-треугольника, но вовсе не очевидно для $Q$-треугольника: сумма элементов строки, взятых попеременно с плюсом и минусом, равна нулю.
Например.
$P$-треугольник: $1-4+6-4+1=0$
$Q$-треугольник: $1-15+50-60+24=0$
Иначе говоря, вектор-строки обоих треугольников ортогональны вектору $(\ 1,-1, \ 1,-1, \ \ldots \ )$

[serval]

В итоге, доказательство ВТФ сводится к доказательству утверждения:

если $P^T\vec a=\vec b$, где

$P=\left( \begin{array}{cccccc} 1&0&0&0&0&\ldots \\ 1&1&0&0&0&\ \\ 1&2&1&0&0&\ \\ 1&3&3&1&0&\ \\ 1&4&6&4&1&\ \\ \vdots &\ &\ &\ &\ &\ddots \end{array}\right)$ - треугольник Паскаля,

все компоненты вектора $\vec a$ равны нулю, кроме трех $a_k=a_l=1, \ a_{k+l}=-1$,

первые $n$ компонентов вектора $\vec b$ равны $b_i=(-1)^{i+1}$,

то $n \leqslant 3$.

P.S. Размерность $N$ векторов и матрицы - любая.

[serval]

Очевидно, что любое натуральное число в натуральной степени равно некоторому натуральному числу в первой степени $x_n^n=x_1^1$ и тогда $x_n^n+y_n^n=z_n^n\ \Leftrightarrow \ x_1^1+y_1^1=z_1^1$ (извиняюсь за банальность, $3^2+4^2=5^2\ \Leftrightarrow \ 9^1+16^1=25^1$).
Предыдущий пост непосредственно означает следующее.

Если в натуральных числах выполняется $x_n^n+y_n^n=z_n^n$ то существуют

$x_n^n=x_{n-1}^{n-1}=x_{n-2}^{n-2}=\ldots=x_1^1$

$y_n^n=y_{n-1}^{n-1}=y_{n-2}^{n-2}=\ldots=y_1^1$

$z_n^n=z_{n-1}^{n-1}=z_{n-2}^{n-2}=\ldots=z_1^1$

такие, что при $i=1\ \ldots \ n-1,\ \{\ x_i,\ y_i,\ z_i\ \} \in N$ - все они являются натуральными числами.

Соответственно, вместе с $x_n^n+y_n^n=z_n^n$ должны существовать и все

$x_{n-1}^{n-1}+y_{n-1}^{n-1}=z_{n-1}^{n-1}$

$x_{n-2}^{n-2}+y_{n-2}^{n-2}=z_{n-2}^{n-2}$

$\vdots$

$x_1^1+y_1^1=z_1^1$

выполняющиеся в натуральных числах.

Например, в натуральных числах вместе с $x_3^3+y_3^3=z_3^3$ должно выполняться $x_2^2+y_2^2=z_2^2$ такое, что $x_3^3=x_2^2,\ y_3^3=y_2^2,\ z_3^3=z_2^2$.

Можно ли доказать невозможность этого?

[serval]

Только сейчас увидел, что это означает выполнение в натуральных числах системы

$\begin{cases} \ x_2^2+y_2^2=z_3^3 \\ \ x_3^3+y_3^3=z_2^2 \end{cases}$

- сумма двух квадратов равна кубу и сумма двух кубов равна квадрату.

Это возможно?

Пожалуй, эта система - ложный путь. Ничего не даст.

[serval]

С почленными равенствами в уравнениях я, кажется, не прав. То, что из предположения о выполнимости в натуральных числах уравнения ВТФ любой степени следует выполнимость аналогичных уравнений всех низших степеней - прав. А насчет их почленного равенства - не прав.

[serval]

Уперся. Возникает уравнение $x^2+y^2-z^2=3(x+y-z)$. Смотрю на него и не соображу что это за условие. Как его нужно понимать?

[serval]

Единственное, что пришло в голову - построить в одних координатах графики

$$\frac {1}{0!}(1+1-1)=1$$

$$\frac {1}{1!}((x+y-z)-1(1+1-1))=-1$$

$$\frac {1}{2!}((x^2+y^2-z^2)-3(x+y-z)+2(1+1-1))=1$$

$$\frac {1}{3!}((x^3+y^3-z^3)-6(x^2+y^2-z^2)+11(x+y-z)-6(1+1-1))=-1$$

$$\frac {1}{4!}((x^4+y^4-z^4)-10(x^3+y^3-z^3)+23(x^2+y^2-z^2)-50(x+y-z)+24(1+1-1))=1$$

и так далее.
Самый загадочный из них - первый. Что строить - непонятно. А он есть. Здесь $x,y,z$ - не величины чисел, а номера позиций от которых эти величины зависят. Каков геометрический смысл функции $f(x,y,z)=1$?
Собственно, интересны не сами графики, а линии их пересечения.

[serval]

Это же нужно было столько времени смотреть на вектор $\vec n_2=(1,3,2)$, а потом еще и построить график (берем в треугольнике Паскаля строки с номерами $x,y,z$ из уравнения $x^2+y^2=z^2$ и поэлементно суммируем по первым трем столбцам $x_j+y_j-z_j,\ j=1 \ .\ .\ 3$, полученные тройки откладываем по осям в порядке следования), чтобы увидеть, что все пифагоровы тройки отображаются в точки перпендикулярной ему (вектору) прямой (часто - несколько троек в одну точку).
Я в печали. Начинаю думать, что Ферма говорил правду.

[ananova]

serval в сообщении #350681 писал(а):

Я в печали. Начинаю думать, что Ферма говорил правду.

Это Вы о чём? Что Ферма говорил правду об основном уравнении - доказал Уайлс. Может что-то ещё он говорил?

[serval]

Я о том, что он не угадал, а действительно как-то очень просто доказал.

[ananova]

serval
Понятно. Ну угадал - это как-то несерьезно. Тут два варианта - можно получить результат, который явно показывает, что теорема верна полностью, но без чёткого доказательства. Второй вариант - простое доказательство.

[serval]

Я склоняюсь к первому.

[ananova]

Я тоже склоняюсь к первому, потому что второе в этом случае не так обязательно. И вот почему. Доказано, что простых чисел существует бесконечное множество, но нет такого доказательства для чисел вида Софи Жермен. Тем не менее мы верим в существование их бесконечного множества, т.к. не видно причин почему это не так.
Ферма мог получить результат, который мог показывать явно, что теорема справедлива, и не было видно причин, почему это не так.

[serval]

Кстати, все тройки $x,y,z$ удовлетворяющие в условии ВТФ первой степени $x+y=z$ отображаются в единственную точку $(1,\ -1,\ 0)$. Тогда что должно стоять в ряду: точка (все тройки - в одну) $\rightarrow$ прямая (семейство троек - в одну?) $\rightarrow$ . . . (одна тройка - в одну). Гиперплоскость?

[Виктор Ширшов]

serval в сообщении #352507 писал(а):

Кстати, все тройки $x, y, z$ удовлетворяющие в условии ВТФ первой степени $x+y=z$ отображаются в единственную точку

. У меня они почему-то отображаются отрезком, а те тройки, что удовлетворяют равенству $x^2+y^2=z^2$, - прямоугольным треугольником.