Вопросы по комбинаторной топологии

[paha]

Fagot в сообщении #351511 писал(а):

Наверно

разумеется:)

Fagot в сообщении #351511 писал(а):

У всех $T^n$ Эйлерова характеристика равна нулю. Все они замкнуты, неодносвязны, с дыркой.

Что такое "дырка"? Общепринятого определения нет (общепринятое относится только к двумерным многообразиям... "сделать дыру в поверхности" -- означает выкинуть из нее диск).

Fagot в сообщении #351511 писал(а):

Так может они, замкнутые компактные многообразия нечетной размерности, торы, а не сферы?

И нечетномерные торы и нечетномерные сферы являются "замкнутыми компактными многообразиями нечетной размерности"... и не только они:)
Соотношение $\chi(T^n)=0$ показывает лишь то, что из равенства нулю эйлеровой характеристики однозвязность не следует.

Fagot в сообщении #351592 писал(а):

4-шар находится внутри цилиндра. Дырка в него окружена пятью тетраэдрами - проекциями на 3 пространство 3-сферы - границы 4-шара

ничего не понятно:)))
Напомню определение сферы:
$n$-мерной сферой называется топологическое пространство, гомеоморфное

$$ S^n=\{(x_0,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^{n+1}:\,x_0^2+\ldots+x_n^2=1\} $$

(топология на $S^n$ индуцирована из объемлющего пространства). Никаких "дырок в шары" тут нет.

[Fagot]

paha в сообщении #351777 писал(а):

Что такое "дырка"? Общепринятого определения нет

Кажется, находясь внутри топологического пространства, дырку можно обнаружить только косвенно, например, по отсутствию односвязности - по существованию нестягиваемых к точке петель (торов меньшей размерности). Можно ли сказать - по отсутствию точности замкнутых форм?

Очевидно, что-то вырезать и смотреть, разваливается ли на части данное топологическое пространство, можно, разглядывая его как гиперповерхность в пространстве вложения. Либо, устраивать сквозняки (в смысле теоремы Стокса).

paha в сообщении #351777 писал(а):

И нечетномерные торы и нечетномерные сферы являются "замкнутыми компактными многообразиями нечетной размерности"... и не только они:)
Соотношение $\chi(T^n)=0$ показывает лишь то, что из равенства нулю эйлеровой характеристики однозвязность не следует.

Возникают два вопроса. Выходит, два негомеоморфных многообразия одной размерности могут иметь одну Эйлерову характеристику? Второй. Может, наоборот, если $\chi (X)=0$, то многообразие не может быть односвязным, то есть оно с дыркой?

paha в сообщении #351777 писал(а):

$n$-мерной сферой называется топологическое пространство, гомеоморфное

$$ S^n=\{(x_0,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^{n+1}:\,x_0^2+\ldots+x_n^2=1\} $$

Здесь $x_n$ не надо заменить на $x_{n+1}$? Потом, разве глобальный гомеоморфизм с $\mathbb{R}^{n+1}$ для определения сферы обязателен?

paha в сообщении #351777 писал(а):

Никаких "дырок в шары" тут нет.

А не возможны ли тут, ввиду $ \chi(\partial B^4=S^3)$=0 два нюанса : 1) у сфер нечетной размерности всё же дырка есть; 2) границей четномерного шара является всё же нечётномерный тор, который может быть гомеоморфен либо нет нечетномерной сфере ?

[VoloCh]

Конечно, чётномерных ежей можно причесать, а нечётномерных нет. Про это вопрос?

[Fagot]

VoloCh в сообщении #351923 писал(а):

Конечно, чётномерных ежей можно причесать, а нечётномерных нет. Про это вопрос?

Нет, вопрос не в этом.

Эйлерова характеристика замкнутого многообразия нечетной размерности равна нулю, поэтому оно причесывается. Непонятна его структура. Что это - сфера, тор, или сфера и тор одновременно, связность, есть ли дырки, какие группы гомотопии, границей чего оно может быть и т.п.

[Fagot]

Fagot в сообщении #351824 писал(а):

Здесь $x_n$ не надо заменить на $x_{n+1}$?

Не заметил $x_0$.

[paha]

Разумеется, существуют негомеоморфные многообразия равной размерности и равной же эйлеровой характеристики. Вам даже примеры приводили.

[Fagot]

paha в сообщении #352254 писал(а):

Разумеется, существуют негомеоморфные многообразия равной размерности и равной же эйлеровой характеристики.

Разве нет такой теоремы : два ориентируемых компактных многообразия равной размерности гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один род (или одну эйлерову характеристику)?

[paha]

Это верно для связных многообразий в размерностях не больше 2.

-- Вт сен 14, 2010 14:30:29 --

Понятия "род" в размерностях больше двух далеко от того, которое у поверхностей (там есть L -род, A -род и т .д .)

[Fagot]

paha в сообщении #352322 писал(а):

Это верно для связных многообразий в размерностях не больше 2.

Спасибо. Странно, что универсальность проявляется лишь типа $\chi(B^n) =1$, $\chi(T^n)=0$, $\chi(\partial B^{2n})=0$, $\chi(\partial B^{2n+1})=2$.

Вы сферу определили как определённую гиперповерхность в охватывающем топологическом пространстве большей размерности. Существует ли внутреннее определение сферы?

[paha]

Fagot в сообщении #352548 писал(а):

универсальность

не понял, что Вы имеете ввиду

Fagot в сообщении #352548 писал(а):

Существует ли внутреннее определение сферы?

Например, с помощью операции надстройки

[Fagot]

paha в сообщении #352557 писал(а):

не понял, что Вы имеете ввиду

Образно говоря, выполнение аксиомы GTA (Гермеса Трисмегиста) : "Что внизу, то и наверху". Сохранение свойств, выявленных в низших размерностях, в высших. Например, если тор - сфера с ручкой, то это так для любых $n$.Если 2-диск "выпадает" из 1- тора в 3- объем, то 4-диск тоже должен "выпадать" из 3- тора в 5-объём.

[paha]

Это полная чушь. Некоторые утверждения, действительно, могут быть сформулированы во всех размерностях сразу. Но это далеко не всегда возможно, и даже неверно. Уже в размерности 3 ручки бывают двух типов. Размерность 4 уникальна и т.д.

[Fagot]

paha в сообщении #352625 писал(а):

Но это далеко не всегда возможно, и даже неверно. Уже в размерности 3 ручки бывают двух типов.

А утверждение, что тор - это сфера с ручкой - остается справедливым? (неважно какая ручка).

[paha]

Ищите в сети "разложение на ручки"

[Fagot]

paha в сообщении #352681 писал(а):

Ищите в сети "разложение на ручки"

Почитал рекомендованный Вами раздел. Единой и завершённой классификации даже простейших топологических пространств (шаров, сфер, торов) пока, как я понял, нет. Ответа на вопрос почему $S^1=T^1$, хотя, очевидно, не все топологические инварианты у них совпадают (род, скажем), так и не нашел. Не нашел также геометрической интерпретации $S^1, S^3$, хотя остальные объекты $B^1, T^1, B^3, T^3$ очень наглядны. Тем не менее, какая-то общая закономерность для разных размерностей должна быть. Например, можно попробовать её обнаружить, исходя из очевидных имеющихся свойств шаров, сфер, торов при $n=1,2,3$, предположив, что сохраняется определённая наследственность при переходе к низшим и высшим $n$. Позвольте её кратко изложить.

Будем исходить из того, что $Dim (\emptyset)=-1$ и что точка - это шар. Тогда из определения размерности по Пуанкаре следует, что точка - это $B^0$.

Из определения эйлеровой характеристики через клетки следует, что при её вычислении для четных шаров последняя клетка одна и входит со знаком плюс, значит, её надо отнять, чтобы получить эйлерову характеристику границы. Следовательно, $\chi(\partial B^0) = 1-1 =0$, то есть $\partial B^0=T^{-1}$. Граница шара нулевой размерности - тор минус первой размерности (здесь принято, что $\chi(T^n)=0$ - у торов и только у них).

Так как граница шара $B^0$ имеет размерность $n=-1$, следовательно, тор $T^{-1}$ - это пустое множество с выколотой точкой (удалённым шаром $B^0$) : $T^{-1}= \emptyset \setminus B^0$.

Т.к. шар $B^{-1}$ - часть тора $T^{-1}$, то его геометрический образ - выколотая точка.

Тор $T^1$ - это шар с ручкой $H^1$, которая тоже является шаром $B^1$, так что данный тор размерности $n=1$ получается склеиванием по нульмерным границам двух удалённых дисков (то есть граничных точек) этих шаров : $T^1=B^1\sharp B^1$ и является 1- окружностью с нулевой эйлеровой характеристикой. Значит, окружность - это тор $T^1$. Этот тор, в свою очередь, является границей 2- шара : $T^1=\partial B^2$.

Если продолжить дальше этот алгоритм построения этих компактных топологических пространств, то можно получить следующие общие результаты :

$\chi(B^n) = 1$.
$\partial B^{2m-1} = S^{2m}$, $\chi(S^{2m})=2$.
$\partial B^{2m} = T^{2m-1}$, $\chi(T^{2m-1})=0$.
$\chi (T^n)=0$.

Четные торы не являются границами нечетномерных шаров.
Четные сферы являются границами нечетномерных шаров и охватывают их полностью.

Нечетные торы являются границей четных шаров, но не охватывают их полностью.
Нечетные сферы не являются границей четных шаров.

Например, $\partial B^4= T^3$. Сфера $S^3$, если она существует (согласно гипотезе Пуанкаре), не является границей $B^4$.

То есть вроде бы наблюдается взаимная дуальность свойств нечетномерных и четномерных топологических пространств.