Магические квадраты

[svb]

Вот еще одна непроверенная конфигурация для пандиагональных квадратов 6-го порядка
$\left( {\begin{array}{*{20}c} {a1} & {c1} & {a2} & {b1} & {c2} & {b2} \\ {c3} & {b3} & {c4} & {c5} & {a3} & {c6} \\ {c7} & {a4} & {c8} & {c9} & {b4} & {c0} \\ {b1'} & {c2'} & {b2'} & {a1'} & {c1'} & {a2'} \\ {c5'} & {a3'} & {c6'} & {c3'} & {b3'} & {c4'} \\ {c9'} & {b4'} & {c0'} & {c7'} & {a4'} & {c8'} \\ \end{array}} \right)$
где $c+c'=s$, $a+a'=s-p$, $b+b'=s+p$.

[Someone]

(Оффтоп)

Nataly-Mak в сообщении #347825 писал(а):

Так ведь в этой теме всё написано. Читать умеете?

Да уж очень большая она, эта тема-то. Пожалели бы человека, дали бы точную ссылку...

Nataly-Mak в сообщении #348091 писал(а):

Этот шаблон выгодно отличается от предыдущего тем, что в нём всего три группы разных вычетов: 1, 4, 7. Для смитов эти вычеты не совсем хороши, но можно попробовать сделать другие шаблоны с наиболее частыми для смитов вычетами.

Я не знаю, заметили ли Вы, что шаблоны, составленные из вычетов, можно умножать на любое число и складывать (по соответствующему модулю), так что они аналогичны векторам. Пользуясь этим, можно попытаться получить шаблон, состоящий из более подходящих вычетов.

[Nataly-Mak]

Спасибо, хорошее замечание.

Pavlovsky
поколдовала с вашими квадратами. Увы! Пока ничего. "Пока" потому что программу я прервала.
Поскольку по моему шаблону нельзя получить константу 1599, у меня осталась единственная возможность - первый вариант программы.
Расчёт у меня был на то, что программы у нас составлены по-разному. Но, наверное, если уж четвёртый квадрат не существует, то по какой программе его ни искать - один чёрт: ничего не найдёшь

А у вас что с моими квадратами? Подозреваю, что то же самое: четвёртый квадрат не находится. Угадала?

svb
рада, что вы продолжаете работу над пандиагональными квадратами 6-го порядка.
К сожалению, пока не могу подключиться к этой работе, квадраты 5-го порядка никак не даются, то есть они есть и их море, но вот чтобы 4 квадрата из различных чисел состояли - никак не получается. Опять неправильно сказала: и 4 квадрата получаются, у меня даже 8 квадратов получились из разных чисел, но... константа большая.

[Nataly-Mak]

Ну, хоть одна удача
Нашлись арифметические прогрессии из простых чисел с разностью 210, удовлетворяющие приведённому выше условию:

a1 - 179, 389, 599, 809, 1019, 1229, 1439
a2 - 199  409  619  829  1039  1249  1459
a3 - 47  257  467  677  887  1097  1307
a4 - 22697  22907  23117  23327  23537  23747 23957
a5 - 182537  182747  182957  183167  183377  183587  183797 
a6 - 205187  205397  205607  205817  206027  206237  206447
a7 - 881  1091  1301  1511  1721  1931  2141

Замечу, что здесь только 4 прогрессии закреплены: с первыми членами a_3, a_4, a_5, a_6. Именно первые члены этих прогрессий связаны условием: a_3 + a_6 = a_4 + a_5.
Остальные три прогрессии можно брать любые, только с той же разностью 210, конечно.
Это нерегулярный пандиагональный квадрат 7-го порядка, составленный из чисел данных прогрессий:

389 1721 205607 183797 23117 1097 409
23537 257 199 1229 1511 206447 182957
2141 205817 183377 22907 47 1039 809
887 829 1439 1301 206237 182747 22697
205397 182537 23747 467 1459 599 1931
619 1019 1091 205187 183587 23327 1307
183167 23957 677 1249 179 881 206027

Но из чисел данных прогрессий можно составить и регулярный пандиагональный квадрат:

1229 467 183797 1511 199 23537 205397
881 1039 22907 206237 599 1307 183167
205607 1439 677 182537 1721 409 23747
183377 1091 1249 23117 206447 809 47
23957 205817 179 887 182747 1931 619
257 183587 1301 1459 23327 205187 1019
829 22697 206027 389 1097 182957 2141

Интересно сравнить шаблоны этих квадратов по модулю 6.
А также проследить связь между регулярными и нерегулярными пандиагональными квадратами 7-го порядка.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky
у меня такой вопрос: вы свою программу построения примитивного квадрата 5х5 для константы 1599 полностью выполнили? Есть ли у вас полная уверенность в том, что четвёртого примитивного квадрата с такой константой не существует?

Я свою программу не могу выполнить до конца (очень долго!). Крутила достаточно долго, прервала, квадрат не нашёлся. Однако я не могу сказать однозначно, что квадрата не существует.
Сейчас вот сделала программу построения полуфабриката (не полностью заполненный примитивный квадрат). Полуфабрикат программа находит быстро, например, такой:

5 83 223 383 0
89 167 307 467 0
239 317 457 617 0
569 647 787 947 0
0  0  0  0  23

Однако ни один полуфабрикат до полного квадрата не достраивается пока.
Произвольными натуральными числами полуфабрикат достраивается элементарно, а вот простыми числами никак

Что у вас с моими квадратами с константой 1765? Ещё не проверили?

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #348587 писал(а):

Pavlovsky
у меня такой вопрос: вы свою программу построения примитивного квадрата 5х5 для константы 1599 полностью выполнили? Есть ли у вас полная уверенность в том, что четвёртого примитивного квадрата с такой константой не существует?

Что у вас с моими квадратами с константой 1765? Ещё не проверили?

Для константы 1599, к трем представленным мною квдаратам четевертого не существует, если я конечно нигде не ошибся. Существет ли вообще 4 МК для константы 1599 неизвестно. Слишком большой объем перебора.

Для константы 1765 4-й квадрат пока не искал.

[Nataly-Mak]

Да, вот тут и собака зарыта! Можно 4 квадрата собирать по-разному. Я уже тут набила шишек. Начну по одной программе искать квадраты, у меня они совсем другие получаются, нежели по второй программе.
А получить абсолютно все примитивные квадраты 5х5 с заданной константой не предоставляется возможным. Приходится набирать по одному квадрату.

Однако с константой 1765 у меня нет уверенности в том, что четвёртого квадрата к представленным мною трём квадратам не существует.

Да, задачка, однако

[Nataly-Mak]

Pavlovsky
ещё один вопросик: до какой константы вы проверили составление примитивных квадратов 5х5?
Как я поняла, до константы 1599 точно проверили. Правильно?
А дальше проверяли?
Сейчас немного оптимизировала программу, стала выполняться намного быстрее. Похоже, что мои три квадрата с константой 1765 тоже не имеют четвёртого собрата По крайней мере, моя программа его не нашла.
Может быть, попробую проверять дальше, но если вы уже какие-то константы проверили, то, пожалуйста, сообщите, чтобы мне не выполнять зряшную работу.
Диапазон констант у нас немаленький: от 1235 до 1599. Правда, возможны только нечётные константы, но всё равно много.

[Pavlovsky]

Четыре квадрата 5х5 я искал так:
1) Сначала строил квадрат по шаблону:

1   1   1   1   1
-1   -1   -1   -1   -1
-1   -1   -1   -1   -1
-1   -1   -1   -1   -1
-1   -1   -1   -1   -1

2) выкидывал из списка простых чисел числа использованные в квадрате из пункта 1) и строил второй квадрат по такому же шаблону.

3) Далее полным перебором строил два квадрата по шаблону (не используя числа использованные на этапах 1,2):

1   1   1   1   1
1   1   1   1   1
1   1   1   1   1
1   1   1   1   1
-1   -1   -1   -1   -1

Подобным образом перебрал все магические константы. Так что опубликованный МК 10х10 обладает минимальной магической суммой для такого способа поиска МК.

Естественно алгоритм перебирает не все варианты, это касается пунктов 1,2 алгоритма.

[Nataly-Mak]

Таким образом, все константы S=3(mod 6) можно не проверять. Правильно поняла?
Но все константы других видов у вас остались за бортом?

[Pavlovsky]

Далее ничего другого не приходит на ум, как строить все МК 5х5 для заданной константы. Но еще раз повторю, все работы по регулярным квадратам я временно остановил.

Очень меня интересует вопрос можно ли построить нерегулярный МК с существенно меньшей магической суммой, чем дают регулярные квадраты?

-- Вт авг 31, 2010 19:40:17 --

Nataly-Mak в сообщении #348675 писал(а):

Таким образом, все константы S=3(mod 6) можно не проверять. Правильно поняла?
Но все константы других видов у вас остались за бортом?

Константы S=3(mod 6) проверять и проверять. Уверен полным перебором можно заметно уменьшить текущую минимальную сумму.

Другие константы проверять нецелесообразно. Вряд ли там найдется МК с маленькой магической суммой. Свои доводы я подробно изложил: post343726.html#p343726

Скажем для построения 4-х МК с магической суммой 6k+1 требуются простые числа 3 – 1шт 6k-1 – 38шт 6k+1 – 61шт.

Как видим чисел вида 6k+1 требуется заметно больше. Соответсвенно выделенный диапозон простых чисел используется нерационально.

-- Вт авг 31, 2010 19:42:11 --

Ну и опять же основной вопрос современности: нерегулярный МК 10х10 может дать магическую сумму значительно меньше чем регулярный?

[Nataly-Mak]

Так берите шаблон нерегулярного квадрата 7-го порядка и - вперёд!
Шаблон уже есть у нас и не один, а несколько.

Меня вот заинтересовала вообще связь между регулярными и нерегулярными квадратами 7-го порядка.
Я построила нерегулярный квадрат 7-го порядка из простых чисел (правильно построила?). Но из тех же чисел построила и регулярный квадрат.
Такая же ситуация и с классическими квадратами: из одних и тех же чисел от 1 до n^2 составляются и регулярные, и нерегулярные квадраты.

Как я поняла, по Россеру, нерегулярный квадрат не имеет примитивного, из которого он может быть получен преобразованием известного типа.

Но вот меня очень интересует вопрос: если мы построим нетрадиционный нерегулярный пандиагональный квадрат 7-го порядка, можно ли из этих же чисел составить регулярный квадрат? И наоборот. У меня этот момент прямо никак не хочет точно уясниться, всё как-то ускользает

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #348684 писал(а):

Но вот меня очень интересует вопрос: если мы построим нетрадиционный нерегулярный пандиагональный квадрат 7-го порядка, можно ли из этих же чисел составить регулярный квадрат? И наоборот. У меня этот момент прямо никак не хочет точно уясниться, всё как-то ускользает

Меня этот вопрос тоже очень интересует!!! Пока вразумительного ответа на него у меня нет.

-- Вт авг 31, 2010 19:50:40 --

Люди так как решим проблему века?! О соотношении регулярных и нерегулярных квадратов. Ведь для этого специальных математических знаний не надо! Достаточно прочитать статью Россера. Котрая есть в английском варианте (отличное качество pdf) и в прекрасном переводе svb.

[Nataly-Mak]

Да, и кстати, в опровержение того, что нерегулярному квадрату не соответствует примитивный. Но ведь построенному мной нерегулярному квадрату 7-го порядка соответствует примитивный!! Только: 1) у этого примитивного квадрата есть несколько дополнительных условий; но от этого он не перестаёт быть примитивным; 2) пандиагональный квадрат из примитивного квадрата получается не преобразованием такого типа, как у Россера, а матричным преобразованием. Это однако не мешает из любого примитивного квадрата, удовлетворяющего указанным условиям, получить нерегулярный пандиагональный квадрат с помощью определённого матричного преобразования (что я уже продемонстрировала выше).

[Pavlovsky]

А блин, не обеднею. Объявляю приз, решившему задачу, вышлю на веб-кошелек 500 (Пятьсот) рублей.
Точно формулирую задачу:

Найти пандиагональный МК 7х7 из различных простых чисел с магической констатной C и доказать, что не существует регулярного (по Россеру) пандиагонального МК 7х7 из различных простых чисел с константой равной или меньшей C. Или доказать, что это невозможно.