Векторное произведение

[Pixar]

Пытаюсь разобраться в сути явления векторного произведения. Раньше я брал тупо формулу и использовал, но теперь существует нужда в понимании основ. Начну с нуля.

Значит, есть два вектора $\overrightarrow{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\overrightarrow{b} = (b_x, b_y, b_z)$. Суть векторного произведения, как я понимаю, лежит в нахождении вектора, перпендикулярного двум данным. То есть получается система:
$ \left\{ \begin{array}{l} (c,b) = 0,\\ (c,b) = 0. \end{array} \right. $

По идее, других ограничений быть не должно, но в определении векторного произведения почему-то даются ещё два ограничения:
1. $|\overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin{\varphi}$ - почему?
2. Тройка векторов {$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$} является правой - почему?

Я понимаю, что система из двух уравнений и трёх неизвестных не решается, но эти ограничения ведь не искусственны? Откуда они пришли?

[ShMaxG]

Ответы на Ваши вопросы можно найти в Википедии:

Векторное произведение

-- Вт июл 20, 2010 01:45:03 --

Векторов, перпендикулярных Вашим двум сколь угодно много. Надо же как-то определиться, какой из них считать векторным произведением. Пункт 1 задает длину, а 2 - направление относительно данных двух.

[Pixar]

ShMaxG
Википедию читал - там даны определения, но нет ответа на вопрос "почему?".
Про ориентацию вектора я понял. Осталось непонятным, почему $|\overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin{\varphi}$?

[ShMaxG]

Ну хотя бы потому, что смешанное произведение дает объем соответствующего параллелепипеда. Удобно, знаете ли (а модуль векторного произведения - площадь соответствующего параллелограмма)

Еще хотим, чтобы если $\[\overrightarrow {\text{c}} = \left[ {\overrightarrow {\text{a}} ,\overrightarrow {\text{b}} } \right]\]$, то и $\[\overrightarrow {\text{b}} = \left[ {\overrightarrow {\text{c}} ,\overrightarrow {\text{a}} } \right]\] $ и $ \[\overrightarrow {\text{a}} = \left[ {\overrightarrow {\text{b}} ,\overrightarrow {\text{c}} } \right]\]$.

Плюс, можно вычислять тогда это векторное произведение через определитель. Одни удобства.

В целом-то этот вопрос, я считаю, философский. Глобально -- для удобства. Потому что много где вылезает. Вот и все.

[Pixar]

ShMaxG
Ладно, допустим, я запомнил определение векторного произведения. А как из определения вывести уравнение? Я вот способен только на вышенаписанную системку. А как формулой задать направление и размер будущего вектора (не учитывая той формулы на вики, где уже всё включено :))? Или так задачу разбить нельзя?

[ShMaxG]

Pixar в сообщении #339941 писал(а):

А как из определения вывести уравнение? Я вот способен только на вышенаписанную системку. А как формулой задать направление и размер будущего вектора (не учитывая той формулы на вики, где уже всё включено :))?

Какое уравнение? Может формулу, по которой вычислять векторное произведение? Наиудобнейшая - через определитель. Выводится она очень просто: подставляете заместо исходных векторов их разложение по базису (он должен быть правым, ортонормированным). Вот и все.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #339978 писал(а):

Выводится она очень просто: подставляете заместо исходных векторов их разложение по базису (он должен быть правым, ортонормированным). Вот и все.

Э-э нет, далеко не так просто. Т.е. выводится-то так, конечно; но это ещё не значит доказывается. Поскольку при таком выводе используется дистрибутивность векторного произведения, а этот факт далеко не тривиален.

[ShMaxG]

ewert
Да, согласен.

Доказательство дистрибутивности можно найти, например, у Д.В.Беклемишева "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры", гл.1, §4, Предложение 5. Он опирается на дистрибутивность скалярного произведения, что доказывается в Предложении 2.

[ewert]

Как-то там шибко абстрактно. Я предпочитаю более тупой подход, хотя и тоже основанный на правиле циклической перестановки (и на дистрибутивности скалярного произведения, конечно). А именно:

$[(\alpha\vec a+\beta\vec b)\times\vec c]_x=[(\alpha\vec a+\beta\vec b)\times\vec c]\cdot\vec i$

; теперь перестановкой сомножителей переводим сумму из-под векторного произведения под скалярное, раскрываем скобки, делаем обратный откат, и всё.

[terminator-II]

Щас я вам всем настроение испорчу. Особенно приятно, что присутствуют студенты физтеха. Я этот вопрос физикам люблю задавать. И так. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, сами знаете какого.
Налицо несогласование размерностей: длина равна площади. Ну как?

[ShMaxG]

А векторам никто размерности и не приписывает. Мало ли, что можно приписать. Вот так припишешь и противоречий не обересси...

-- Вт июл 20, 2010 16:53:51 --

Впрочем, в физике с такими вещами дел не имеют (с одинаковыми размерностями векторы не перемножают, т.к. это не имеет физического смысла. или может иметь?). Поэтому противоречий там не возникает.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #340025 писал(а):

А векторам никто размерности и не приписывает.

+1.

Я бы тем же физтеховцам, ежели б захотелось их помучить, задал бы ровно тот же вопрос, но несколько в другой формулировке. Вот, скажем, радиус-вектор имеет размерность "метры". А вот, скажем, вектор напряжённости электрического поля -- размерность "вольт на метр". Но как же так: это же совсем разные размерности?!...

Было б интересно понаблюдать за их скривившимися физиономиями.

[ShMaxG]

А еще есть вопрос такой: почему числа с разными размерностями складывать нельзя, а умножать можно Кажется, даже у нас на форуме такое обсуждали.

[terminator-II]

ewert в сообщении #340027 писал(а):

ShMaxG в сообщении #340025 wrote:
А векторам никто размерности и не приписывает.

+1.

+1.[/quote]
во-первых приписывают, вектор силы, напрмер. А во-вторых, если не нравится понятие "размерность физической величины" выразите его в групповых терминах. Противоречивость этого "определения" векторного произведения никуда не уйдет.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #340025 писал(а):

Впрочем, в физике с такими вещами дел не имеют (с одинаковыми размерностями векторы не перемножают, т.к. это не имеет физического смысла. или может иметь?)

Почему нет. Вот перемножаем же метры -- и получаем площадь. А ведь геометрия -- это тоже отчасти физика (во всяком случае, неотъемлемая её часть).

-- Вт июл 20, 2010 17:10:04 --

terminator-II в сообщении #340030 писал(а):

Противоречивость этого "определения" векторного произведения никуда не уйдет.

Конечно, никуда не уйдёт. Куда в принципе могла бы уйти противоречивость, которой и изначально-то не было.