2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 00:31 


27/10/09
78
Пытаюсь разобраться в сути явления векторного произведения. Раньше я брал тупо формулу и использовал, но теперь существует нужда в понимании основ. Начну с нуля.

Значит, есть два вектора $\overrightarrow{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\overrightarrow{b} = (b_x, b_y, b_z)$. Суть векторного произведения, как я понимаю, лежит в нахождении вектора, перпендикулярного двум данным. То есть получается система:
$
\left\{ \begin{array}{l}
(c,b) = 0,\\
(c,b) = 0.
\end{array} \right.
$

По идее, других ограничений быть не должно, но в определении векторного произведения почему-то даются ещё два ограничения:
1. $|\overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin{\varphi}$ - почему?
2. Тройка векторов {$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$} является правой - почему?

Я понимаю, что система из двух уравнений и трёх неизвестных не решается, но эти ограничения ведь не искусственны? Откуда они пришли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 00:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Ответы на Ваши вопросы можно найти в Википедии:

Векторное произведение

-- Вт июл 20, 2010 01:45:03 --

Векторов, перпендикулярных Вашим двум сколь угодно много. Надо же как-то определиться, какой из них считать векторным произведением. Пункт 1 задает длину, а 2 - направление относительно данных двух.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 00:50 


27/10/09
78
ShMaxG
Википедию читал - там даны определения, но нет ответа на вопрос "почему?".
Про ориентацию вектора я понял. Осталось непонятным, почему $|\overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin{\varphi}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 00:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Ну хотя бы потому, что смешанное произведение дает объем соответствующего параллелепипеда. Удобно, знаете ли :-) (а модуль векторного произведения - площадь соответствующего параллелограмма)

Еще хотим, чтобы если $\[\overrightarrow {\text{c}}  = \left[ {\overrightarrow {\text{a}} ,\overrightarrow {\text{b}} } \right]\]$, то и $\[\overrightarrow {\text{b}}  = \left[ {\overrightarrow {\text{c}} ,\overrightarrow {\text{a}} } \right]\]
$ и $ \[\overrightarrow {\text{a}}  = \left[ {\overrightarrow {\text{b}} ,\overrightarrow {\text{c}} } \right]\]$.

Плюс, можно вычислять тогда это векторное произведение через определитель. Одни удобства.

В целом-то этот вопрос, я считаю, философский. Глобально -- для удобства. Потому что много где вылезает. Вот и все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 01:23 


27/10/09
78
ShMaxG
Ладно, допустим, я запомнил определение векторного произведения. А как из определения вывести уравнение? Я вот способен только на вышенаписанную системку. А как формулой задать направление и размер будущего вектора (не учитывая той формулы на вики, где уже всё включено :))? Или так задачу разбить нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 11:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Pixar в сообщении #339941 писал(а):
А как из определения вывести уравнение? Я вот способен только на вышенаписанную системку. А как формулой задать направление и размер будущего вектора (не учитывая той формулы на вики, где уже всё включено :))?


Какое уравнение? Может формулу, по которой вычислять векторное произведение? Наиудобнейшая - через определитель. Выводится она очень просто: подставляете заместо исходных векторов их разложение по базису (он должен быть правым, ортонормированным). Вот и все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 11:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ShMaxG в сообщении #339978 писал(а):
Выводится она очень просто: подставляете заместо исходных векторов их разложение по базису (он должен быть правым, ортонормированным). Вот и все.

Э-э нет, далеко не так просто. Т.е. выводится-то так, конечно; но это ещё не значит доказывается. Поскольку при таком выводе используется дистрибутивность векторного произведения, а этот факт далеко не тривиален.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
ewert
Да, согласен.

Доказательство дистрибутивности можно найти, например, у Д.В.Беклемишева "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры", гл.1, §4, Предложение 5. Он опирается на дистрибутивность скалярного произведения, что доказывается в Предложении 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 15:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Как-то там шибко абстрактно. Я предпочитаю более тупой подход, хотя и тоже основанный на правиле циклической перестановки (и на дистрибутивности скалярного произведения, конечно). А именно:

$[(\alpha\vec a+\beta\vec b)\times\vec c]_x=[(\alpha\vec a+\beta\vec b)\times\vec c]\cdot\vec i$

; теперь перестановкой сомножителей переводим сумму из-под векторного произведения под скалярное, раскрываем скобки, делаем обратный откат, и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 15:39 


20/04/09
1067
Щас я вам всем настроение испорчу. Особенно приятно, что присутствуют студенты физтеха. Я этот вопрос физикам люблю задавать. И так. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, сами знаете какого.
Налицо несогласование размерностей: длина равна площади. Ну как? :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
А векторам никто размерности и не приписывает. Мало ли, что можно приписать. Вот так припишешь и противоречий не обересси...

-- Вт июл 20, 2010 16:53:51 --

Впрочем, в физике с такими вещами дел не имеют (с одинаковыми размерностями векторы не перемножают, т.к. это не имеет физического смысла. или может иметь?). Поэтому противоречий там не возникает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 15:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ShMaxG в сообщении #340025 писал(а):
А векторам никто размерности и не приписывает.

+1.

Я бы тем же физтеховцам, ежели б захотелось их помучить, задал бы ровно тот же вопрос, но несколько в другой формулировке. Вот, скажем, радиус-вектор имеет размерность "метры". А вот, скажем, вектор напряжённости электрического поля -- размерность "вольт на метр". Но как же так: это же совсем разные размерности?!...

Было б интересно понаблюдать за их скривившимися физиономиями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
А еще есть вопрос такой: почему числа с разными размерностями складывать нельзя, а умножать можно :-) Кажется, даже у нас на форуме такое обсуждали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 16:07 


20/04/09
1067
ewert в сообщении #340027 писал(а):
ShMaxG в сообщении #340025 wrote:
А векторам никто размерности и не приписывает.

+1.


+1.[/quote]
во-первых приписывают, вектор силы, напрмер. А во-вторых, если не нравится понятие "размерность физической величины" выразите его в групповых терминах. Противоречивость этого "определения" векторного произведения никуда не уйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение
Сообщение20.07.2010, 16:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ShMaxG в сообщении #340025 писал(а):
Впрочем, в физике с такими вещами дел не имеют (с одинаковыми размерностями векторы не перемножают, т.к. это не имеет физического смысла. или может иметь?)

Почему нет. Вот перемножаем же метры -- и получаем площадь. А ведь геометрия -- это тоже отчасти физика (во всяком случае, неотъемлемая её часть).

-- Вт июл 20, 2010 17:10:04 --

terminator-II в сообщении #340030 писал(а):
Противоречивость этого "определения" векторного произведения никуда не уйдет.

Конечно, никуда не уйдёт. Куда в принципе могла бы уйти противоречивость, которой и изначально-то не было.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group